關(guān)節(jié)機(jī)器人用偏心削極SPMSM氣隙磁場(chǎng)解析計(jì)算及可視化平臺(tái)研究

摘" 要：采用子域法對(duì)表貼式永磁同步電機(jī)（SPMSM）進(jìn)行建模，對(duì)電機(jī)內(nèi)部磁場(chǎng)進(jìn)行解析計(jì)算。針對(duì)傳統(tǒng)子域法無(wú)法應(yīng)用于采用偏心削極結(jié)構(gòu)的SPMSM的問(wèn)題，對(duì)不等厚偏心削極的永磁體子域，提出等面積分塊的處理方式，將每個(gè)磁極塊單獨(dú)進(jìn)行解析計(jì)算。將線性疊加結(jié)果與有限元法和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明所提方法有較高的計(jì)算精度。此外，將不同種類(lèi)電機(jī)及子域建模方法進(jìn)行整合，建立用戶(hù)交互平臺(tái)，使計(jì)算過(guò)程可視化，為國(guó)產(chǎn)化工程應(yīng)用軟件提供可擴(kuò)展性，輔助電機(jī)設(shè)計(jì)與分析工作。

關(guān)鍵詞：子域模型；關(guān)節(jié)機(jī)器人；表貼式永磁同步電機(jī)；磁場(chǎng)解析計(jì)算；數(shù)值分析可視化平臺(tái)

中圖分類(lèi)號(hào)：TM341" " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " " " " 文章編號(hào)：2095-2945（2025）01-0066-04

Abstract： Subdomain analytical method is used to model a surface-mounted permanent magnet synchronous motor （SPMSM）， and the internal magnetic field of the motor is analytically calculated. Aiming at the problem that the traditional subdomain method cannot be directly applied to SPMSM with eccentrically clipped poles， an equal-area block processing method is proposed for permanent magnet subdomains with unequal thicknesses of eccentrically clipped poles， and each pole block is analyzed separately. The linear superposition and summation results are compared with the finite element method and experimental results. The results show that the proposed method having high calculation accuracy. In addition， different types of motors and subdomain modeling methods are integrated to establish a user interactive platform to visualize the numerical calculation process， further providing scalability for domestically produced engineering application software and assisting motor design and analysis work.

Keywords： subdomain model; articulated robot; surface-mounted permanent magnet synchronous motor; analytical calculation of magnetic field; numerical analysis visualization platform

表貼式永磁同步電機(jī)（SPMSM）由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功率密度大等優(yōu)點(diǎn)，在機(jī)器人伺服系統(tǒng)等工業(yè)領(lǐng)域展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景[1-2]。對(duì)于SPMSM內(nèi)部磁場(chǎng)的分析計(jì)算方法，通常分為有限元法和解析法。有限元法計(jì)算結(jié)果精度較高，能夠準(zhǔn)確考慮漏磁、飽和以及復(fù)雜齒槽結(jié)構(gòu)的影響。文獻(xiàn)[3-4]提出了一種針對(duì)SPMSM的改進(jìn)有限元法。解析法計(jì)算速度快，且方程數(shù)量相對(duì)較少，矩陣維度低，占用很少的計(jì)算機(jī)資源，有利于電機(jī)初始設(shè)計(jì)階段的快速選型及后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，能夠明確體現(xiàn)出各個(gè)表達(dá)式與參數(shù)之間的物理概念。解析法主要包括保角變換法、子域模型法及二維傅里葉諧波建模法等[5]。

本文針對(duì)偏心削極SPMSM無(wú)法直接使用子域解析法建模的問(wèn)題，提出一種改進(jìn)的子域解析模型，以一臺(tái)關(guān)節(jié)機(jī)器人用偏心削極SPMSM為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證所提方法的準(zhǔn)確性及快速性。并建立用戶(hù)交互界面，搭建可視化數(shù)值計(jì)算平臺(tái)，進(jìn)一步輔助電機(jī)分析及研究工作。

1" 氣隙磁場(chǎng)解析模型建立

為求解偏心削極的SPMSM內(nèi)部磁場(chǎng)分布，從傳統(tǒng)SPMSM出發(fā)，共分為3個(gè)子域：定子槽子域、氣隙子域和永磁磁極子域。R1為轉(zhuǎn)子軛部半徑；R2為永磁體外徑；R3為定子內(nèi)徑；R4為定子槽底半徑；β為定子槽對(duì)應(yīng)的圓心角；γi為第i個(gè)槽中心位置角；定子共Ns槽，則有γi=2πi/Ns，第i個(gè)槽的起始位置定義為θi=γi-β/2。

2" 氣隙磁場(chǎng)解析求解過(guò)程

2.1" 各子域矢量磁位通解

由于待求解區(qū)域?yàn)楹愣ù艌?chǎng)，因此根據(jù)安培環(huán)路定律和高斯定律可得定子槽中的矢量磁位的Laplace方程為

式中：A1i（r，θ）表示第i個(gè)定子槽內(nèi)的矢量磁位，為了便于各子域矢量磁位的通解表達(dá)以及諧波系數(shù)的編程求解，進(jìn)一步降低矩陣維度，引入諧波系數(shù)縮放函數(shù)，根據(jù)分離變量法可求定子槽子域矢量磁位通解形式為

氣隙子域?yàn)榄h(huán)形區(qū)域，在此區(qū)域中無(wú)電磁激勵(lì)源，因此，矢量磁位通解為

由于永磁體有磁化矢量分量，因此永磁體子域的矢量磁位如下所示

對(duì)于采用偏心削極結(jié)構(gòu)的SPMSM，其永磁體區(qū)域無(wú)法直接應(yīng)用子域法進(jìn)行建模，因此需要將磁極進(jìn)行等面積分塊處理。圖1為偏心削極SPMSM的截面圖。根據(jù)磁極對(duì)稱(chēng)性，可以將每半個(gè)磁極進(jìn)行分塊，每個(gè)磁極塊等效為內(nèi)外弧平行的磁極，單獨(dú)計(jì)算矢量磁位，再根據(jù)疊加原理進(jìn)行累加。為簡(jiǎn)化描述，令定子y軸與轉(zhuǎn)子d軸重合，這樣θ角即為與d軸之間的夾角，φj為一個(gè)磁極塊所占圓心角，R1和R2分別為磁極的內(nèi)外弧半徑，O1和O2分別為磁極的內(nèi)外弧圓心，θ1和θ2分別為磁極的內(nèi)外弧的圓心角。

可以看出，磁極是偏心削極結(jié)構(gòu)，為考慮軸向長(zhǎng)度，因此采用等面積分塊，所以，每個(gè)磁極塊的圓心角和半徑均不同，根據(jù)面積等效原則，則有

2.2" 諧波系數(shù)求解

根據(jù)各個(gè)子域的矢量磁位的通解，可以得到各個(gè)子域的磁密的徑向分量和切向分量，并根據(jù)相鄰子域間的邊界條件進(jìn)行求解電機(jī)內(nèi)部磁場(chǎng)分布。

在永磁體和氣隙之間，法向磁密連續(xù)，在r=R2處有

將矢量磁位表達(dá)式通解分別代入可得矩陣方程組

根據(jù)切向磁場(chǎng)強(qiáng)度相等，在r=R2處有

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率。將矢量磁位通解代入可得矩陣方程組

在氣隙與定子槽交界處，沿定子軛部的磁密切向分量可以通過(guò)定子槽內(nèi)的矢量磁位分布得到

將定子軛部磁密切向分量展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)形式

根據(jù)氣隙中矢量磁位分布，沿定子軛部磁密的切向分量還可以表示為

聯(lián)立式（10）、（12）可得矩陣方程組

另一方面，沿定子軛部矢量磁位分布還可以表示為

將上式沿定子槽進(jìn)行傅里葉展開(kāi)

在一個(gè)槽范圍內(nèi)

沿定子槽的矢量磁位還可以表示為

根據(jù)矢量磁位連續(xù)，可得矩陣

最終矩陣組裝如下式所示：

3" 數(shù)值計(jì)算可視化平臺(tái)

本文基于MATLAB App Designer進(jìn)行數(shù)值計(jì)算平臺(tái)設(shè)計(jì)，將上述建模過(guò)程及計(jì)算結(jié)果可視化，整合不同種類(lèi)電機(jī)對(duì)應(yīng)的子域模型，并提供用戶(hù)交互功能，具備自主選擇是否與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比等功能。

本文以外轉(zhuǎn)子表貼式永磁同步電機(jī)為算例，圖2為計(jì)算結(jié)果界面，可以根據(jù)需要將結(jié)果波形導(dǎo)出進(jìn)行分析。

4" 仿真結(jié)果對(duì)比及驗(yàn)證

4.1" 仿真結(jié)果對(duì)比

基于所提出的改進(jìn)子域解析法，結(jié)合所設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算可視化平臺(tái)，本文對(duì)傳統(tǒng)SPMSM進(jìn)行計(jì)算，利用分析平臺(tái)對(duì)電機(jī)進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)選擇與有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，將計(jì)算結(jié)果波形導(dǎo)出，氣隙磁密徑向分量和切向分量解析計(jì)算結(jié)果分別與有限元法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如圖3所示。

從圖3中可以看出，與有限元法相比，氣隙磁密的徑向分量相對(duì)誤差為0.69%，計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為有限元法的1.7%。這里的誤差來(lái)源于在進(jìn)行解析計(jì)算時(shí)，為便于計(jì)算，均假設(shè)為規(guī)則扇形開(kāi)口槽，而有限元法中的模型是實(shí)際情況中的矩形開(kāi)口槽。

本文選取氣隙中心處半徑，對(duì)求取的氣隙磁密表達(dá)式進(jìn)行Fourier分解，得到各次諧波分量Bmn，進(jìn)而得到各次諧波磁通幅值為

則各次諧波反電動(dòng)勢(shì)有效值En為

式中：f為基波頻率；WS為每相串聯(lián)總匝數(shù)；kwn為包括基波在內(nèi)的每一次諧波的繞組系數(shù)。圖4為反電動(dòng)勢(shì)的解析計(jì)算結(jié)果與有限元對(duì)比圖。

從圖4可以看出，與有限元結(jié)果相比，解析計(jì)算結(jié)果的波形正弦度依然很高，且吻合度很好，進(jìn)而驗(yàn)證了所提出的改進(jìn)子域解析模型的準(zhǔn)確性。

4.2" 實(shí)驗(yàn)與分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提改進(jìn)解析計(jì)算模型的準(zhǔn)確性，本文對(duì)一臺(tái)采用偏心削極的SPMSM樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

由表1可知，解析計(jì)算結(jié)果大于實(shí)際實(shí)驗(yàn)測(cè)量值，這是由于在空載解析模型中假設(shè)定、轉(zhuǎn)子鐵芯磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，不計(jì)及鐵芯中的渦流及磁勢(shì)，所以解析計(jì)算結(jié)果略大于實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果。

5" 結(jié)論

本文提出了基于等面積分塊的改進(jìn)子域解析模型法。并針對(duì)SPMSM進(jìn)行解析計(jì)算，解決了采用偏心削極結(jié)構(gòu)的SPMSM無(wú)法直接使用子域法進(jìn)行建模求解的問(wèn)題，并建立可供用戶(hù)交互的電機(jī)空載磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算可視化平臺(tái)，通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得出以下主要結(jié)論：

1）所提出的基于等面積分塊的改進(jìn)子域解析法，考慮了永磁體軸向長(zhǎng)度，進(jìn)一步提高了計(jì)算精度。相比于有限元法，該方法在保證計(jì)算準(zhǔn)確性的同時(shí)，依然具有較快的計(jì)算速度，可以大幅縮短計(jì)算時(shí)間，減少計(jì)算機(jī)占用資源。

2）將子域解析法應(yīng)用于SPMSM，建立相應(yīng)的解析模型，將結(jié)果與仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比，氣隙磁密與反電動(dòng)勢(shì)誤差均小于5%，進(jìn)一步驗(yàn)證了該解析方法的準(zhǔn)確性與適用性。

3）基于所提出的解析計(jì)算模型，建立可供用戶(hù)交互的電機(jī)空載磁場(chǎng)分析平臺(tái)，使數(shù)值計(jì)算過(guò)程可視化，進(jìn)一步為國(guó)產(chǎn)化工程應(yīng)用軟件提供可擴(kuò)展性，輔助電機(jī)設(shè)計(jì)與分析工作。

本文工作為偏心削極結(jié)構(gòu)形式的SPMSM提供了準(zhǔn)確且快速的解析計(jì)算方法，并建立了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算可視化平臺(tái)，有助于電機(jī)設(shè)計(jì)等研究工作。為便于計(jì)算，簡(jiǎn)化邊界條件，文中電機(jī)工況均為空載情況，并且假設(shè)定、轉(zhuǎn)子磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，導(dǎo)致產(chǎn)生誤差。下一步工作的重點(diǎn)是在額定負(fù)載工況下考慮實(shí)際鐵芯磁導(dǎo)率，開(kāi)展針對(duì)磁路飽和時(shí)的電機(jī)內(nèi)部磁場(chǎng)分布研究，進(jìn)一步完善所設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算平臺(tái)的功能，加強(qiáng)實(shí)用性。

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