徐壽春

絕對值是初中數(shù)學知識的一個重點,也是一個難點,其中蘊涵著許多有價值的數(shù)學思想,值得好好挖掘.現(xiàn)借助幾例,與你一起來探究一下.

一?分類討論的思想

我們知道:一個正數(shù)的絕對值是它本身,一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值是0.反過來,一個數(shù)的絕對值是正數(shù),則這個數(shù)的正負性有兩種可能,我們在解決問題時,就要分類討論研究.

例1已知|x|=1,y=1,求x+y的值.

分析:由絕對值的定義可知:已知|x|=1,可求出x=±1.從而求出代數(shù)式x+y的值,這里須分情況討論.

解:∵|x|=1,

∴x=±1.

于是有兩種情況:

(1)當x=1,y=1時,x+y=1+1=2;

(2)當x=-1,y=1時,x+y=-1+1=0.

一個數(shù)的絕對值是正數(shù),則這個數(shù)的正負性有兩種可能,在沒有說它是正是負時,要分類討論.

練一練絕對值等于它的相反數(shù)的數(shù)是_______________.

提示:我們知道,負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù),是不是就這一種?仔細一想,還會記起“零的絕對值是零”,其包括兩層意思:一,零的絕對值是它本身;二,零的絕對值是它的相反數(shù).熟練掌握了這種特殊性質(zhì),就容易解決這個問題了.

二?數(shù)形結(jié)合的思想

我們知道:在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點到原點的距離,叫做這個數(shù)的絕對值.絕對值反映了“距離”問題,由此得出:

①任何一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù);

②在原點兩邊存在著與其距離相同的兩個點,但它們表示的數(shù)正好是相反數(shù);

③絕對值最小的數(shù)是零,但無絕對值最大的數(shù).

例2絕對值小于2 008的所有整數(shù)有多少個?

分析:直接列出所有整數(shù),可能會漏一些數(shù),借用數(shù)軸來做做.

解:畫數(shù)軸草圖,這里略.

在數(shù)軸上離開原點的距離小于1,這樣的點表示的整數(shù)只有一個:0.

在數(shù)軸上離開原點的距離小于2,這樣的點表示的整數(shù)只有三個:0,±1.

在數(shù)軸上離開原點的距離小于3,這樣的點表示的整數(shù)只有五個:0,±1,±2.

故絕對值小于2 008的所有整數(shù),共有2 007×2+1=4 015(個).

結(jié)合數(shù)軸,先從簡單情形入手,逐步深入分析,找出規(guī)律,從而解決問題.