關(guān)鍵詞：非線性超表面，多重尺度法，內(nèi)部共振，諧波生成

中圖分類號：O424 文獻標(biāo)志碼：A

聲學(xué)超表面是一類廣泛用于控制彈性波的人工層狀材料［1-9］，包括線性和非線性兩種類型. 線性超表面擅長波前調(diào)節(jié)，具有異常衍射［1-2］、將傳播波轉(zhuǎn)換為消逝波［3-4］、負(fù)折射［5-6］和聲全息投影［7-9］等功能. 為了推進聲學(xué)超表面的研究，人們越來越重視研究非線性現(xiàn)象. 在聲波中實現(xiàn)非線性是一項重大挑戰(zhàn)，通常需要較大的壓力幅值［10-11］或使用具有較高非線性參數(shù)的介質(zhì)［12］，這在空氣中通常很難實現(xiàn). 該領(lǐng)域的一個顯著進展是設(shè)計了一種單層結(jié)構(gòu)，將亥姆霍茲諧振器與非線性電子電路集成在一起，從而實現(xiàn)非互易波傳播的二次諧波的產(chǎn)生［13］. 制造這些超表面的一種常見方法就是利用結(jié)構(gòu)的幾何非線性［14-19］. 利用共振非線性彈性元件設(shè)計一種非線性聲學(xué)超表面，可以在反射場中實現(xiàn)二次諧波的增益［14-15］.Lin et al［18］將可彎曲的梁結(jié)構(gòu)作為超表面的非線性彈簧，也實現(xiàn)了相同的目標(biāo). 通過上述方法產(chǎn)生的非線性彈簧振子模型有效地調(diào)節(jié)了整個聲場，產(chǎn)生了二次諧波. 此外，Liang et al［20］開發(fā)了一種具有雙線性非線性的聲學(xué)超材料，研究了其基波和二次諧波的傳播行為. Justin et al［21］設(shè)計了一種三原子聲學(xué)非線性超材料，這種材料表現(xiàn)出兩個獨立于空間周期性的局部共振帶隙，這表明超材料對波前的調(diào)制受到了系統(tǒng)非線性的強烈影響. Runge et al［22］研究了非線性超材料中的聲學(xué)模式與由相關(guān)兩能級系統(tǒng)組成的量子計算平臺之間的關(guān)系，結(jié)果表明聲學(xué)超材料可用于實現(xiàn)大規(guī)模并行信息處理. Zhang et al［23］提出了一種可以實現(xiàn)寬帶多頻振動衰減的聲學(xué)超材料. Po?rubov［24］通過在具有雙原子對稱性的超材料質(zhì)量?質(zhì)量?晶格模型中研究非線性應(yīng)變孤立波，揭示了非線性波的分布情況.

聲學(xué)超表面因其非線性而難被激發(fā)，在生成高次諧波方面具有局限性，基于此，本研究設(shè)計了一種可以產(chǎn)生高次諧波的非線性超表面，并研究了由兩個非線性彈簧和三個質(zhì)量塊組成的三自由度系統(tǒng). 本文的主要工作如下.

（1）理論方法：采用多重尺度法，該方法在非線性超材料中得到了廣泛的應(yīng)用［25］；通過嚴(yán)格的理論分析，獲得振子的振幅解，包括基波和諧波部分；在此基礎(chǔ)上，計算了三自由度系統(tǒng)在激勵壓強下的基波和二次諧波傳輸率.

（2）廣義諧波分析：揭示了彈簧振子鏈在諧波生成方面的更為廣泛的規(guī)律，不僅是二次諧波的產(chǎn)生，還包括高次諧波.

1 模型介紹與理論數(shù)值驗證

1. 1超表面模型與理論分析 非線性彈簧振子鏈可用于實現(xiàn)二次諧波生成，其由非線性彈簧和質(zhì)量塊組成，每個組件都可以單獨設(shè)計. 當(dāng)多個彈簧振子鏈被組合到一起時，便形成了具有雙重諧振頻率的超表面. 圖1 展示了透射型超表面及由兩個非線性彈簧和三個質(zhì)量塊組成的三自由度單元系統(tǒng). 本節(jié)闡明用于超表面的理論方法以及在輻射聲場中生成較大諧波的原理. 該超表面由多個相同的單元系統(tǒng)構(gòu)成，通過研究單元系統(tǒng)可以全面理解整個超表面的振動和波場特性.

為了闡明非線性振子鏈的物理機制，本文研究了由三個質(zhì)量塊和兩個非線性彈簧組成的三自由度系統(tǒng)，簡化的示意圖如圖1b所示. 用m₁，m₂，m₃ 表示三個振子的質(zhì)量，用K₁ 和K₂表示兩個非線性彈簧的線性剛度系數(shù)，用α₁ 和α₂ 表示兩個彈簧的二次非線性系數(shù). 兩個彈簧的非線性恢復(fù)力可表示為：

1. 2數(shù)值模擬與驗證 基于上述討論，可以推斷出非線性彈簧振子鏈的振動特性與模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)，這些參數(shù)共同決定了系統(tǒng)的諧振頻率. 為了在透射波場中實現(xiàn)顯著的諧波幅度，將較高諧振頻率配置為較低諧振頻率的n 倍，從而促進n 次諧波的生成. 本節(jié)重點關(guān)注n=2 的情況，深入探討二次諧波的有效生成. 表1 展示了三自由度系統(tǒng)的選定結(jié)構(gòu)參數(shù).

對于三自由度系統(tǒng)，圖2 展示了理論解與數(shù)值解的比較，理論解來自對式（4）和式（5）的求解，數(shù)值解則是使用了四階龍格?庫塔算法對原始方程組式（1）進行了數(shù)值仿真的結(jié)果. 圖2a～c 分別展示了在激勵下m₁，m₂ 和m₃ 的位移. 顯然，理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果吻合良好. 在圖2d 中，繪制了透射率（|T |）隨激勵壓力變化的曲線. 基波的透射率隨著激勵壓力的增加而減小，而二次諧波的傳輸迅速增加，在某一激勵壓力下達(dá)到最大值后逐漸減小. 因此，本文所提出的理論方法通過與數(shù)值解的比較得到了驗證. 通過推導(dǎo)出系統(tǒng)振幅的解析解，闡明了諧波生成的原因在于非線性引入了系統(tǒng)兩個諧振模式之間的內(nèi)部共振，促進了能量從較低諧振模式向較高諧振模式的轉(zhuǎn)移.

2 參數(shù)調(diào)制

本節(jié)討論參數(shù)調(diào)制，考察三個關(guān)鍵參數(shù)的影響，即彈簧二次非線性系數(shù)、單元諧振頻率和外界激勵頻率. 調(diào)制這些參數(shù)可以驗證模型的魯棒性，并且觀測這些參數(shù)的變化是否對系統(tǒng)整體響應(yīng)產(chǎn)生較大影響.

2. 1二次非線性系數(shù) 為了更全面地理解非線性對系統(tǒng)振動特性的影響，對三自由度系統(tǒng)中兩個彈簧的二次非線性系數(shù)進行了參數(shù)研究，結(jié)果如圖3 所示. 圖3a 與圖3b 分別描述了改變系統(tǒng)α₁和α₂ 后，F(xiàn)W 與SH 透射率的變化規(guī)律；圖3c 和圖3d 描繪的三維圖展示了兩個彈簧的二次非線性系數(shù)改變對FW 與SH 透射率變化的整體影響.圖中的紅星表示在表1 中選擇的三自由度系統(tǒng)的非線性系數(shù). 所選取的二次非線性參數(shù)會帶來較大的二次諧波透射率（gt;0. 8）和相對較小的基波透射率（lt;0. 4）. 此外，仔細(xì)分析透射率的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)FW呈現(xiàn)“峰通道”（圖3c），而SH 則對應(yīng)“谷通道”（圖3d），這意味著在參數(shù)選擇過程中避免這一波谷有助于有效生成二次諧波.

2. 2共振頻率 系統(tǒng)的兩個諧振頻率的相對變化同樣會對整體系統(tǒng)產(chǎn)生影響. 如前文所述，要在系統(tǒng)中實現(xiàn)高次諧波生成，需要精確調(diào)制相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)，確保較高諧振頻率是較低諧振頻率的n 倍，其中n 代表所需的諧波階數(shù). 然而，固定的諧振頻率對結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系施加了約束，但在實際應(yīng)用中相關(guān)參數(shù)難免會出現(xiàn)誤差. 這些偏差可能導(dǎo)致諧振頻率之間的非整數(shù)關(guān)系，因此，研究由于結(jié)構(gòu)參數(shù)不準(zhǔn)確而導(dǎo)致的諧振頻率相對大小發(fā)生變化及其對整體系統(tǒng)的影響顯得尤為重要. 定義一個新參數(shù)δ 來表征模型結(jié)構(gòu)參數(shù)相對于其預(yù)定值的偏離程度：

圖4展示了隨δ [ δ ∈ （-0. 03～0. 03）]變化的FW 和SH 的透射率. 在δ= 0時，模型符合準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)參數(shù)，二次諧波的透射率超過0. 8，而基波的透射率保持在0. 4以內(nèi). δ ∈ （-0. 005～0. 005）時，二次諧波的透射率保持在0. 6以上，而δ∈ （-0. 008～0. 008）時，二次諧波的透射率大于基波，這表明結(jié)構(gòu)參數(shù)（如彈簧勁度系數(shù)或振子質(zhì)量）在一定范圍內(nèi)偏離其預(yù)設(shè)值是可接受的，這也驗證了系統(tǒng)的魯棒性.

2. 3 激勵頻率 在系統(tǒng)諧波生成過程中，不僅要確保非線性系數(shù)保持在特定范圍內(nèi)以及能確保諧振頻率相對大小成整數(shù)倍關(guān)系的結(jié)構(gòu)參數(shù)，還需要將外部激勵頻率與較低的諧振頻率進行同步.

在實際場景中，激勵頻率可能與諧振頻率無法完美對齊，從而導(dǎo)致偏差，因此我們探討了激勵頻率在較低諧振頻率附近變化時FW 和SH 的透射率變化. 圖5 展示了激勵頻率在700～725 Hz的基波和二次諧波的透射率，圖中的綠色虛線表示諧振頻率712 Hz. 以700～725 Hz 作為激勵頻率的變化區(qū)間，可以觀察到在與諧振頻率相距1Hz 的范圍內(nèi)，二次諧波的透射率始終大于0. 7.此外，在707～714 Hz，二次諧波的透射率超過基波，這表明激勵頻率可以有一定偏差，通?？刂圃趲缀掌澲畠?nèi)，而系統(tǒng)仍然能夠生成較大的諧波.

3 有限元仿真

根據(jù)前文介紹的理論，我們設(shè)計了一種能夠?qū)崿F(xiàn)高諧波生成的非線性超表面模型. 該模型由多個相同的三自由度單元組成，每個單元包含三個質(zhì)量塊和兩個非線性彈簧結(jié)構(gòu). 為簡化參數(shù)識別過程，選擇K₂ = 2K₁ 和m₂ = 2m₁，這意味著只需調(diào)節(jié)m₃. 圖6a 展示了超表面的時域有限元仿真. 超表面單元的質(zhì)量結(jié)構(gòu)設(shè)置為剛性，并置于空氣中. 在COMSOL 中進行仿真時，參數(shù)設(shè)置如下：空氣密度為1. 29 kg ? m^-3；空氣中的聲速為343 m ? s^-1；三個質(zhì)量塊的材料為API?X70 管道鋼；非線性彈簧結(jié)構(gòu)的材料為Ingeo Grade2002D；單元厚度為10 mm. 圖6b 展示了超材料單元結(jié)構(gòu)的示意圖，旨在表明非線性彈簧振子鏈可以等效表示為由三個剛性質(zhì)量和兩個可以等效為彈簧的結(jié)構(gòu)組成. 圖6c 顯示了作為非線性彈簧的等效結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)設(shè)計輕薄，由兩個對稱放置的相同圓環(huán)構(gòu)成. 結(jié)構(gòu)參數(shù)r₁ 和r₂ 分別表示圓環(huán)的內(nèi)半徑和外半徑，h 表示兩個圓環(huán)之間的半距離，d 為等效結(jié)構(gòu)的寬度.

使用有限元軟件（COMSOL）獲得的仿真結(jié)果展示在圖7 中. 基于模型中兩個諧振頻率之間的比例關(guān)系，考慮了兩種模型，一種是較高諧振頻率為較低諧振頻率的兩倍，另一種為三倍. 圖7a和圖7c 展示了前者場景，分別描繪了包含二次諧波的傳輸波的時域和頻域. 三個質(zhì)量塊的設(shè)置遵循表1. 在此背景下，來自基頻（754 Hz）模式的能量大幅轉(zhuǎn)移至高次諧波模式，首先是二次諧波，隨后是更高階的模式，如三次諧波，這在圖7e 中得到了確認(rèn). 隨著激勵壓力的增加，F(xiàn)W 和SH 的透射率下降，而三次諧波（Third Harmonic，TH）的幅度則增加.

圖7b 和圖7d 分別展示了另一種模型的傳輸波時域和頻域，目標(biāo)是僅生成三次諧波. 在這種情況下，三個質(zhì)量分別設(shè)置為34，34 和4. 6 g. 仿真結(jié)果表明，來自基頻（704 Hz）模式的能量會直接轉(zhuǎn)移至三次諧波模式，導(dǎo)致三次諧波幅度異常巨大，而二次諧波幅度保持有限. 圖7f 描繪了當(dāng)較高諧振頻率為較低諧振頻率的三倍時，F(xiàn)W，SH 和TH 透射率的變化. 隨著激勵幅度的增加，F(xiàn)W 的透射率持續(xù)下降，而TH 的透射率則持續(xù)上升. 與此同時，SH 的透射率始終保持在較低水平，表明FW 模式與TH 模式之間存在直接的能量轉(zhuǎn)移.

仿真確認(rèn)了通過設(shè)置結(jié)構(gòu)參數(shù)可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的諧振頻率分布. 在基波模式的激勵下，系統(tǒng)能夠生成高次諧波，包括顯著的二次或三次諧波.

4 結(jié)論

本研究提出了一種由非線性彈簧振子構(gòu)成的新型非線性聲學(xué)超表面，并采用多重尺度法求解振動幅度的基頻成分和二次諧波成分. 研究發(fā)現(xiàn)，此彈簧振子鏈系統(tǒng)具有兩個諧振頻率. 通過將較高諧振頻率設(shè)定為較低諧振頻率的n 倍，并用較低諧振頻率激勵系統(tǒng)，系統(tǒng)出現(xiàn)了內(nèi)部共振，并由此引發(fā)了模態(tài)間能量的轉(zhuǎn)移，這一過程導(dǎo)致n 次諧波振幅的增大和基頻幅度的降低. 模型的魯棒性通過調(diào)制彈簧二次非線性系數(shù)、單元諧振頻率和外界激勵頻率這三個關(guān)鍵參數(shù)得以驗證.盡管存在固有誤差，系統(tǒng)的魯棒性仍得以保證.在這些理論的基礎(chǔ)上，我們設(shè)計了一種非線性聲學(xué)超表面結(jié)構(gòu)，通過設(shè)置結(jié)構(gòu)參數(shù)來增強諧波傳輸. 該超表面被證明能夠產(chǎn)生高透射率的二次或三次諧波. 有限元仿真結(jié)果驗證了該設(shè)計方法的可行性和可靠性，為利用非線性彈簧振子鏈設(shè)計超表面提供了保證. 本工作的關(guān)鍵在于提出了可行的理論方法并進行了廣義的諧波分析，既從理論分析的層面解釋了系統(tǒng)產(chǎn)生諧波的物理機理，又研究了模型生成不僅限于二次諧波的高次諧波的能力. 該工作提出了通過聲學(xué)超表面實現(xiàn)高諧波的方法，拓寬了該領(lǐng)域的研究范圍并激發(fā)了進一步研究的靈感.

（責(zé)任編輯 楊貞）