永　亮

現(xiàn)行數(shù)學(xué)教科書(shū)上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞，是我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》一書(shū)時(shí)，把“function”譯成函數(shù)的．

函數(shù)（function）這一名詞，是德國(guó)的數(shù)學(xué)家萊布尼茨17世紀(jì)首先采用的．在最初，萊布尼茨用函數(shù)一詞表示變量x的冪，即x2，x3，…．其后萊布尼茨還用函數(shù)一詞表示曲線(xiàn)上的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線(xiàn)的長(zhǎng)度、垂線(xiàn)的長(zhǎng)度等所有與曲線(xiàn)上的點(diǎn)有關(guān)的量．

與萊布尼茨幾乎同時(shí)，瑞士數(shù)學(xué)家雅克·貝努利給出了和萊布尼茨相同的函數(shù)定義．1718年，雅克·貝努利的弟弟約翰·貝努利給出了函數(shù)的如下定義：由任一變數(shù)和常數(shù)的任意形式所構(gòu)成的量叫做這一變數(shù)的函數(shù)．換句話(huà)說(shuō)為：由x和常量所構(gòu)成的任一式子都可稱(chēng)之為關(guān)于x的函數(shù)．

約翰·貝努利的學(xué)生瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，把約翰·貝努利關(guān)于函數(shù)的定義又推進(jìn)了一步，使之更加明朗化．1775年，歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量以某一種方式依賴(lài)于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱(chēng)為后面變量的函數(shù)．”

由此可以看到，由萊布尼茨到歐拉所引入的函數(shù)概念，都還是和解析表達(dá)式、曲線(xiàn)表達(dá)式等概念糾纏在一起的．

為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)所出現(xiàn)的各種情況，為了適應(yīng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西引入了新的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值也可隨之而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)稱(chēng)為‘自變數(shù)，其他各變數(shù)則稱(chēng)為‘函數(shù)．”在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了“自變量”一詞．

這一定義和我們現(xiàn)行中學(xué)課本的定義是很相近的．在這里，函數(shù)的概念和曲線(xiàn)、連續(xù)、不連續(xù)等概念之間糾纏不清的情況，已經(jīng)得到了澄清．

但是，柯西的定義總還是考慮到x，y之間的關(guān)系可用解析式表示．德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼引入了新的定義：“對(duì)于x的每一個(gè)值， 總有完全確定了的值與之對(duì)應(yīng)，而不拘于建立x，y之間的對(duì)應(yīng)方法如何，均將y稱(chēng)為x的函數(shù)．”

1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每一個(gè)x都有確定的值 ，并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法．函數(shù)的這種依賴(lài)關(guān)系可以存在，但仍然是未知的.”這個(gè)定義指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系（條件）的必要性，利用這個(gè)關(guān)系可以求出每一個(gè)x的對(duì)應(yīng)值．

1837年德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是無(wú)關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)．”這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱(chēng)為x的函數(shù)，只須有一個(gè)法則存在，使得這個(gè)函數(shù)取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的y值和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是公式或圖象或表格或其他形式．這個(gè)定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便．因此，這個(gè)定義曾被較長(zhǎng)期地使用．

我們看到，函數(shù)這個(gè)重要概念發(fā)展到近代，經(jīng)過(guò)了一段如此漫長(zhǎng)的道路，從某種意義上來(lái)說(shuō)，它反映了人類(lèi)對(duì)事物逐漸精確化的認(rèn)識(shí)過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)史表明，重要的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起著不可估量的作用．