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      利用變式訓練 促進能力提高

      2008-09-27 09:18劉志鳳
      中學生數理化·中考版 2008年7期
      關鍵詞:三角板直角直角三角形

      劉志鳳

      由中招命題人員巧妙設計、精心推敲而成的中招試題,以其精準、新穎的特點受到師生們的青睞,若能抓住一些典型題目,深入研究,多進行變式訓練,將能使學生更深刻、更系統地掌握數學知識,培養(yǎng)學生運用數學思想方法分析問題、解決問題的能力.現舉例探討如下.

      例題 (2006年德州市中考題)兩個全等的含30°和60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖1所示放置,E,A,C三點在一條直線上,連接BD,取BD的中點M,連接ME,MC.試判斷△EMC的形狀,并說明理由.

      解:△EMC的形狀是等腰直角三角形.證明如下.

      連接AM.由題意可得DE=AC,∠DAE+∠BAC=90°.

      ∴∠DAB=90°.

      又∵DM=MB,所以MA= DB=DM,∠MAD=∠MAB=45°.

      ∴∠MDE=∠MAC=105°,∠DMA=90°.

      ∴△EDM≌△CAM.

      ∴∠DME=∠AMC,EM=MC.

      又∠DME+∠EMA=90°,故∠EMA+∠AMC=90°.

      ∴CM⊥EM.所以△EMC的形狀是等腰直角三角形.

      變式1 在圖1中,連接AM得到圖2.已知ME,MC分別交AD,AB于P,Q,連接PQ.

      (1) 判斷線段AM與線段BD的位置關系,并說明理由.

      (2) 判斷△PMQ的形狀,并說明理由.

      (3) 點D,E,A,M是否在同一個圓上?點B,C,A,M呢?

      評析: 完成一道題目后,多問幾個為什么,多觀察、多思考,其意義將遠遠超過做題本身.

      變式2 在圖2中,令△EMC繞點M旋轉,則通過對圖形運動變化過程的探究,可順利解決下面兩例中招題.

      1. (2006年聊城市)如圖3,在等腰Rt△ABC中,P是斜邊BC的中點,以P為頂點的直角的兩邊分別與邊AB,AC交于點E,F,連接EF.當∠EPF繞頂點P旋轉時(點E不與A,B重合),△PEF也始終是等腰直角三角形,請你說明理由.

      2. (2007年臨沂市)如圖4(1),已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為DF),將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉.

      (1) 在圖4(1)中,DE交AB于M,DF交BC于N.

      ① 證明DM=DN;

      ② 在這一旋轉過程中,直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN.請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化.若發(fā)生變化,請說明是如何變化的;若不發(fā)生變化,求出其面積.

      (2) 繼續(xù)旋轉至如圖4(2)的位置,延長AB交DE于M,延長BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

      (3) 繼續(xù)旋轉至如圖4(3)的位置,延長FD交BC于N,延長ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?請寫出結論,不用證明.

      變式3 在例題中,令三角板BAC繞點A沿順時針方向旋轉(為簡單起見,令旋轉角不大于90°),如圖5.

      (1) ∠EM′C′的大小與∠EMC相比是否發(fā)生了變化?若發(fā)生了變化,說明如何變;若沒有變,說明理由.

      (2) 以D,E,A,M′為頂點的四邊形能否成為矩形?若能,請說出旋轉角;若不能,請說明理由.

      評析: 運用運動變化思想,是這幾年中考命題的主軸,我們應注意平時的訓練.

      變式4 如圖6,將圖1中三角板AED和ACB分別沿AD,AB翻折至△ADE′,△ABC′,連接ME′,MC′,試判斷△ME′C′的形狀,并說明理由.

      變式5 將例題中條件“兩個含30°角的三角板”改為“兩個全等的任意直角三角形紙片”,其他條件不變,如圖7.不妨令∠DAE≤45°,則變式1中的結論是否仍然成立?

      評析: 這種放寬條件將結論推廣的問題,也是近幾年中考命題的一個重要方向.

      變式6 如圖8(1),直線l過等腰Rt△DAB的直角頂點A,過D,B分別作DE⊥l于E,BC⊥l于C.

      (1) 試判斷△DEA和△BCA是否全等,并說明理由.

      (2) 當直線l繞點A沿逆時針方向,由圖8(1)旋轉到如圖8(2)所示位置時,(1)中結論是否成立?為什么?

      (3) 在(2)中,連接CD,BE,則在旋轉過程中,以B,C,D,E為頂點的四邊形能成為等腰梯形嗎?為什么?

      (4) 試說明在(2)的旋轉過程中,DE2+BC2的值為定值.

      評析: 由這道題我們可以看出,有些題目看似相互無關,實際是圖形按一定規(guī)則演變的結果.做題時能看透這一點,會快速準確地解答.

      綜上可以看出,從題目的條件、結論、背景等方面入手,對原題加以改造創(chuàng)新,既有利于激發(fā)學生學習數學的興趣,又使學生在觀察探究中,進一步明晰問題的來龍去脈,優(yōu)化知識結構,達到事半功倍的學習效果.

      變式訓練提示或答案

      變式1 (1) 由AM是Rt△DAB斜邊上的中線,可知AM垂直平分線段BD.

      (2) △PMQ為等腰直角三角形.證∠PMQ=90°及△DMP≌△AMQ,可得MP=MQ.

      (3) 取AD的中點O,則易證OE=OD=OA=OM.同理點B,C,A,M也共圓.

      變式2 1. 證明方法同變式1的第(2)小題.

      2. (1) ① 連接DB.證△BMD≌△CND或△ADM≌△BDN,可得DM=DN.

      ② 四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化.由①知S△BMD =S△CND .

      ∴S四邊形DMBN =S△DBN +S△DMB =S△DBN +S△DNC =S△DBC = S△ABC = .

      (2) DM=DN仍然成立,證明略.

      (3) DM=DN仍成立.

      變式3 (1) 在旋轉過程中,始終有∠EM′C′=90°.由變式1中第(3)小題知M′,A,E,D四點共圓,∠ADE=∠AM′E.同理M′,A,C′,B′四點共圓,∠AM′C′=∠AB′C′,所以∠EM′C′=∠AM′E+∠AM′C′=∠ADE+∠AB′C′=90°.

      (2)能.當旋轉角為30°,即∠DAB′=120°時,易得∠EAM′=90°.又因∠DEA=90°,∠AM′D=90°,所以四邊形DEAM′為矩形.

      變式4 △ME′C′為等腰直角三角形,證△ME′D≌△MC′A可得.

      變式5 結論仍成立.

      變式6 (1) 全等,理由略.

      (2) 成立.

      (3) 不能.因DE∥BC,若DE=BC,則四邊形BCDE為平行四邊形,不是等腰梯形;若DE≠BC,由DC= ,BE= ,可知DC≠BE.

      (4) 在旋轉過程中,有DE2+BC2=DE2+AE2=AD2,由AD為定值,可知DE2+BC2為定值.

      注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”

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