孫小禮

人們習(xí)慣地把數(shù)學(xué)當(dāng)作一門(mén)自然科學(xué)，在歷史上數(shù)學(xué)的確是和自然科學(xué)一起成長(zhǎng)起來(lái)的，但是，數(shù)學(xué)和自然科學(xué)不一樣，它的研究對(duì)象不是某一類(lèi)具體實(shí)物或某一種物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)，而是從客觀(guān)世界抽取出來(lái)的量的關(guān)系。就這一點(diǎn)而言，系統(tǒng)論、信息論、控制論與數(shù)學(xué)有類(lèi)似之處，都被稱(chēng)為橫斷科學(xué)。數(shù)學(xué)又和邏輯學(xué)關(guān)系密切，有人認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)該與邏輯學(xué)一樣，歸于思維科學(xué)。還有人把數(shù)學(xué)放在哲學(xué)與具體科學(xué)之間的位置上?？傊?，數(shù)學(xué)既是人們研究自然的工具，也是人們認(rèn)識(shí)社會(huì)的工具。

怎樣理解數(shù)學(xué)是一種思想工具呢?其思想力量是怎樣表現(xiàn)的呢?概括地說(shuō)，有以下幾個(gè)方面:

第一，數(shù)學(xué)具有一種抽象思維的能力。在數(shù)學(xué)中所處理的是抽象的量，是脫離了具體事物內(nèi)容的用符號(hào)表示的量。比如“n”表示某一個(gè)正整數(shù)，它不是n個(gè)蘋(píng)果、n個(gè)人或n個(gè)星球……也不是哪一個(gè)具體的正整數(shù)1、2或10……而是一個(gè)一般的正整數(shù)。從初等數(shù)學(xué)的基本概念到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各種結(jié)構(gòu)都具有這種抽象性、一般性。正如恩格斯在《自然辯證法》中所說(shuō)的，數(shù)學(xué)是一種研究思想事物的抽象的科學(xué)。研究純粹數(shù)學(xué)的人正是在各種抽象的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間思索著、追求著，尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律。而把數(shù)學(xué)研究成果運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題之所以有效，甚至是驚人的成功，正是因?yàn)樗鼈兎从沉藢?shí)際事物的規(guī)律性。

數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際的關(guān)鍵在于建立較好的數(shù)學(xué)模型，即能從量的方面反映出所要研究問(wèn)題的本質(zhì)關(guān)系的模型。這是一個(gè)科學(xué)抽象的過(guò)程，分析和綜合的過(guò)程。要善于把無(wú)關(guān)緊要的東西先撇在一邊，抓住系統(tǒng)中的主要因素、主要關(guān)系，經(jīng)過(guò)合理的簡(jiǎn)化，把問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)。在這樣提煉成的數(shù)學(xué)模型上展開(kāi)數(shù)學(xué)的推導(dǎo)和演算，以形成對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、判斷和預(yù)測(cè)。這是數(shù)學(xué)運(yùn)用抽象思維去把握現(xiàn)實(shí)的力量所在。

第二，數(shù)學(xué)以邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的可靠性作為特征。在數(shù)學(xué)中，每一個(gè)公式、定理都要嚴(yán)格地從邏輯上加以證明以后才能夠確立。數(shù)學(xué)的推理步驟嚴(yán)格地遵守形式邏輯諸法則，以保證從前提到結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程中，每一個(gè)步驟都是在邏輯上準(zhǔn)確無(wú)誤的。所以，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法從已知的關(guān)系推求未知的關(guān)系時(shí)，所得到的結(jié)論就具有邏輯上的確定性和可靠性。而數(shù)學(xué)的這種邏輯確定性又是與數(shù)學(xué)的抽象性分不開(kāi)的，沒(méi)有高度的抽象性，就難以達(dá)到邏輯上的嚴(yán)格化。愛(ài)因斯坦說(shuō)得好:“為什么數(shù)學(xué)比其他一切科學(xué)受到特殊的尊重，一個(gè)理由是它的命題是絕對(duì)可靠的和無(wú)可爭(zhēng)辯的，而其他一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭(zhēng)辯的，并且經(jīng)常處于會(huì)被新發(fā)現(xiàn)的事實(shí)推翻的危險(xiǎn)之中?！瓟?shù)學(xué)之所以有高聲譽(yù)，還有另一個(gè)理由，那就是數(shù)學(xué)給予精密自然科學(xué)以某種程度的可靠性，沒(méi)有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的?！碑?dāng)然在數(shù)學(xué)中也不能時(shí)時(shí)處處都要求邏輯的嚴(yán)密無(wú)隙。事實(shí)上，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也需要借助于直觀(guān)、想象和幻想，數(shù)學(xué)理論(如幾何學(xué)、微積分等等)有一個(gè)由粗到精的邏輯嚴(yán)密化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程有時(shí)會(huì)長(zhǎng)達(dá)數(shù)十年，數(shù)百年甚至上千年。

數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)密性還表現(xiàn)在它的公理方法。每一個(gè)認(rèn)識(shí)領(lǐng)域，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)積累到相當(dāng)數(shù)量的時(shí)候，需要進(jìn)行綜合、整理，使之條理化，造成概念和理論的系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)從感性階段到理性階段的飛躍。從理性認(rèn)識(shí)的初級(jí)水平發(fā)展到更高級(jí)的水平，表現(xiàn)在一個(gè)理論系統(tǒng)還需要發(fā)展到抽象程度更高的公理化體系。這就需要借助于數(shù)學(xué)的公理方法，找出最基本的概念、命題，作為邏輯的出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用演繹推理論證各種派生的命題。在理性認(rèn)識(shí)的深化過(guò)程中，數(shù)學(xué)是使理論知識(shí)更加系統(tǒng)化、邏輯化的重要手段。

第三，數(shù)學(xué):辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式。這是恩格斯的一個(gè)重要論斷。熟悉數(shù)學(xué)的人都體會(huì)到在數(shù)學(xué)中充滿(mǎn)著辯證法。如果說(shuō)各門(mén)科學(xué)都包含著豐富的辯證思想，那么，數(shù)學(xué)則有自己特殊的表現(xiàn)方式，即用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)公式，明確地表達(dá)出各種辯證的關(guān)系和轉(zhuǎn)化。例如:對(duì)數(shù)使乘法轉(zhuǎn)化為加法、除法轉(zhuǎn)化為減法；極限概念，特別是現(xiàn)代的極限語(yǔ)言，很好地體現(xiàn)了有限與無(wú)限、近似和精確的辯證關(guān)系；牛頓—萊布尼茨公式描述了微分和積分兩種運(yùn)算之間的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化；概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)表現(xiàn)了事物的必然性與偶然性的內(nèi)在關(guān)系；等等。這類(lèi)事例在數(shù)學(xué)中俯拾皆是。

要真正掌握好數(shù)學(xué)工具，只知道許多數(shù)學(xué)知識(shí)是不夠的，必須善于發(fā)現(xiàn)各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)運(yùn)算之間的關(guān)系，建立和運(yùn)用它們之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，這樣才能發(fā)揮出蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)中的辯證思維的力量。數(shù)學(xué)中許多計(jì)算方法之靈巧，證明方法之美妙，究其思路，往往就是利用了各種轉(zhuǎn)化。

人們常把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算，比作鍛煉思維的保健操，這是很恰當(dāng)?shù)?。這種思維操練，確實(shí)能夠增強(qiáng)思維本領(lǐng)，提高科學(xué)抽象能力、邏輯推理能力和辯證思維能力。

近幾十年來(lái)，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用，使數(shù)學(xué)的計(jì)算和推理進(jìn)入一個(gè)嶄新的時(shí)代?？茖W(xué)研究，工程技術(shù)以及社會(huì)生活中的許多問(wèn)題都需要計(jì)算，但是其中一些問(wèn)題計(jì)算量之大、要求的精度之高和速度之快，是人力難以勝任的。而電子計(jì)算機(jī)幫助人們獲得了快速而又準(zhǔn)確的計(jì)算能力，許多新技術(shù)正是攻克了計(jì)算難關(guān)而“起飛”的。在電子計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)學(xué)定理的證明，使部分?jǐn)?shù)學(xué)推理機(jī)械化，這是電子計(jì)算機(jī)的一個(gè)重要功能，可以幫助人們節(jié)約思維勞動(dòng)。如同機(jī)器是人手的延伸一樣，電子計(jì)算機(jī)是人腦的延伸。人腦加上電子計(jì)算機(jī)這種電腦，人的智能加上由電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的人工智能，極大地增強(qiáng)了人類(lèi)的思維能力?，F(xiàn)在還有所謂“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，即運(yùn)用電子計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行大量的試算——數(shù)字的和邏輯的演算，這對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的研究和處理，有很大意義。因?yàn)閺亩鄠€(gè)數(shù)學(xué)模型中挑選一個(gè)好的模型，或在一個(gè)模型中挑選一組好的參數(shù)，需要通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，加以驗(yàn)算比較，從而對(duì)各個(gè)模型或各種參數(shù)作出評(píng)價(jià)。在社會(huì)管理、經(jīng)濟(jì)生活中，這種試算有可能是幫助決策人“深思熟慮”，選定較好的解決問(wèn)題的方案的一種手段。

數(shù)學(xué)，既是一門(mén)高度抽象的理論性學(xué)科，又是一門(mén)應(yīng)用廣泛的工具性學(xué)科，理論與應(yīng)用有機(jī)地統(tǒng)一于一身。對(duì)電子計(jì)算機(jī)作出重大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家馮·諾以曼把數(shù)學(xué)看作一門(mén)處于人類(lèi)智能的中心領(lǐng)域的科學(xué)，這種看法是值得深思的。

(摘自1985年5月10日《人民日?qǐng)?bào)》)

(題圖:李志國(guó))