王　勇

近幾年來，高考數(shù)學(xué)解答題一般為6個(gè)題，分別為三角題、概率題、導(dǎo)數(shù)題、立幾題、解幾題、壓軸題（代數(shù)型或幾何型），變一題把關(guān)為多題把關(guān)，前兩題一般難度稍低，最后四個(gè)題分別考查不同的內(nèi)容，入口寬，但設(shè)置層層關(guān)卡，多層次、多角度地對(duì)考生進(jìn)行四種能力的考查，用以區(qū)分考生靈活地運(yùn)用知識(shí)和方法去分析和解決問題的能力.解答題都具有一定的綜合性，不是在某個(gè)單一知識(shí)點(diǎn)挖掘，而是注意多個(gè)知識(shí)點(diǎn)與方法的聯(lián)系與有機(jī)結(jié)合，在知識(shí)、方法網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題.下面分類預(yù)測(cè)六道解答題的命題趨勢(shì)并斗膽示例（限于篇幅，僅給出答案，解答過程從略）予以押猜，供研讀參考.

1 三角題——平平淡淡考功底

1．以“平面向量”進(jìn)行包裝，實(shí)考三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

2．以“平面向量”進(jìn)行包裝，實(shí)考三角形中的三角函數(shù)問題.

點(diǎn)評(píng) 本題由一道常見的題目巧妙改編而成，考查平面向量與三角函數(shù)的交匯，其中正弦定理、余弦定理、均值不等式等的參與，給本題增色添彩，堪稱一道優(yōu)秀的創(chuàng)新題.

2 概率題——想說愛你不容易

1．理科題重點(diǎn)考查隨機(jī)變量的分布列與期望，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，獨(dú)立重復(fù)事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有關(guān)優(yōu)化決策能力；

2．文科題主要考查古典概率，互斥事件的概率，獨(dú)立事件的概率，獨(dú)立重復(fù)事件的概率等，考查應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力；

3．難度有所提升，考生應(yīng)有心理準(zhǔn)備.

示例3 （理）在一款網(wǎng)絡(luò)游戲中，每個(gè)玩家被賦予了一種“攻擊力”屬性（記為AT）.某玩家現(xiàn)在的AT值為100，他從該游戲官方網(wǎng)站的公告得知，在某處叢林里，有一群“外星怪獸”正在摧毀森林，他決定獨(dú)自去找這些“怪獸”一一戰(zhàn)斗.依游戲設(shè)定，以他目前的級(jí)別，在與這群“怪獸”的所有戰(zhàn)斗中，他獲勝的概率均為23，若不能獲勝，他總有機(jī)會(huì)“逃跑”.如果不能連續(xù)獲勝，則獲勝一場(chǎng)戰(zhàn)斗，他的AT值將加3；如果連續(xù)獲勝n場(chǎng)戰(zhàn)斗，則他在這n場(chǎng)戰(zhàn)斗中增加的AT值分別為3,4…,n+2(n∈N*），如果“逃跑”，則他的AT值不變.已知在他的級(jí)別提升之前，他總共與7只這樣的“怪獸”進(jìn)行了戰(zhàn)斗.

（1）求他在這7次戰(zhàn)斗中獲勝3場(chǎng)的概率；

（2）如果已知他在這7次戰(zhàn)斗中獲勝了3場(chǎng)，求他現(xiàn)在的AT值的期望.

答案 （1）2802187；（2）110.

點(diǎn)評(píng) 本題以學(xué)生喜愛的游戲?yàn)楸尘?，重點(diǎn)考查了獨(dú)立重復(fù)事件的概率、對(duì)立事件的概率、互斥事件的概率等，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.還考查了隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，極富思考性、趣味性和挑戰(zhàn)性.

示例4 （文）現(xiàn)有分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張白色卡片、5張黃色卡片、5張紅色卡片.每次試驗(yàn)抽一張卡片，對(duì)i=1,2,3,4,5作如下約定：

若取到一張寫有數(shù)字為i的白色卡片，則得i分，

若取到一張寫有數(shù)字為i的黃色卡片，則得i+1分，

若取到一張寫有數(shù)字為i的紅色卡片，則得i+2分.

（1）求得分為3分的概率；

（2）求得分大于3分的概率.

答案 （1）15；（2）35.

點(diǎn)評(píng) 本題考查互斥事件的概率加法公式，其中第（2）問所用的思想方法“正難則反”值得充分借鑒和回味.讀懂題目所給的約定是求解的關(guān)鍵.

3 導(dǎo)數(shù)題——代數(shù)推理好載體

1．將函數(shù)、方程、不等式與導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一起，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、方程根的分布、不等式的有關(guān)問題等，是新課程高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，不可等閑視之;

2．文科題給出的是高次函數(shù)（兼考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義），理科題給出的是對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù).此類題型是考查考生代數(shù)推理能力的極好素材，倍受命題者的青睞！

示例5 （理）已知函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 本題將函數(shù)、數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、不等式與導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一起，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用.第（3）問通過舉反例否定命題的方法應(yīng)切實(shí)掌握.

點(diǎn)評(píng) 本題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線的切線、不等式等問題，是新課程高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，敬請(qǐng)?zhí)貏e關(guān)注.

4 立幾題——傳統(tǒng)向量比法力

1．以柱體和錐體為載體全方位地考查立體幾何中的重要內(nèi)容，如線線、線面與面面的位置關(guān)系、二面角問題、距離問題等，既有計(jì)算又有證明，一題多問，階梯排列;

2．此題一般既可用傳統(tǒng)方法解答，又可用空間向量處理，有的題是兩法兼用，可謂珠聯(lián)璧合，相得益彰！究竟選用哪種方法，要由自己的長(zhǎng)處和圖形特征來確定;

3．“動(dòng)態(tài)”探索性問題是近幾年高考立體幾何命題的新亮點(diǎn)，敬請(qǐng)?zhí)貏e關(guān)注.

圖1示例7 如圖1，已知四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠A=90°,AB∥CD且AB=12CD.

（1）在線段PC上求一點(diǎn)F，使BF∥平面PAD；

（2）若PA=AD，求二面角B-PC-D的大?。?/p>

（3）設(shè)PA=AD=2，CD=3,求A點(diǎn)到平面PBC的距離.

答案 （1）略；（2）90°；（3）33417.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，二面角的計(jì)算和點(diǎn)到平面距離的求法.基于題目中出現(xiàn)了三條互相垂直的線段，它是建立空間直角坐標(biāo)系的“題眼”.本題第（1）問用幾何法求解較好，而第（2）、（3）問用空間向量方法求解較為簡(jiǎn)捷，體現(xiàn)了兩種方法的活用.注意抓住空間向量方法的代數(shù)化、程序化特征，能降低思維量.

示例8 如圖2，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都為a，P為A1B上的點(diǎn).

（1）試確定A1PPB的值，使得PC⊥AB；

（2）若A1PPB=23，求二面角P-AC-B的大??；

（3）在(2)的條件下，求C1到平面PAC的距離.

圖2答案 （1）略；（2）60°；（3）12a.

點(diǎn)評(píng) 本題以正三棱柱為載體全方位地考查了立體幾何中的重要內(nèi)容，如線面與線線的位置關(guān)系、二面角問題、距離問題等.考查的知識(shí)點(diǎn)豐富，是一道優(yōu)秀的創(chuàng)新型試題.建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量求解的思路和方法應(yīng)熟練掌握，這樣可使思維程序化.

5 解幾題——精打細(xì)算合情理

1．平面向量與平面解析幾何都具有數(shù)與形結(jié)合的特征，在它們的知識(shí)點(diǎn)交匯處命題，正是高考命題的一大亮點(diǎn);

2．考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題是?？汲Ｐ隆⒔?jīng)久不衰！解析幾何題一般來說計(jì)算量較大且有一定的技巧性（要求品出“幾何味”來），需要你“精打細(xì)算”是情理之中的事情.解析幾何題對(duì)你的意志品質(zhì)和數(shù)學(xué)機(jī)智都是一種考驗(yàn)和檢測(cè);

3．涉及圓錐曲線的參數(shù)的取值范圍問題、最值問題、定值問題、對(duì)稱問題等綜合性問題是高考的常考題型.

示例9 定義離心率e=5-12的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0)，P為橢圓E上的任意一點(diǎn).

（1）試證：若a,b,c不是等比數(shù)列，則橢圓E一定不是“黃金橢圓”；

（2）設(shè)E為“黃金橢圓”，問：是否存在過點(diǎn)F,P的直線l與y軸的交點(diǎn)R滿足RP=-2PF？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）已知橢圓E的短軸長(zhǎng)是2，點(diǎn)S(0,2)，求使SP2取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

答案 （1）略；（2）滿足題意的直線不存在；

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為

點(diǎn)評(píng) 圓錐曲線在新課程高考中的要求不僅沒有降低，反而由于它可以與平面向量綜合在一起，還有所加強(qiáng)，因而常以把關(guān)題面孔出現(xiàn).解答這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握解析幾何的思想方法.在解答這類有一定難度的解答題時(shí)，要有信心，不言放棄，因?yàn)楦呖荚u(píng)分是“踩點(diǎn)得分”，你依據(jù)條件能寫多少，就盡量多寫，踩上得分點(diǎn)便有分?jǐn)?shù)，如本題第（1）問是“送分上門”，棄而不答，令人惋惜！

圖4示例11 如圖4，已知點(diǎn)H(-3,0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足HP·PM=0，PM=-32MQ.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C；

（2）過定點(diǎn)D（m，0）（m>0)作直線l交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，E是D點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求證：∠AED=∠BED.

（3）在（2）中，是否存在垂直于x軸的直線l′被以AD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案 （1）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以O(shè)(0,0)為頂點(diǎn)，以(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線（除去頂點(diǎn)）；（2）略；（3）當(dāng)m>1時(shí)，滿足條件的直線l′存在，其方程為x=m-1；當(dāng)0

點(diǎn)評(píng) 本題考查解析幾何中軌跡方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，其中第（3）問設(shè)計(jì)為一個(gè)探究性的問題，加大了題目難度，有較好的區(qū)分和選拔功能.

6 壓軸題——分段得分巧智取

1．壓軸題經(jīng)常是將函數(shù)、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等有機(jī)地綜合，或?qū)⒔馕鰩缀魏土Ⅲw幾何等巧妙地交匯，構(gòu)成一道超大型綜合題，體現(xiàn)了在“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題”的高考命題指導(dǎo)思想.貌似“龐然大物”，令人望而生畏！對(duì)許多考生來講是形同虛設(shè)，考試時(shí)經(jīng)常是全題放棄，令人惋惜！要知道高考評(píng)分是“踩點(diǎn)得分”，要依據(jù)條件能寫多少，就盡量多寫，踩上得分點(diǎn)便有分?jǐn)?shù).正確的策略是“分段得分巧智取”！

答案 （1）單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0]和[2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為[0,1)和(1,2]；（2）略；（3）略.

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)、數(shù)列為背景綜合考查函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)構(gòu)造、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明以及分析問題、解決問題的能力. f(x)解析式的獲得是研究單調(diào)性的前提; 對(duì)于數(shù)列{a璶}通項(xiàng)公式的獲得又是解決(2)的前提;(3)的解決又需要以(2)的結(jié)論作為基礎(chǔ).值得強(qiáng)調(diào)的是,(2)中的不等式為數(shù)列不等式,我們?cè)谔幚頃r(shí)先是通過連續(xù)化,將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式,而函數(shù)不等式又借助于構(gòu)造新函數(shù),運(yùn)用求導(dǎo)研究單調(diào)性的方法予以解決.

示例13 （文）對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x∈R，使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，如果函數(shù)f(x)=x2+abx-c(b,c∈N*)有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0、2，且f(-2)<-12.

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{a璶}滿足4S璶·f(1a璶)=1，求數(shù)列{a璶}的通項(xiàng)公式；

（3）如果數(shù)列{a璶}滿足a1=4,a璶+1=f(a璶)，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，恒有a璶<3成立.

答案 （1）f(x)=x22(x-1)(x≠1)；

（2）a璶=-n；（3）略.

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)和數(shù)列為背景,綜合考查了方程、函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)，具有一定的綜合性，在（3）中，我們用到了作差比較法，這實(shí)質(zhì)上是證明不等式（或者比較大?。┳罨A(chǔ)、最重要而且最?？嫉姆椒ǎ@點(diǎn)應(yīng)該引起文科考生的足夠重視.

圖5示例14 如圖5所示，A點(diǎn)是30°角的二面角α-l-β的半平面α內(nèi)一定點(diǎn)，A到直線l的距離為3，過A作AB⊥l于B，O在BA的延長(zhǎng)線上，且|AO|=1，平面α內(nèi)有一點(diǎn)P到平面β的距離等于P到A點(diǎn)的距離. D點(diǎn)在直線AB上，AD=λAB(λ>0)，在α內(nèi)過點(diǎn)D作AB的垂線m.

（1）建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，求P點(diǎn)的軌跡方程；

（2）是否存在過A點(diǎn)的直線MN，使它交P點(diǎn)的軌跡于M、N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)S在直線m上的射影為R，且滿足MR·NR=0？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，則說明理由.

答案 （1）以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則P點(diǎn)的軌跡方程為x24+y23=1；（2）存在這樣的直線MN，只需13<λ≤12即可.

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了圓錐曲線的定義、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及解析幾何的基本思想方法.以二面角為背景設(shè)置問題，具有較強(qiáng)的新穎性和綜合性，難度較大.解答這類綜合性較強(qiáng)的解答題，首先不能有畏懼心理，事實(shí)上，越是綜合性強(qiáng)的題目所涉及到各部分的知識(shí)越淺顯，如本題所涉及到立體幾何知識(shí)非常簡(jiǎn)單，只需利用二面角的知識(shí)得出P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離等于P點(diǎn)到直線的距離的一半即可.一般地，在高考試題中，壓軸題都有一定的難度，解答這類難度較大題的原則是“不求拿滿分，力爭(zhēng)多得分”.

根據(jù)以上分析并結(jié)合2008年新考綱的變化和作者本人多年的經(jīng)驗(yàn)，預(yù)測(cè)2008年高考數(shù)學(xué)六道解答題的命題趨勢(shì)如下：

以平面向量與三角的交匯題或三角函數(shù)與解三角形的融合題開場(chǎng)——穩(wěn)定考生情緒；概率與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題助興——吊起考生胃口；立體幾何題（傳統(tǒng)方法與向量方法任選）平穩(wěn)過渡——考生志在必得；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)題率先發(fā)難——考生騎虎難下；解析幾何題把關(guān)——考生面臨考驗(yàn)；數(shù)列、不等式、函數(shù)等的大型綜合題壓軸——考生盡早了斷（放棄、分段得分或強(qiáng)攻）！

作者簡(jiǎn)介 見本刊2008年第3期

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”