構(gòu)造思想與學(xué)生解題能力的培養(yǎng)

周秀峰

一、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”我們?cè)谘芯炕蚪鉀Q一類問題時(shí)，如果通過類比、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)它與另一類數(shù)學(xué)問題有密切的聯(lián)系，便可構(gòu)造出一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，使問題得到解決.構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解題是一種創(chuàng)造性思維，沒有固定的模式，它是深刻分析、正確思考和豐富聯(lián)想的產(chǎn)物.構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，能給人以啟示，可使學(xué)生迅速準(zhǔn)確、靈活巧妙地解決問題.

例1解方程x３+2 x２+3x+ -1=0.

分析：三次方程解起來有一定難度，可換個(gè)角度把 看做未知數(shù)，x看做已知數(shù)，構(gòu)建二次方程模型：

x?（ ）２+（2x２+1） +x３-1=0.①

解方程①，得 = ．

則有 =1-x或 =－ ，即x２+（ +1）x+1=0，所以可得方程的三個(gè)根為：x１=1- ，x２=－ ， x３= .

例2設(shè) x，y∈R，求證（x４+y４）（x２+y２）≥（x３+y３）２.

分析：我們可通過構(gòu)造向量模型，解決不等式的證明.不等式左邊可看做兩個(gè)向量a=（x２+y２），b=（x，y）模平方的積，不等式右邊可看做兩個(gè)向量a=（x２+y２），b=（x，y）內(nèi)積的平方，故有（x３+y３）２=（a，b）２=|a|２|b|２cos２?茲≤|a|２|b|２≤（x４+y４）（x２+y２）.

二、運(yùn)用已有信息儲(chǔ)備構(gòu)造輔助問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)教育的核心問題是數(shù)學(xué)思維問題，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)思維過程和結(jié)果的綜合，學(xué)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)知識(shí)，更要學(xué)思考，學(xué)思想.當(dāng)學(xué)生已有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)后，教師應(yīng)抓住典型例題，創(chuàng)造情境，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和建構(gòu)能力.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)和技能構(gòu)造輔助問題.在不等式的證明中，可通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的增減性證明不等式.

例3已知α３-3α２＋5α=1，β３-3β２+5β=5， 求α+β.

解：注意到兩個(gè)已知等式的左邊具有相同的結(jié)構(gòu)，故可引入輔助函數(shù).

ｆ（x）=x３-3x２+5x進(jìn)而化成f（x）=（x-1）３+2（x-1）+3，再引入函數(shù)g（u）=u２+2u，則f（x）、g（x）之間有關(guān)系，g（x-1）=f（x）-3，易見g（u）是單調(diào)上升的奇函數(shù)，而題中的條件變成g（α-1）=f（a）-3=-2，g（β-1）=f（β）-3=2．由g（u）的性質(zhì)知α-1，β-1在x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故有（α-1）+（β-1）=0．由此得α+β=0.

三、通過聯(lián)想構(gòu)造輔助問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

思維的開闊性是創(chuàng)新思維的重要形式，是散發(fā)思維具體表現(xiàn).對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，是培養(yǎng)人才的關(guān)鍵.在平時(shí)學(xué)習(xí)和解題研究中，教師應(yīng)有意識(shí)地滲透構(gòu)造的思想和方法，注重學(xué)生思維的訓(xùn)練，注重積累作為聯(lián)想和構(gòu)造的基礎(chǔ)，定能找到解決問題的途徑，可提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的解題能力.構(gòu)造法解題是一種富有創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，一種數(shù)學(xué)形式的構(gòu)造絕不是單一思維方式的產(chǎn)物，而是多種思維方式交叉、聯(lián)系、融匯在一起共同作用的結(jié)果．應(yīng)用構(gòu)造思想解題屬于求異思維的范疇.

例４x∈R，a為正常數(shù)，且f（x）滿足f（x+a）= ，求證：f（x）是周期函數(shù).

分析：要證明f（x）是周期函數(shù)，只能從定義出發(fā)，但從題中找不到函數(shù)的一個(gè)周期，觀察題目結(jié)構(gòu)，可聯(lián)想到所給式子與tan（ +x）= 相似，而tanx最小正周期為π= ×4，可猜到f（x）周期為4a.

證明：f（2a+x）=f［a+（a+x）］= = =-，

f（4a+x）=f（2a+（2a+x））=- =- =f（x）．

又a＞0，所以4a為f（x）的一個(gè)周期，即f（x）為周期函數(shù).

另外，對(duì)于一些不同的命題甚至是不同類的命題，可通過它們之間的一些相似點(diǎn)尋求統(tǒng)一的解題模式，這里又有著求同思維的因素．掌握好構(gòu)造思想和構(gòu)造法，對(duì)提高我們的思維能力有很大的好處.雖然開始時(shí)會(huì)有一定的難度，但只要自覺地堅(jiān)持進(jìn)行由淺入深的系統(tǒng)訓(xùn)練，最終必有可喜的收獲．構(gòu)造數(shù)學(xué)模型求解應(yīng)用問題，是對(duì)構(gòu)造提出了更高層次的要求，除了要求能對(duì)數(shù)學(xué)各分支的知識(shí)進(jìn)行本質(zhì)上的溝通外，還須有對(duì)其他學(xué)科知識(shí)進(jìn)行綜合把握和綜合應(yīng)用的能力.如何解決好這類問題將是一個(gè)大課題.本文中所探討的解決應(yīng)用問題的基礎(chǔ)，對(duì)研究應(yīng)用問題是大有裨益的.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>