解橢圓問題的數(shù)學(xué)思想

張同舟

山東省棗莊市第九中學(xué) (277100)

數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)知識的精髓，是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.解決橢圓問題經(jīng)常用到各種基本數(shù)學(xué)思想，掌握這些數(shù)學(xué)思想有利于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.下面介紹數(shù)學(xué)思想在解橢圓問題中的應(yīng)用，供教學(xué)時參考.

一、方程思想

橢圓問題，大部分題目都以二元二次方程形式給出，因此，根據(jù)題目中的其它數(shù)量關(guān)系再列出方程與原方程聯(lián)立，并運(yùn)用方程(組)的有關(guān)性質(zhì)求解，從而簡化解題過程，減少運(yùn)算量.

例1 如圖1所示，直線l的方程為x=-p2，其中p>0.橢圓的中心為2+p2,0，焦點(diǎn)在x軸上，半長軸長為2，半短軸長為1，它的一個頂點(diǎn)為Ap2,0.問p在哪個范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點(diǎn)，它們中每一個點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線l的距離.

分析：根據(jù)題意，滿足條件的四個點(diǎn)既在橢圓上，又要在拋物線y2=2px上，于是考慮將拋物線與橢圓方程聯(lián)立組成方程組，通過研究方程組的性質(zhì)求得p的范圍.

解：滿足題意的四個點(diǎn)在橢圓(x-2-p2)24+y2=1，又在拋物線y2=2px上，故符合題意的四點(diǎn)的充要條件是方程組(x-2-p2)24+y2=1 ①

y2=2px ②有四組不同的實數(shù)解.從①，②中消去y，得x2+(7p-4)x+p24+2p=0③，所以原方程組有四組不同的實數(shù)解，當(dāng)且僅當(dāng)方程③有兩個不等的正根.而這又等價于△=(7p-4)2-4(p24+2p)>0，

p24+2p>0，

7p-4<0.在p>0的條件下，解此不等式組，得0

故所求的p的取值范圍是0

評注 此題用方程的思想方法求解，思路清晰、過程簡捷.

二、函數(shù)思想

有些橢圓問題，可以先轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性等性質(zhì)求解.

例2 已知橢圓x2a2+y2b2=1與x軸、y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)并在橢圓上變動時，求四邊形OAPB的面積S的最大值.

分析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,baa2-x2)，四邊形OAPB的面積S=△OAP的面積+△OPB的面積=12b(b2-x2+x),作代換x=a玞osθ，利用三角函數(shù)的有界性可求S的最值.

解：設(shè)P(x,baa2-x2)，則S=S△OAP+S△OPB=12a?baa2-x2+12bx=12b?(a2-x2+x).因為0≤x≤a,所以設(shè)x=a玞osθ,θ∈［0,π2］，S=12ab(玸inθ+玞osθ)=22?ab玸in(θ+π4).當(dāng)玸in(θ+π4)=1時，S有最大值22ab.

評注：在解圓錐曲線中的最值或參數(shù)的取值范圍問題時，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，結(jié)合具體的函數(shù)性質(zhì)求解，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡.如果函數(shù)解析式中含有參數(shù)，一般要根據(jù)定義域和參數(shù)的特點(diǎn)分類討論.

三、數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中要善于將數(shù)形結(jié)合的思想方法用于對橢圓的性質(zhì)和相互關(guān)系的研究中.

例3 已知橢圓x225+y29=1，點(diǎn)A(4，0)是它的右焦點(diǎn)，B(2，2)是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，M是橢圓上一動點(diǎn)，求|MA|+|MB|的最大值和最小值.

分析：左焦點(diǎn)A′(-4，0)，由橢圓定義知﹟MA|+|MA′|=10,而﹟MB|、獆MA′|、|AB′|在同一三角形中，利用三角形三邊之間的關(guān)系求最值.

解：橢圓左焦點(diǎn)A′(-4,0)，由橢圓定義可得|MA|+|MA′|=10.如圖3-1，﹟MA|+﹟MB|=|MA|+﹟MA′|+|MB|-|MA′|=10+|MB|-|MA′|≤10+|A′B|.當(dāng)點(diǎn)M在BA′的延長線與橢圓的交點(diǎn)處時，|MA|+﹟MB|有最大值10+|A′B|=10+(2+4)2+(2-0)2=10+210.|MA|+﹟MB|=|MA|+|MA′|-|MA′|+|MB|=10-(|MA′|-|MB|)≥10-|A′B|.即當(dāng)點(diǎn)M在A′B的延長線與橢圓的交點(diǎn)處時，|MA|+﹟MB|有最小值，10-|A′B|=10-210.

評注：有些橢圓問題，如果用代數(shù)方法求解比較復(fù)雜，可以考慮用幾何知識求解，其中“三角形兩邊之和大于第三邊”是求最值常用的定理.

四、分類討論思想

分類討論思想實際上就是一種邏輯劃分.在解決圓錐曲線問題時，按照某一確定的標(biāo)準(zhǔn)在比較的基礎(chǔ)上，將某一對象劃分為若干既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，然后分別解決，從而達(dá)到解決問題的目的.

例4 設(shè)F1、F2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若P、F1、F2是一個直角三角形的頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.

分析：由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=6，再由直角三角形中邊的關(guān)系可求出|PF1|、|PF2|的值，從而求出|PF1||PF2|的值.由|PF1|>|PF2|，可知點(diǎn)P在右半個橢圓上，因直角頂點(diǎn)未確定，故需討論.

解：由橢圓方程可得a=3,b=2，所以c=32-22=5.所以F2(5,0)，由于|PF1|>﹟PF2|，所以F1不是直角頂點(diǎn).

(1)若P為直角頂點(diǎn)，則PF1⊥PF2，于是﹟PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(25)2=20 ①又根據(jù)橢圓定義|PF1|+|PF2|=6 ②，由①、②得|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1||PF2|=2.

(2)若F2為直角頂點(diǎn)，則x軸⊥PF2，由此得P(5,±43)，所以|PF2|=43，則|PF1|=6-|PF2|=143，所以|PF1||PF2|=72.

綜上所述，得|PF1||PF2|的值為2或72.

評注：正確的進(jìn)行討論的前提是正確分類，分類要符合互斥、無漏、最簡的原則，然后進(jìn)行全面恰當(dāng)?shù)姆智闆r討論.

五、化歸與轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法.它的原則就是將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、易解或已經(jīng)解決的問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.

例5 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸端點(diǎn)為A、B，若橢圓C上存在點(diǎn)Q，使∠AQB=120°，求橢圓C的離心率e的取值范圍.

分析：由題意橢圓上存在點(diǎn)Q(x,y)，使∠AQB=120°，利用以上條件可用a、b、c表示x,y，再利用不等式-a≤x≤a,-b≤y≤b得到含a、b、c的不等式，就可求出離心率e的取值范圍.

解：由題意得A(-a,0),B(a,0),設(shè)Q(x,y).由橢圓的對稱性，不妨設(shè)Q點(diǎn)在x軸上方，即y>0.因為玹an∠AQB=玹an120°=-3,猭〢Q=yx+a,k〣Q=yx-a,由兩直線夾角公式得yx-a-yx+a1+yx-a?yx+a=-3,所以3(x2+y2-a2)=2ay ①，又Q在橢圓C上，所以x2a2+y2b2=1 ②，由①②消去x得3(b2-a2)y2+2ab2y=0,y≠0,所以y=2ab23(a2-b2)=2ab23c2.又y≤b，所以2ab23c2≤b,所以2ab3c2≤1，4a2b2≤3c4,4a2(a2-c2)≤3c4,兩邊同除以c4,得3e4+4e2-4≥0，解得e2≥23,所以63≤e<1.

評注：數(shù)學(xué)大師波利亞強(qiáng)調(diào)：“不斷地變換你的問題”.解題過程就是合理地“轉(zhuǎn)化”問題的過程.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和優(yōu)化學(xué)生的素質(zhì)都有幫助.