“或”命題的困惑之解惑

呂秀英　呂俊平

湖北省陽新縣高級中學 (435200)

江蘇省無錫市梅梁中學 (214092)

1.問題的提出

筆者曾在教輔資料中遇見不少關(guān)于“或”命題的矛盾說法.現(xiàn)在，文［1］指出對教輔資料或數(shù)學雜志上常見的如下兩個命題的不同說法及困惑：

(1)4的平方根是2或-2；

(2)實數(shù)的平方是正數(shù)或0.

文［2］認為命題(1)是復合命題，即p或q形式，p:4的平方根可能是2；q：4的平方根可能是-2.于是p真q真，p或q亦真.

文［3］認為命題(1)從實質(zhì)出發(fā)可寫為“4的一個平方根是2或4的一個平方根是-2”.

困惑：如果“4的平方根是2或-2”是復合命題，那么如何理解構(gòu)成復合命題“p或q”的原命題中是怎樣省略“可能”、“一個”等詞的?

文［2］仍然認為命題(2)是復合命題，理由同上，由p、q構(gòu)成的“p或q”中，“可能”一詞因省略而成.

文［4］稱命題(2)為復合命題，是為了簡易邏輯中的稱呼相一致(意即這里“或”為邏輯聯(lián)結(jié)詞)，并指出：它不是由“所有”對“或”分配而來的，因為它可以寫成如下的形式：“一部分實數(shù)的平方大于0或一部分實數(shù)的平方等于0”.

文［5］指出命題(2)是簡單命題，不是復合命題，處理方法是回到最原始的命題定義中去，把語句中的“正數(shù)或0”看成整體.

困惑：同一問題，不同的觀點得到不同的結(jié)果，真是眾說紛紜，作為一名中學數(shù)學教師如何給自己的學生真實可信的答案?命題(1)，(2)是簡單命題還是復合命題，有一個客觀直接的方法判斷嗎?

2.問題的剖析

事實上，在文［2］、［3］、［4］、［5］幾種觀點中，筆者認為［5］的說法是真實可信的答案，現(xiàn)分析如下：

第一，對于“或”命題是否為復合命題，應考慮原命題中的“或”是否為邏輯聯(lián)結(jié)詞，我們不能一見“或”就以為含邏輯聯(lián)結(jié)詞而認為是復合命題.

全日制普通高級中學教科書數(shù)學(必修)第一冊(上)第25頁的引例是值得商榷的，其陳述如下：

“這里的‘或(指邏輯聯(lián)結(jié)詞)我們已經(jīng)學過，像不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3}①.‘且(指邏輯聯(lián)結(jié)詞)我們也學過，像不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2-2且x<3}②.”

顯然，結(jié)合課本上下文意思，即指上述①、②中的“或”、“且”都是邏輯聯(lián)結(jié)詞，這樣就誤導了我們對邏輯聯(lián)結(jié)詞的判斷.實際上，①、②中的“或”和“且”都不是邏輯聯(lián)結(jié)詞，它們只分別表示不等式的解集是兩個集合的“并”和兩個集合的“交”.

第二，判斷“或”是否為邏輯聯(lián)結(jié)詞，必須正確理解數(shù)學的原始定義、概念、性質(zhì)、法則等，學會三種數(shù)學語言(文字語言、符號語言、圖形語言)的互譯.

例如(1)中，什么叫做一個正數(shù)的平方根?由定義知，一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，所以命題(1)中的“2或-2”必須看成一個整體，不能拆開，否則改變了原命題的本意，即錯誤地理解“正數(shù)平方根”可指一個.因為原命題“4的平方根是2或-2”為真，拆開后為p:4的平方根是2，q:4的平方根是-2，顯然，p、q都為假，于是p或q為假，這與原命題為真相矛盾.另外，根據(jù)平方根的定義，將文字語言轉(zhuǎn)譯成符號語言：4的平方根是x趚2=4，故“4的平方根是2或-2”等價于“x2=4的解集為{x|x=2或x=-2}”，這里“或”顯然不是邏輯聯(lián)結(jié)詞.同理，命題(2)中“或”也不是邏輯聯(lián)結(jié)詞，“正數(shù)或0”必須看成一個整體.

對于文［2］認為命題(1)可寫為p或q，p:4的平方根可能是2；q:4的平方根可能是-2.認為原命題省略“可能”一詞，“可能是”的含義為“是而非”(“不一定是”)，與“一定是”、“是”有區(qū)別，若將可能是”理解為“是”，由平方根定義知，p、q都為假，于是p或q為假，這與原命題為真相矛盾，為了說p、q為真，選擇將“可能是”理解為“不是”，這太牽強附會了.

對于文［3］認為命題(1)可寫為p或q，p：4的一個平方根是2，q:4的一個平方根是-2，認為命題省略了“一個”，試問“4的平方根”能說成“4的一個平方根”嗎?這不是省略問題，完全是兩碼事，實質(zhì)上是偷換命題，所以根據(jù)正數(shù)平方根的定義，4的平方根指兩個，而說成4的一個平方根，這樣有勉強湊合說命題(1)為復合命題之嫌，而文［4］之觀點與文［3］類似.

3.困惑的詮釋

綜上所述，只有不誤解數(shù)學的定義、概念、性質(zhì)和法則等，才能正確判斷命題的真假，只有不誤認為只要出現(xiàn)“或”即為邏輯聯(lián)結(jié)詞，并結(jié)合“p或q”復合命題的真值表加以分析，才能破解上述“或”命題的困惑.

一般地，如果含“或”的命題按作為邏輯聯(lián)結(jié)詞拆開后，“p或q”命題為假(真)命題，那么當“p或q”命題與原命題為真(假)相矛盾時，原命題中的“或”不是邏輯聯(lián)結(jié)詞，當與原命題為假(真)相一致時，原命題中的“或”是邏輯聯(lián)結(jié)詞.例如“實數(shù)的平方是正數(shù)或0”為簡單命題(真)，但“正數(shù)的平方是正數(shù)或0”是復合命題(真)，“實數(shù)的平方是負數(shù)或0”為復合命題(假).至此，文［1］提出的困惑就迎刃而解了.

參考文獻

［1］李承華，潘仁貴.“或”命題的困惑［J］.中學數(shù)學教學參考(增刊)，2007，8.

［2］秦慶堯，張德東.“簡易邏輯”教學中存在的問題［J］.中學數(shù)學教學參考，2002，9.

［3］李三平，羅增儒.簡單命題與復合命題的區(qū)別［J］.中學數(shù)學教學參考，2003，8.

［4］李三平，羅增儒.復合命題的構(gòu)造［J］.中學數(shù)學教學參考，2003，9.

［5］謝全苗.“簡易邏輯”不簡單［J］.中學數(shù)學教學參考，2006，8.

［6］呂俊平.對新教材中一道例題和習題表述錯誤的糾正［J］.中學數(shù)學教學參考(增刊)，2007，8.