多智能體系統(tǒng)自適應(yīng)固定時間編隊控制

摘 要：針對領(lǐng)導(dǎo)者信息非全局已知以及系統(tǒng)非線性項未知的問題，提出自適應(yīng)律，對領(lǐng)導(dǎo)者速度上界及非線性項參數(shù)上界進(jìn)行估計，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)固定時間收斂的編隊控制。首先，基于領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者框架，構(gòu)建二階非線性多智能體模型;隨之，根據(jù)反步法給出編隊控制律，以保證編隊控制方法的固定時間收斂特性;同時，為了減輕系統(tǒng)計算負(fù)擔(dān)和平滑虛擬控制律，引入固定時間收斂的濾波器。進(jìn)一步，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)穩(wěn)定性及固定時間收斂特性;最后，通過仿真驗證參數(shù)自適應(yīng)律和控制律的有效性。

關(guān)鍵詞： 多智能體系統(tǒng); 編隊控制; 自適應(yīng)律; 固定時間收斂

中圖分類號： TP 273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： ADOI：10.12305/j.issn.1001 506X.2025.02.26

Adaptive fixed time formation control for multi agent system

LI Jiale1， ZHONG Qilin2， XIAO Jie2， LI Guofei^2，*

（1. School of Aeronautics， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China;

2. School of Astronautics， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China）

Abstract：Aiming at the problems that the leader information is not globally known and the nonlinear term of systems is unknown， adaptive laws to estimate the upper bound of the leader’s velocity and the upper bound of the nonlinear term parameter are proposed. Firstly， based on the leader follower structure， a second order nonlinear multi agent system model is constructed. Secondly， the formation control law is given based on the backstepping technique， which guarantees the fixed time convergence property of the formation control method. In addition， a filter with fixed time convergence is introduced to alleviate the computational pressure of the system and smooth the virtual control law. Further， the system stability and fixed time convergence characteristics are analyzed based on the Lyapunov stability theory. Finally， the validity of parameter adaptive law and control law is verified by a simulation test.

Keywords：multi agent system; formation control; adaptive law; fixed time convergence

0 引 言

隨著多智能體系統(tǒng)在軍事、航天等各個領(lǐng)域廣泛應(yīng)用^［1-4］，協(xié)同控制問題引起廣泛的關(guān)注。編隊控制作為協(xié)同控制的一種典型應(yīng)用，指的是由多個智能體組成的團(tuán)隊在向特定目標(biāo)或者區(qū)域運(yùn)動的過程中，保持預(yù)定的幾何形態(tài)，并適應(yīng)周圍環(huán)境的約束^［5］，通過智能體間的局部通信實(shí)現(xiàn)群體行為，進(jìn)而解決全局問題。目前，多智能體系統(tǒng)主要存在以下的編隊控制方法^［6］：基于領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者^［7］、基于虛擬結(jié)構(gòu)^［8］、基于行為^［9］等。

衡量編隊控制的性能指標(biāo)主要包括控制精度、收斂速率等，其中收斂速率至關(guān)重要，體現(xiàn)了編隊誤差收斂至原點(diǎn)的快慢程度。Ren等^［10］針對多智能體系統(tǒng)提出一致性誤差漸近收斂的控制方法;在此基礎(chǔ)上，Mastellone等^［11］針對拉格朗日型的多智能體系統(tǒng)提出編隊跟蹤誤差漸進(jìn)收斂的控制方法。但漸近收斂意味著協(xié)同誤差收斂至原點(diǎn)的時間趨于無窮;為了加快誤差收斂速度，Bhat等^［12］針對連續(xù)自治系統(tǒng)提出有限時間穩(wěn)定性理論;然后，Li等^［13］基于該理論提出編隊跟蹤誤差有限時間收斂的控制方法，即誤差在有限時間內(nèi)收斂至原點(diǎn)。然而，該方法收斂時間的估計值依賴于初始狀態(tài)信息;鑒于此，Polyakov^［14］提出固定時間穩(wěn)定性理論，即收斂時間的上界擺脫了對初始狀態(tài)的依賴，主要取決于控制參數(shù);Gao等^［15］利用該理論提出誤差固定時間收斂的編隊控制方法。

受到多智能體系統(tǒng)通信局限性的影響，僅有部分智能體能接收期望軌跡信息。針對該問題，Pan等^［16］基于人工勢場法，解決編隊隊形保持以及路徑規(guī)劃問題，但人工勢場法易造成局部最優(yōu)或目標(biāo)不可達(dá)等問題。Xiong等^［17］在領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者框架下，假設(shè)領(lǐng)導(dǎo)者加速度全局已知，然后設(shè)計級聯(lián)觀測器以得到領(lǐng)導(dǎo)者的位置、速度信息，在此基礎(chǔ)上提出控制律以實(shí)現(xiàn)固定時間編隊跟蹤。Wang等^［18］基于積分滑模面，先設(shè)計控制律使得領(lǐng)導(dǎo)者跟蹤理想軌跡，再基于領(lǐng)導(dǎo)者信息全局已知的假設(shè)，設(shè)計控制律使得跟隨者跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者軌跡。Zuo等^［19］研究有向通信拓?fù)湎碌念I(lǐng)從式一致性問題，所提出的雙曲正切型控制律能夠有效解決控制輸入的飽和約束問題。然而，上述方法在處理領(lǐng)導(dǎo)者信息時，基于領(lǐng)導(dǎo)者部分信息全局已知的假設(shè)或者設(shè)計附加觀測器，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性。

針對非線性多智能體系統(tǒng)的編隊跟蹤問題，張普等^［20］針對系統(tǒng)的未知非線性項和由執(zhí)行器故障引起的不確定性，基于徑向基函數(shù)（radial basis function， RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近特性，設(shè)計出包含非線性補(bǔ)償項的容錯控制器。周健等^［21］針對系統(tǒng)不確定項、輸入飽和等約束條件，在擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和輔助系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，設(shè)計滑模擾動觀測器，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)未知擾動的精確估計。Yoo等^［22］為了實(shí)現(xiàn)避碰和避障且保持通信拓?fù)涞倪B通性，構(gòu)建非線性誤差和附加變量，再基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建補(bǔ)償變量，最終實(shí)現(xiàn)編隊控制。Zhou等^［23］針對領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)和非線性項未知的問題，利用模糊邏輯方法對其進(jìn)行在線估計，然后設(shè)計有限時間收斂的編隊控制律，且為了降低通信損耗，引入事件觸發(fā)機(jī)制。然而，上述研究并未涉及固定時間穩(wěn)定問題。

綜上所述，相較于漸進(jìn)收斂和依賴初始狀態(tài)的有限時間收斂的編隊控制方法，本文提出參數(shù)自適應(yīng)的多智能體系統(tǒng)固定時間編隊控制方法，主要創(chuàng)新點(diǎn)如下：

（1） 與文獻(xiàn)［24-26］相比，本文擺脫對狀態(tài)觀測器的依賴，提出自適應(yīng)律估計領(lǐng)導(dǎo)者速度上界值;考慮系統(tǒng)非線性項參數(shù)未知的問題，給出自適應(yīng)律并對其上界進(jìn)行估計，且提出的自適應(yīng)律可保證系統(tǒng)具備固定時間收斂特性。

（2） 針對傳統(tǒng)反步法存在的“微分爆炸”問題，引入固定時間收斂的濾波器降低系統(tǒng)計算負(fù)擔(dān)，并可有效抑制由虛擬控制律導(dǎo)數(shù)導(dǎo)致的奇異現(xiàn)象。與此同時，該編隊控制方法可拓展至高階非線性多智能體系統(tǒng)。

1 問題描述

1.1 符號說明

符號Rm和R^m×n分別表示m維實(shí)數(shù)向量和m×n實(shí)數(shù)矩陣;表示克羅內(nèi)克積;λmin（A）和λmax（A）分別為矩陣A的最小特征值和最大特征值;In代表n階單位矩陣;1n表示全為1的n維列向量;對于實(shí)數(shù)e和正實(shí)數(shù)a，有siga（e）=|e|asign（e）。

1.2 代數(shù)圖論及相關(guān)引理

對于由N個跟隨者智能體組成的系統(tǒng)，假設(shè)其通信網(wǎng)絡(luò)為無向圖，則多智能體間的通信拓?fù)淇梢酝ㄟ^無向圖G={V，ε，A} 進(jìn)行表示;其中V={v1，v2，…，vN}為所有節(jié)點(diǎn)的集合;εV×V為邊的集合，A=［aij］N×N為具有非負(fù)加權(quán)值的鄰接矩陣;如果從第i個智能體到第j個智能體存在連邊（vi，vj）∈ε，則ajigt;0，反之a(chǎn)ji=0;在此基礎(chǔ)上，定義D=diag{d1，d2，…，dN}為圖入度矩陣，則圖G的拉普拉斯矩陣定義為L=D-A=［lij］∈R^N×N。同時，定義領(lǐng)導(dǎo)者矩陣為B=diag{b1，b2，…，bN}，當(dāng)跟隨者i能獲取領(lǐng)導(dǎo)者信息時，bigt;0;反之，bi=0。

引理 1^［27］假設(shè)一個正定且連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)V（x，t）：Rn×R+→R滿足

V·（x，t）≤－aVp（x，t）－bVq（x，t）+（1）

式中：a，bgt;0;0lt;plt;1lt;q。則V（x，t）將在固定時間Tf收斂到集合Ω內(nèi)。Tf的上界估計如下：

Tf≤1aχ（1－p）+1bχ（q－1）（2）

式中：0lt;χlt;1。當(dāng)tgt;Tf時，系統(tǒng)狀態(tài)將會收斂到集合Ω中：

Ω=xV（x）≤min （1－χ）a^1p，（1－χ）b^1q（3）

引理 2^［28］對于任意x，y∈R，若滿足xgt;0，qgt;1且xgt;y，則滿足

y（x－y）q≤qq+1（x^q+1－|y|^q+1）（4）

引理 3^［29］對于任意x，y∈R且m，n，lgt;0，則下列不等式成立：

|x|m|y|n≤mm+nl|x|^m+n+nm+nl^－mn|y|^m+n（5）

引理 4^［30］對于任意xi∈R（i=1，2，…，m），若滿足hgt;1，則∑mi=1|xi|h≥m^1－h(huán)（∑mi=1|xi|h;若滿足0lt;hlt;1，則∑mi=1|xi|h≥（∑mi=1|xi|h。

引理 5^［28］考慮微分方程ξ·（t）=（t）－a（ξ（t）+ξυ（t）），其中agt;0，υgt;1，（t）≥0且在任意t≥0上連續(xù)。若ξ（0）gt;0，則對于任意t≥0，有ξ（t）gt;0。

引理1～引理5的證明可參見文獻(xiàn)［27-30］。

1.3 問題說明

考慮包含N個跟隨者和一個領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)，跟隨者i（i=1，2，…，N）的動力學(xué)方程如下：

x·i=vi

v·i=ui+fi（xi，vi）（6）

式中：xi=［xi，1，xi，2，…，xi，s］^T∈Rs為跟隨者i的位置;vi，ui和fi分別為跟隨者i的速度、控制輸入以及未知非線性項。為了方便，定義領(lǐng)導(dǎo)者的下標(biāo)為0，領(lǐng)導(dǎo)者的動力學(xué)方程如下：

x·0=v0

v·0=u0（7）

式中：x0=［x0，1，x0，2，…，x0，s］^T∈Rs為領(lǐng)導(dǎo)者的位置;v0和u0分別為領(lǐng)導(dǎo)者速度以及控制輸入。

假設(shè) 1 在多智能體系統(tǒng)中，N個跟隨者的通信拓?fù)錇闊o向圖且存在生成樹，其中生成樹的根節(jié)點(diǎn)與領(lǐng)導(dǎo)者之間存在通信關(guān)系。

假設(shè) 2 領(lǐng)導(dǎo)者的速度以及控制輸入均有界，且存在未知正常數(shù)θk（k=1，2，…，s）滿足|v0，k|lt;θk。

假設(shè) 3 各跟隨者動力學(xué)方程所包含的未知非線性項滿足|fi，k（·）|≤cfi，kφi，k（k=1，2，…，s）。φi，k≥0為已知核心函數(shù)，cfi，k為未知正常數(shù)。

基于假設(shè)1，可以得到L+B為正定可逆矩陣。為了簡便，定義H=L+B。

在假設(shè)1～假設(shè)3的條件下，本文所述多智能體系統(tǒng)編隊飛行問題及研究目標(biāo)可描述如下：在領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者框架下，設(shè)計控制律和參數(shù)自適應(yīng)律，解決領(lǐng)導(dǎo)者速度非全局已知以及非線性項參數(shù)上界未知的問題，最終實(shí)現(xiàn)固定時間收斂的編隊跟蹤，即

limt→Txi－x0－h(huán)i≤c

xi－x0－h(huán)i≤c， tgt;T（8）

式中：hi∈Rs為跟隨者i與領(lǐng)導(dǎo)者之間的期望相對位置。

2 固定時間收斂的編隊控制方法

本節(jié)基于反步法思想，在不依賴于觀測器的條件下，提出自適應(yīng)固定時間收斂編隊控制律，解決領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)未知和非線性項未知的編隊控制問題，具體的方法原理框圖如圖1所示。

定義轉(zhuǎn)換誤差為

wi，1=∑Nj=1aij（δi－δj）+biδi

wi，2=vi－α-i（9）

式中：i=1，2，…，N;δi為第i個智能體的全局編隊跟蹤誤差，

δi=xi－x0－h(huán)i∈Rs;wi，1為第i個智能體的鄰居編隊跟蹤誤差;wi，2為第i個智能體的虛擬誤差;α-i為固定時間濾波器的輸出信號。設(shè)計固定時間濾波器如下：

α·-i=sigp（αi-α-i）τi+sigq（αi-α-i）τi+αi-α-iμi（10）

式中：0lt;plt;1lt;q;τigt;0;0lt;μilt;2;αi為濾波器的輸入信號，其作為虛擬控制律需要進(jìn)行進(jìn)一步設(shè)計。

針對系統(tǒng)式（6）及誤差定義式（9），構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

V1=12wT1（HIs）^-1w1（11）

式中：w1=［wT1，1，wT2，1，…，wTN，1］T∈R^Ns。

對式（11）求導(dǎo)可得

V·1=∑Ni=1∑sk=1wi，1k（wi，2k+αi，k+efi，k－v0，k）（12）

在式（12）的基礎(chǔ)上，提出虛擬控制律：

αi，k=-k1sigp（wi，1k）-k2sigq（wi，1k）-

12wi，1k-θ^i，ktanhwi，1kεi（13）

式中：εi，k1，k2gt;0;θ^i，k是對領(lǐng)導(dǎo)者速度虛擬上界θk的估計值。

將式（13）代入式（12），得

V·1≤－k1∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^p+1－k2∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^q+1－

12∑Ni=1∑sk=1w2i1，k+∑Ni=1∑sk=1wi，1kefi，k+∑Ni=1∑sk=1wi，1kwi，2k+

0.278 5∑Ni=1∑sk=1εiθk+∑Ni=1∑sk=1θ～i，kwi，1ktanhwi，1kεi

（14）

式中：θ～i，k=θk－θ^i，k為估計誤差。式（14）利用了不等式：|wi1，k|≤0.278 5εi+wi1，ktanh（wi1，k/εi）。

在所設(shè)計虛擬控制律的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出控制律ui，使得虛擬控制誤差wi，2趨于穩(wěn)定，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)編隊位置跟蹤。針對系統(tǒng)式（6）和式（7），基于所設(shè)計的虛擬控制信號式（13），對于vi通道構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)如下：

V2=12wT2w2（15）

式中：w2=［wT1，2，wT2，2，…，wTN，2］T∈R^Ns。對式（15）求導(dǎo)，得

V·2=∑Ni=1∑sk=1wi，2k（ui，k+fi，k－α·-i，k）（16）

式中：α·-i，k為濾波器輸出信號的導(dǎo)數(shù)，可由式（10）得到。

在式（16）的基礎(chǔ)上，提出控制律ui，k為

ui，k=α·-i，k-k3sigp（wi，2k）-k4sigq（wi，2k）-

wi，1k-c^fi，kφi，ktanhwi，2kφi，kεi（17）

式中：k3，k4gt;0;c^fi，k是對非線性項參數(shù)虛擬上界cfi，k的估計值。

將式（17）代入式（16），得

V·2≤－k3∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^p+1－k4∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^q+1+

∑Ni=1∑sk=1c～fi，kwi，2kφi，ktanhwi，2kφi，kεi－

∑Ni=1∑sk=1wi，1kwi，2k+0.278 5∑Ni=1∑sk=1εicfi，k（18）

式中：c～fi，k=cfi，k－c^fi，k為估計誤差。上述利用了不等式|wi，2kφi，k|≤0.278 5εi+wi，2kφi，ktanhwi，2kφi，kεi。

設(shè)計θ^i，k，c^fi，k參數(shù)自適應(yīng)律如下：

θ^·i，k=γ1iwi，1ktanhwi，1kεi－γ1iσ1i（θ^i，k+θ^qi，k）

c^·fi，k=γ2iwi，2kφi，ktanhwi，2kφi，kεi－γ2iσ2i（c^fi，k+c^qfi，k）（19）

式中：k=1，2，…，s;γ1i，γ2i，σ1i，σ2igt;0。

觀察自適應(yīng)律式（19），根據(jù)引理5，若θ^i，k（0）gt;0，c^fi，k（0）gt;0，則對任意t≥0，都滿足θ^i，k（t），c^fi，k（t）gt;0。

3 穩(wěn)定性分析

基于提出的控制律式（13）和式（17）、參數(shù)自適應(yīng)律式（19），本節(jié)將給出穩(wěn)定性分析過程。多智能體系統(tǒng)式（6）的編隊控制方法可用如下定理描述。

定理 1 考慮滿足假設(shè)1～假設(shè)3的多智能體系統(tǒng)式（6）和式（7），采用參數(shù)自適應(yīng)律式（19），控制律式（13）和式（17），則系統(tǒng)將會實(shí)現(xiàn)固定時間收斂的編隊跟蹤。

證明 選取李雅普諾夫函數(shù)如下：

V=V1+V2+12∑Ni=1∑sk=1θ～2i，kγ1i+12∑Ni=1∑sk=1c～2fi，kγ2i+12eTfef（20）

式中：ef=［e^Tf1，e^Tf2，…，e^TfN］^T。

對式（20）求導(dǎo)并代入式（10）、式（14）、式（18）和式（19），得

V·≤－k1∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^p+1－k3∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^p+1－

∑Ni=1∑sk=1|efi，k|^p+1τi－k2∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^q+1－k4∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^q+1－

∑Ni=1∑sk=1|efi，k|^q+1τi+∑Ni=1∑sk=1σ1iθ～i，k（θ^i，k+θ^qi，k）+

∑Ni=1∑sk=1σ2ic～fi，k（c^fi，k+c^qfi，k）－∑Ni=1∑sk=1e2fi，kμi－

12∑Ni=1∑sk=1w2i1，k+∑Ni=1∑sk=1wi，1kefi，k+

∑Ni=1∑sk=1|efi，k|Mi+0.278 5∑Ni=1∑sk=1εi（θk+cfi，k）（21）

式中：|α·i，k|≤Mi，Mi為未知正常數(shù)。

根據(jù)Young’s不等式，得

wi，1kefi，k≤12w2i，1k+12e2fi，k

|efi，k|Mi≤2-μi2μie2fi，k+μi4-2μiM2i

θ～i，kθ^i，k≤-12θ～2i，k+12θ2k（22）

令x=1，y=θ～2i，k，m=（1－p）/2，n=（1+p）/2和l=（1+p）/2）^1+p1－p，通過引理3，得

|θ～i，k|^p+1≤1－p21+p21+p1－p+θ～2i，k（23）

綜合式（22）和式（23），可得

θ～i，kθ^i，k≤－12|θi，k|^p+1+12θ2k+1－p41+p21+p1－p（24）

令x=θi，k，y=θ～i，k，滿足x－y=θ^i，kgt;0。根據(jù)引理2，可得

θ～i，kθ^qi，k≤－q1+q|θ～i，k|^1+q+q1+qθ^1+qk（25）

則θ～i，k（θ^i，k+θ^qi，k）可寫為

θ～i，k（θ^i，k+θ^qi，k）≤－12|θ～i，k|^1+p－q1+q|θ～i，k|^1+q+

q1+qθ^1+qk+12θ2k+1－p41+p21+p1－p（26）

同理，c～fi，k（c^fi，k+c^qfi，k）可寫為

c～fi，k（c^fi，k+c^qfi，k）≤－12|c～fi，k|^1+p－q1+q|c～fi，k|^1+q+

q1+qc^1+qfi，k+12c2fi，k+1－p41+p21+p1－p（27）

將不等式（22）、式（25）和式（26）代入不等式（21），得

V·≤－k1∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^p+1－k3∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^p+1－

∑Ni=1∑sk=1|efi，k|^p+1τi－∑Ni=1∑sk=1σ1i2|θ～i，k|^p+1－∑Ni=1∑sk=1σ2i2|c～fi，k|^p+1－

k2∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^q+1－k4∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^q+1－∑Ni=1∑sk=1|efi，k|^q+1τi－

∑Ni=1∑sk=1σ1iq1+q|θ～i，k|^q+1－∑Ni=1∑sk=1σ2iq1+q|c～fi，k|^q+1+（28）

式中：

=0.278 5εiN∑sk=1θk+∑Ni=1∑sk=1cfi，k+

∑Ni=1∑sk=1σ1iq1+qθ^1+qk+12θ2k+1-p41+p21+p1-p+

∑Ni=1∑sk=1σ2iq1+qc^1+qfi，k+12c2fi，k+1-p41+p21+p1-p+

s∑Ni=1μi4-2μiM2i（29）

同時，基于假設(shè)1，下列不等式成立：

w^T1（HIs）^-1w1≤λmax（H^-1）w^T1w1（30）

即λmin（H）w^T1（HIs）^-1w1≤w^T1w1。

結(jié)合式（30）且利用引理4，式（28）可表述為

V·≤-η12^1+p2V1+p2-η22^1+q2（5Ns）^1-q2V1+q2+=

-η′1V1+p2-η′2V1+q2+（31）

式中：η1=min（k1λ-^（p+1）/2，k3，1/τi，（σjiγ^（p+1）/2ji）/2;η2=min（k2λ-^（q+1）/2，k4，1/τi，［σjiq/（1+q）］·γ^（q+1）/2ji），λ-=λmin（H），j=1，2;η1=η′12^（1+p）/2，η2=η′22^（1+q）/2（5Ns）^（1-q）/2。

最終根據(jù)引理1，可知系統(tǒng)狀態(tài)將會收斂到如下集合：

Ω=xV≤min

η′1（1-κ）21+p，

η′2（1-κ）21+q（32）

固定時間Tf滿足

Tf≤2η′1，κ（1-p）+2η′2κ（q-1）（33）

式中：0lt;κlt;1。

由于w^T1w1≤λ-w^T1（HIs）^-1w1≤2λ-V，λ-=λmax（H），則

Ω′=w1w1≤2λ-min

η′1（1-κ）11+p，

η′2（1-κ）11+q

（34）

根據(jù)上述分析，可知當(dāng)t≥Tf時，多智能體系統(tǒng)的跟蹤誤差將會收斂到集合式（34）中，實(shí)現(xiàn)固定時間收斂的編隊跟蹤。同時，可通過選擇合適的控制參數(shù)，使得誤差收斂至任意小的鄰域內(nèi)。證畢

利用反步法逐步設(shè)計控制器往往需要上一階虛擬控制律的導(dǎo)數(shù)值，這增加了系統(tǒng)計算壓力，進(jìn)一步觀察固定時間穩(wěn)定的虛擬控制律αi，k，其導(dǎo)數(shù)由|wi，1k|^p－1構(gòu)成。當(dāng)wi，1k=0時，α·i，k→∞，即出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。因此，本文引入固定時間濾波器，一方面能夠減輕系統(tǒng)計算壓力，另一方面使得控制信號更加光滑。

文獻(xiàn)［22-23］通過設(shè)計參數(shù)冪次為1的自適應(yīng)律實(shí)現(xiàn)無窮時間或有限時間收斂的編隊控制，但該自適應(yīng)律并不適用于要求固定時間收斂的系統(tǒng)，因此在自適應(yīng)律中增添參數(shù)冪次大于1的反饋修正項，不僅能夠補(bǔ)償未知項，還可保證系統(tǒng)具備固定時間收斂特性。

觀察收斂時間上界式（33）、收斂集合式（34）以及的表達(dá)式，可選擇較大的k1和k2加快編隊誤差收斂，但同時會導(dǎo)致輸入控制量增大;降低參數(shù)σi可使收斂集合變小，但自適應(yīng)參數(shù)的更新速率降低，使得形成編隊構(gòu)型的固定時間收斂上界變大;選擇較小的參數(shù)εi有助于收斂集合變小，但會造成虛擬控制律的導(dǎo)數(shù)值增大，致使輸入控制量變大;選擇較大的參數(shù)τi和μi能使輸出信號更加平滑，但易產(chǎn)生嚴(yán)重的滯后現(xiàn)象，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定;選擇合適的參數(shù)p和q可增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾能力，在不增大k1和k2的前提下提高系統(tǒng)控制精度。因此，在選擇參數(shù)時，需權(quán)衡系統(tǒng)控制精度與瞬態(tài)性能，使得誤差收斂時間和收斂集合盡可能小。

4 仿真實(shí)驗

本節(jié)對提出的參數(shù)自適應(yīng)律及控制律進(jìn)行仿真校驗，仿真選取3個跟隨者（i=1，2，3）和1個領(lǐng)導(dǎo)者（下標(biāo)0），通信拓?fù)鋱D如圖2所示。

多智能體系統(tǒng)的初始位置和初始速度如表1所示。

多智能體系統(tǒng)的非線性項設(shè)定為

f1=－0.005x1

f2=0.001x2

f3=0.002x3（35）

各跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的期望相對位置設(shè)定為

h1=［3，0，3］^T

h2=32，332，32T

h3=-32，332，-32T（36）

領(lǐng)導(dǎo)者速度選定為

v0（t）=0.3+0.05sin t

0.4+0.01cos 2t

0.5+0.02sin 2t（37）

選擇控制參數(shù)：k1=k2=2，k3=k4=1，p=0.7，q=1.2，τi=1/70，μi=0.1，εi=0.01，γ1i=0.3，σ1i=0.01，γ2i=0.01，σ2i=0.01（i=1，2，3）。

圖3展示了40 s內(nèi)跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動軌跡，可以觀察到，多智能體系統(tǒng)在固定時間內(nèi)形成期望隊形，并保持該隊形運(yùn)動，實(shí)現(xiàn)了編隊跟蹤。

圖4為鄰居編隊跟蹤誤差w1的變化曲線，可以發(fā)現(xiàn)，跟蹤誤差在t=2 s時收斂至零域附近。

圖5為各飛行器的控制輸入響應(yīng)曲線，可知在某些時間段，控制量會突變，這是因為當(dāng)鄰居編隊跟蹤誤差wi，1k趨于零時，虛擬控制量的導(dǎo)數(shù)會趨于無窮大，濾波器可以使輸入信號更加平滑，但是無法完全避免該問題，因此仍然會出現(xiàn)某一時間段控制量小幅突變的情形。

圖6給出了自適應(yīng)參數(shù)θ^i，k的變化情況?？梢园l(fā)現(xiàn)，其有界且恒大于零。圖7中，自適應(yīng)參數(shù)c^fi，k的變化情況表明該變量有界且大于零。

為了突出本方法的優(yōu)點(diǎn)，考慮相同的多智能體系統(tǒng)和控制參數(shù)但未引入濾波器的情況，其y方向的控制輸入信號如圖8所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，控制輸入信號在某一時刻劇增，且上升值較大。而圖5的控制輸入信號上升相對平緩且上升值相對較小，明顯削弱奇異現(xiàn)象。

綜合上述分析，本文所提參數(shù)自適應(yīng)律和控制律能夠解決領(lǐng)導(dǎo)者速度信息非全局已知和非線性項未知的問題，最終實(shí)現(xiàn)固定時間收斂的編隊控制。

5 結(jié)束語

本文提出一種可參數(shù)自適應(yīng)的固定時間收斂的編隊控制方法，能夠有效解決領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)未知和系統(tǒng)非線性項未知的問題。首先，基于反步法提出各階控制律，以實(shí)現(xiàn)編隊跟蹤，且引入了固定時間濾波器，削弱系統(tǒng)的奇異現(xiàn)象。其次，給出參數(shù)自適應(yīng)律，分別估計領(lǐng)導(dǎo)者速度上界及非線性項參數(shù)上界。隨后，利用固定時間穩(wěn)定性理論，證明系統(tǒng)滿足固定時間收斂特性，即該系統(tǒng)能在固定時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)編隊跟蹤。下一步工作將考慮研究帶有惡意攻擊或Markovian切換拓?fù)錀l件下的編隊控制方法。

參考文獻(xiàn)

［1］KRIEGER G， FIEDLER H， ZINK N， et al. A satellite formation for high resolution SAR interferometry［C］∥Proc.of the European Radar Conference， 2007： 83-86.

［2］HUANG Z P， BAUER R， PAN Y J. Event triggered formation tracking control with application to multiple mobile robots［J］. IEEE Trans.on Industrial Electronics， 2023， 70（1）： 846-854.

［3］OH K K， PARK M C， AHN H S. A survey of multi agent formation control［J］. Automatica， 2015， 53： 424-440.

［4］LUCA C， FABIO M， DOMENICO P， et al. Leader follower formation control of nonholonomic mobilerobots with input constraints［J］. Automatica， 2008， 44（5）： 1343-1349.

［5］王祥科， 李迅， 鄭志強(qiáng). 多智能體系統(tǒng)編隊控制相關(guān)問題研究綜述［J］. 控制與決策， 2013， 28（11）： 1601-1613.

WANG X K， LI X， ZHENG Z Q. Survey of developments on multi agent formation control related problems［J］. Control and Decision， 2013， 28（11）： 1601-1613.

［6］YU Z Q， ZHANG Y M， JIANG B， et al. A review on fault tolerant cooperative control of multiple unmanned aerial vehicles［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2022， 35（1）： 1-18.

［7］DAI S L， HE S， CAI H， et al. Adaptive leader follower formation control of underactuated surface vehicles with guaranteed performance［J］. IEEE Trans.on Systems， Man， and Cybernetics： Systems， 2022， 52（3）： 1997-2008.

［8］ASKARI A， MORTAZAVI M， TALEBI H A. UAV formation control via the virtual structure approach［J］. Journal of Aerospace Engineering， 2015， 28（1）： 04014047.

［9］KIM S， KIM Y. Optimum design of three dimensional behavioural decentralized controller for UAV formation flight［J］. Engineering Optimazation， 2009， 41（3）： 199-224.

［10］REN W， BEARD R W. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies［J］. IEEE Trans.on Automatic Control， 2005， 50（5）： 655-661.

［11］MASTELLONE S， MEJíA J S， STIPANOVIC D M， et al. Formation control and coordinated tracking via asymptotic decoupling for Lagrangian multi agent systems［J］Automatica， 2011， 47（11）： 2355-2363.

［12］BHAT S P， BERNSTEIN D S. Finite time stability of continuous autonomous systems［J］. SIAM Journal on Control and Optimization， 2000， 38（3）： 751-766.

［13］LI T S， ZHAO R， CHEN C L P， et al. Finite time formation control of under actuated ships using nonlinear sliding mode control［J］. IEEE Trans.on Cybernetics， 2018， 48（11）： 3243-3253.

［14］POLYAKOV A. Nonlinear feedback design for fixed time stabilization of linear control systems［J］. IEEE Trans.on Automatic Control， 2012， 57（8）： 2106-2110.

［15］GAO S N， PENG Z H， LIU L， et al. Fixed time resilient edge triggered estimation and control of surface vehicles for cooperative target tracking under attacks［J］. IEEE Trans.on Intelligent Vehicles， 2023， 8（1）： 547-556.

［16］PAN Z H， ZHANG C X， XIA Y Q， et al. An improved artificial potential field method for path planning and formation control of the multi UAV systems［J］. IEEE Trans.on Circuits and Systems II： Express Briefs， 2022， 69（3）： 1129-1133.

［17］XIONG T Y， GU Z， YI J Q， et al. Fixed time adaptive observer based time varying formation control for multi agent systems with directed topologies［J］. Neurocomputing， 2021， 463： 483-494.

［18］WANG N， LI H. Leader follower formation control of surface vehicles： a fixed time control approach［J］. ISA Transactions， 2022， 124： 356-364.

［19］ZUO Z Y， TANG J C， KE R Q， et al. Hyperbolic tangent function based protocols for global/semi global finite time consensus of multi agent systems［J］. IEEE CAA Journal of Automatica Sinica， 2024， 11（6）： 1381-1397.

［20］張普， 薛惠鋒， 高山， 等. 具有混合執(zhí)行器故障的多智能體分布式有限時間自適應(yīng)協(xié)同容錯控制［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2022， 44（4）： 1220-1229.

ZHANG P， XUE H F， GAO S， et al. Distributed finite time adaptive cooperative fault tolerant control for multi agent systems with integrated actuators faults［J］. Systems Engineering and Electronics， 2022， 44（4）： 1220-1229.

［21］周健， 龔春林， 谷良賢， 等. 非匹配不確定性條件下的編隊分布式協(xié)同控制［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2019， 41（3）： 636-642.

ZHOU J， GONG C L， GU L X， et al. Distributed synchronization of leader follower systems with unmatched uncertainties［J］. Systems Engineering and Electronics， 2019， 41（3）： 636-642.

［22］YOO S J， PARK B S. Distributed adaptive formation tracking for a class of uncertain nonlinear multiagent systems： guaranteed connectivity under moving obstacles［J］. IEEE Trans.on Cybernetics， 2024， 54（6）： 3431-3443.

［23］ZHOU H D， SUI S， TONG S C. Finite time adaptive fuzzy prescribed performance formation control for high order nonlinear multiagent systems based on event triggered mechanism［J］. IEEE Trans.on Fuzzy Systems， 2023， 31（4）： 1229-1239.

［24］NI J K， SHI P. Adaptive neural network fixed time leader fo llower consensus for multiagent systems with constraints and disturbances［J］. IEEE Trans.on Cybernetics， 2021， 51（4）： 1835-1848.

［25］CHANG S P， WANG Y J， ZUO Z Q， et al. Robust prescribed time containment control for high order uncertain multi agent systems with extended state observer［J］. Neurocomputing， 2023， 559： 126782.

［26］LI G F， WANG X Z， ZUO Z Y， et al." Distributed extended state observer based formation control of flight vehicles subject to constraints on speed and acceleration［J］. IEEE Trans.on Cybernetics， 2024. DOI：10.1109/TCYB.2024.3498912.

［27］LI G F， ZHONG Q L， ZUO Z Y， et al. Performance prescribed cooperative guidance against maneuvering target under malicious attacks［J］. IEEE Trans.on Systems， Man， and Cybernetics： Systems， 2024， 54（12）： 7770-7782.

［28］SUN Y M， ZHANG L. Fixed time adaptive fuzzy control for uncertain strict feedback switched systems［J］. Information Science， 2021， 546： 742-752.

［29］QIAN C J， LIN W. Non Lipschitz continuous stabilizers for nonlinear systems with uncontrollable unstable linearization［J］. Systems amp; Control Letters， 2001， 42（3）： 185-200.

［30］LI G F， TANG Q P， ZUO Z Y， et al." Resilient cooperative guidance for leader follower flight vehicles against maneuvering target［J］. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems. DOI：10.1109/TAES.2025.3527418.

作者簡介

李嘉樂（2002—），女，博士研究生，主要研究方向為多飛行器編隊控制。

鐘綺霖（2001—），女，碩士研究生，主要研究方向為多智能體系統(tǒng)控制。

肖 杰（2001—），男，碩士研究生，主要研究方向為多飛行器編隊控制。

李國飛（1991—），男，副教授，博士，主要研究方向為多飛行器協(xié)同制導(dǎo)與編隊控制。