趙國(guó)瑞

題目 如圖1，過△ABC的頂點(diǎn)C作一條直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)E，求證：＝.

這是一道好題．通過結(jié)論的靈活轉(zhuǎn)換，可以獲得該題的多種證法.下面介紹有關(guān)的思路．

思路1：由＝，得＝，所以關(guān)鍵是找出線段FB.

聯(lián)想到三角形中位線性質(zhì)，可取線段FB的中點(diǎn)M，連接DM，如圖2．則DM是△BCF的中位線，所以FM＝FB，DM∥EF．在△AMD中，由相似三角形的性質(zhì)，得＝，即＝.

還可以過點(diǎn)D作DM∥AB交FC于點(diǎn)M，如圖3．因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，所以DM＝FB．由△AEF∽△DEM，得＝，即＝.

思路2：＝即＝，所以關(guān)鍵是找出線段2ED.

聯(lián)想到平行四邊形的性質(zhì)，可延長(zhǎng)ED到M，使DM=ED，如圖4，則EM=2ED.連接BM，易證△DEC≌△DMB（SAS），∠DEC＝∠DMB，所以FC∥BM．故EF∥BM．在△ABM中，由相似三角形的性質(zhì)有＝，即＝.

還可以過B作BM∥ED交CF的延長(zhǎng)線于M，如圖5．則ED是△CBM的中位線，所以BM=2ED.由△AEF∽△BMF，得＝，即＝.

思路3：由＝，得∶=2∶1．可過點(diǎn)A作AM∥BC交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖6．由△AME∽△DCE，△AMF∽△BCF，則＝，＝.

由BC=2DC，易知∶=2∶1.

思路4：由＝，得∶=2∶1．可過點(diǎn)C作CF的垂線l，再分別過A、B、D向l引垂線，垂足分別為A′、B′、D′，如圖7．則=，=.由D是BC的中點(diǎn)知D′是B′C的中點(diǎn)，所以CB′=2CD′，從而∶=2∶1.

思路5：由＝，得∶=2∶1．結(jié)合圖形，聯(lián)想到同高的兩個(gè)三角形的面積的比等于它們的底邊的比，可連接BE，如圖8．則＝，=＝，所以由比例性質(zhì)有=＝．

由D是BC的中點(diǎn)可知S△BEC=2S△EDC.

從而∶=2∶1.

當(dāng)然，也可通過連接DF來完成證明，如圖9，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手試試．