基于無(wú)源性的航天器姿態(tài)跟蹤控制設(shè)計(jì)*

霍 偉

(北京航空航天大學(xué)第七研究室，北京 100083)

1 引 言

航天器姿態(tài)控制是航天控制研究中的重要問(wèn)題。由于工程中各種復(fù)雜因素和工作環(huán)境的影響，很難得到航天器動(dòng)力學(xué)參數(shù)的準(zhǔn)確值并對(duì)所受干擾進(jìn)行精確建模，因此含模型不確定性航天器的姿態(tài)控制問(wèn)題得到廣泛研究。主要的方法有自適應(yīng)控制、變結(jié)構(gòu)控制、魯棒控制以及這些方法的組合等。

自上世紀(jì)80年代末以來(lái)，機(jī)器人控制領(lǐng)域中基于非線性控制系統(tǒng)理論中無(wú)源性原理的自適應(yīng)控制研究得到很大發(fā)展[1,2]。這種方法最主要優(yōu)點(diǎn)是可以充分利用系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，設(shè)計(jì)出不依賴加速度測(cè)量的自適應(yīng)控制方案。受這類機(jī)器人控制設(shè)計(jì)方法的啟發(fā)，基于無(wú)源性的剛性航天器姿態(tài)控制設(shè)計(jì)越來(lái)越受重視[3～6]，但這類方法的相關(guān)文獻(xiàn)中一般都沒(méi)考慮航天器所受的干擾，給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)不便。

考慮到機(jī)器人和航天器都是非線性力學(xué)系統(tǒng)，具有共同的力學(xué)性質(zhì)，本文利用機(jī)器人研究中發(fā)展起來(lái)的無(wú)源性控制設(shè)計(jì)理論，針對(duì)剛性航天器含慣性參數(shù)不確定性和未知干擾力矩的不同情況，在統(tǒng)一的理論框架內(nèi)設(shè)計(jì)出多種自適應(yīng)和變結(jié)構(gòu)姿態(tài)跟蹤控制律，并給出跟蹤誤差收斂到零的嚴(yán)謹(jǐn)證明。同時(shí)也將一些已有的自適應(yīng)和變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制方法納入這一理論體系，給予新的理論解釋，為今后相關(guān)設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

2 航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型及其力學(xué)性質(zhì)

對(duì)于可視為剛體的航天器，建立慣性參考系及與航天器固連的機(jī)體坐標(biāo)系，將航天器相對(duì)慣性系的姿態(tài)用歐拉角q=[φ,θ,ψ]T表示，它的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為[7]

(1)

式中ω為航天器角速度在機(jī)體坐標(biāo)系中的表達(dá)式。由式(1)可知：B(q)在|θ|<π/2時(shí)可逆，故本文只研究θ在此范圍內(nèi)變化的情況。

設(shè)航天器中3個(gè)反作用輪的轉(zhuǎn)軸沿機(jī)體坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸安裝，其對(duì)機(jī)體坐標(biāo)系原點(diǎn)的慣性張量陣在機(jī)體坐標(biāo)系中的表達(dá)式是一常值對(duì)角陣JR,航天器本體對(duì)機(jī)體坐標(biāo)系原點(diǎn)的慣性張量陣在機(jī)體坐標(biāo)系中的表達(dá)式是一常值對(duì)稱陣J,航天器動(dòng)量矩

H=(J+JR)ω+JRΩ

(2)

式中Ω為反作用輪相對(duì)本體的角速度。由動(dòng)量矩定理可導(dǎo)出航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為[7]

(3)

式中H×為H所對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱叉乘矩陣，u為航天器受到的控制力矩,d為干擾力矩。利用式(1)～(3)可將航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程寫為

(4)

式中

M(q)=BT(q)JB(q),

容易證明航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)具有以下性質(zhì)[8]：

1)M(q)是正定陣。

2)若記

JR=diag(JR1,JR2,JR3),

航天器慣性參數(shù)p[J11,J12,J13,J22,J23,J33,JR1,JR2,JR3]T，其姿態(tài)動(dòng)力學(xué)特性可表為其慣性參數(shù)的線性函數(shù),即對(duì)任意q,Ω,x有

注1．若航天器是以噴氣裝置為作動(dòng)器而沒(méi)有反作用輪,則以上各式中的JR和Ω均為零,u為噴氣裝置施加在航天器上的力矩。

3 基于無(wú)源性的控制器設(shè)計(jì)理論

定義1.記R+[0,∞)，函數(shù)空間L2定義為

L2中的內(nèi)積和范數(shù)定義為

函數(shù)空間L∞定義為

定義2.函數(shù)f(t)的截取fT(t)定義為

擴(kuò)展的L2空間定義為

?T∈R+}

文獻(xiàn)[2]在研究用統(tǒng)一的方法設(shè)計(jì)機(jī)器人無(wú)源控制器時(shí)證明了以下結(jié)果。

引理1.若閉環(huán)控制系統(tǒng)具有圖1所示的結(jié)構(gòu)，其中算子H1是無(wú)源的，算子H2是嚴(yán)格無(wú)源的，算子H3是無(wú)源的，則輸出r∈L2。

圖1 閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

文獻(xiàn)[1,2]中用這一引理設(shè)計(jì)機(jī)器人無(wú)源自適應(yīng)控制器的基本原理是:證明算子H1的無(wú)源性可由機(jī)器人本身的動(dòng)力學(xué)特性保證; 算子H2的嚴(yán)格無(wú)源性可用反饋控制器保證; 算子H3的無(wú)源性由補(bǔ)償機(jī)器人模型不確定性的自適應(yīng)控制律保證(當(dāng)無(wú)模型不確定性時(shí)這一算子可去掉)。文獻(xiàn)[1,2],中通過(guò)設(shè)計(jì)不同的H2和H3,在統(tǒng)一的理論框架內(nèi)設(shè)計(jì)出了多種機(jī)器人無(wú)源自適應(yīng)控制器。由于航天器與機(jī)器人一樣是受控的非線性力學(xué)系統(tǒng)，所以完全可以借鑒機(jī)器人無(wú)源控制器設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)含模型不確定性的航天器控制器。

4 基于無(wú)源性的航天器姿態(tài)跟蹤控制律設(shè)計(jì)

定義

(5)

取航天器控制

(6)

(7)

為簡(jiǎn)潔表達(dá),式(7) 中未寫出自變量,以下在不會(huì)引起誤解時(shí)均如此處理。式(7)表明閉環(huán)系統(tǒng)可用圖2所示框圖表示。

圖2 航天器閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

由定義知這表明航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)特性可保證H1是無(wú)源的。又易知

其中λm(Kd)是Kd的最小特征值,故由定義知H2是嚴(yán)格無(wú)源的?？紤]到

這表明用PD反饋可保證H2是嚴(yán)格無(wú)源的。

4.1 慣性參數(shù)是未知常數(shù)且干擾力矩上界未知時(shí)的控制設(shè)計(jì)

這時(shí)慣性參數(shù)p=[J11,J12,J13,J22,J23,J33,JR1,JR2,JR3]T[p1,…,p9]T是未知常數(shù),記其估計(jì)值干擾力矩d=[d1,d2,d3]T滿足但是未知常向量。選取控制律(6)中的和參數(shù)自適應(yīng)律如下

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

應(yīng)用以上兩式可算出

由定義知H3是無(wú)源的,再由引理1知r∈L2。

定義函數(shù)

由M(q)及Γ和E的正定性知v(t)≥0。利用式(4)、(6)、(8)、(11)和(12)可算出沿閉環(huán)系統(tǒng)軌線

≤0

這表明沿閉環(huán)系統(tǒng)軌線v(t)單調(diào)有界,故存在有限極限v(∞),且有

0≤v(∞)≤v(t)≤v(t0)<∞, ?t≥t0≥0

由上式及v(t)的定義知

定義4.記以s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)為元的n×n陣全體為Rn×n(s)，對(duì)于W(s)∈Rn×n(s)，若當(dāng)s→∞時(shí)W(s)的所有元均有界,則稱它是正則的; 若當(dāng)s→∞時(shí)W(s)的所有元都趨于零,則稱它是嚴(yán)格正則的; 若W(s)是正則的且其所有極點(diǎn)的實(shí)部均為負(fù),則稱它是指數(shù)穩(wěn)定的。

引理3[10].研究輸入-輸出系統(tǒng)

由式(5)知r和e間的Laplace變換為

命題1.對(duì)于其姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程用式(4)表示的航天器,若其慣性參數(shù)是未知常數(shù)且干擾力矩上界未知時(shí),可用控制律

和參數(shù)自適應(yīng)律(9)和(10)實(shí)現(xiàn)對(duì)期望姿態(tài)的跟蹤。

注2．控制律(13)中各項(xiàng)有明確含義:前兩項(xiàng)為用慣性參數(shù)估計(jì)值算出的前饋動(dòng)力學(xué)補(bǔ)償項(xiàng),第3項(xiàng)是利用干擾力矩上界的估計(jì)值抑制干擾的變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng),第4項(xiàng)是PD反饋?lái)?xiàng)。兩個(gè)參數(shù)自適應(yīng)律分別實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)慣性參數(shù)和干擾力矩上界的估計(jì)值。

注3．與已有控制律相比較可看出：若此時(shí)不考慮干擾力矩，即得到文獻(xiàn)[11]中的自適應(yīng)控制律；若在文獻(xiàn)[8]的控制律中加入對(duì)干擾力矩上界的實(shí)時(shí)估計(jì)，即可得到上述結(jié)果；若對(duì)文獻(xiàn)[12]中干擾力矩上界的估計(jì)方法加以修改，也可將其納入本文的理論框架。

4.2 慣性參數(shù)估計(jì)誤差上界和干擾力矩上界均未知時(shí)的控制設(shè)計(jì)

(14)

(15)

(16)

利用自適應(yīng)律(15)和(16)可算出

由定義知H3是無(wú)源的,再由引理1知r∈L2。

定義函數(shù)

命題2.對(duì)于其姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程用式(4)表達(dá)的航天器,若其慣性參數(shù)估計(jì)誤差上界和干擾力矩上界均未知時(shí),可用控制律和參數(shù)自適應(yīng)律(15)和(16)實(shí)現(xiàn)對(duì)期望姿態(tài)的跟蹤。

(17)

4.3 慣性參數(shù)估計(jì)誤差上界和干擾力矩上界已知時(shí)的控制設(shè)計(jì)

這時(shí)

利用上式可算出

≥0

由定義知H3是無(wú)源的。再定義函數(shù)

命題3.對(duì)于其姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程用式(4)表達(dá)的航天器,若其慣性參數(shù)估計(jì)值的誤差上界和干擾力矩上界均已知時(shí),可用控制律使航天器實(shí)現(xiàn)對(duì)期望姿態(tài)的跟蹤。

4.4 慣性參數(shù)和干擾力矩上界均已知時(shí)的控制設(shè)計(jì)

這時(shí)也可采用更簡(jiǎn)單的變結(jié)構(gòu)控制律。取

這時(shí)可算出

≥0

命題4.對(duì)于其姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程用(4)式表達(dá)的航天器,若其慣性參數(shù)估計(jì)值的上界和干擾力矩上界均已知時(shí),可用變結(jié)構(gòu)控制律實(shí)現(xiàn)對(duì)期望姿態(tài)的跟蹤。

以上命題1～4的結(jié)果均用仿真算例進(jìn)行了驗(yàn)證,由于篇幅所限,不再詳述。

5 結(jié) 論

本文基于機(jī)器人控制研究中提出的無(wú)源性設(shè)計(jì)方法，用統(tǒng)一的理論方法對(duì)含模型不確定性的航天器設(shè)計(jì)了多種自適應(yīng)和變結(jié)構(gòu)姿態(tài)跟蹤控制律，并證明了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，為剛性航天器控制器設(shè)計(jì)提供了理論參考。另外，我們最近的研究表明：對(duì)含柔性附件的航天器，也可用這一理論設(shè)計(jì)出控制律，在實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤的同時(shí)，抑制柔性附件的振動(dòng)，有關(guān)結(jié)果將另文發(fā)表。

最后需要說(shuō)明的是，本文為敘述清楚做了兩點(diǎn)簡(jiǎn)化：一是只研究了用歐拉角描述姿態(tài)的情況,但所述方法對(duì)用四元數(shù)描述姿態(tài)時(shí)也完全適用,因?yàn)檫@時(shí)航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)也具有文中所述的3個(gè)力學(xué)性質(zhì)[13]；二是用PD控制保證了算子H2的嚴(yán)格無(wú)源性，實(shí)際上使用任何使r和e間傳遞函數(shù)W(s)嚴(yán)格正則且指數(shù)穩(wěn)定的控制(如PID控制等)均可[2]。