張小臣

多元函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要概念之一，隨著新課程的改革，高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接，多元函數(shù)的值域與最值問題在全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽和高考中頻頻出現(xiàn).本文就高中階段常見多元函數(shù)最值問題的求解策略作一闡述.

1 多元函數(shù)的定義及有關(guān)概念

定義1 平面點(diǎn)集：建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面.二元有序?qū)崝?shù)組(x, y)的全體, 即R2=R×R={（x,y)|x,y∈R}——坐標(biāo)面.坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合, 稱為平面點(diǎn)集,記作E={(x,y)|(x,y)具有性質(zhì)P}.

定義2 設(shè)D是xoy平面上的點(diǎn)集, 若變量z與D中的變量x,y之間有一個(gè)依賴關(guān)系,使得在D內(nèi)每取定一個(gè)點(diǎn)P(x,y)時(shí), 按著這個(gè)關(guān)系有確定的z值與之對應(yīng), 則稱z是x，y的二元(點(diǎn))函數(shù).記為z=f(x,y)（或z=f(P)）.稱x,y為自變量,稱z為因變量,點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域,數(shù)集{z|z=f(x,y),(x,y)∈D}稱為該函數(shù)的值域.

定義3 類似地，可定義“n維空間”、“n元函數(shù)”.二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).

2 多元函數(shù)最值問題求解策略

1.減元法：根據(jù)化歸思想的理論可嘗試將多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元函數(shù)來處理，可通過換元、不等式放縮技巧、題中條件等式等途徑實(shí)現(xiàn).

（1）通過換元減元：

說明：本題的第二小題，我們常見的解法是將三角形的面積S表示為直線斜率k的函數(shù)，再求這個(gè)一元函數(shù)的最值，運(yùn)算繁瑣.這里運(yùn)用了二維柯西不等式 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)（當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時(shí)取等號）來求簡潔明了.

參考文獻(xiàn)

[1] 羅增儒.心路歷程：認(rèn)識(shí)、反思、拓展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2007.10

[2] 齊明鑫,周璇,呂飛,張志強(qiáng).全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽歷屆真題[M].開明出版社,2005.1

[3] 熊斌,冷崗松.賽前集訓(xùn)——高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽專題輔導(dǎo)[M].華東師范大學(xué)出版社,2004.5

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