證明

等式,反之不然.證明對稱不等式可以轉(zhuǎn)化為輪換對稱不等式進(jìn)行,證明輪換對稱不等式也可以轉(zhuǎn)化為對稱不等式進(jìn)行,這為對稱不等式和輪換對稱不等式的證明開辟了一條途徑.一、將輪換對稱不等式轉(zhuǎn)化為對稱不等式進(jìn)行證明對于某些輪換對稱不等式,可以轉(zhuǎn)換為對稱不等式進(jìn)行證明.例1(2002 年巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克試題,文獻(xiàn)[1]例1)若a,b,c均為正數(shù),求證:分析這是一個關(guān)于a,b,c的輪換對稱不等式,但不是關(guān)于a,b,c的對稱不等式,不能直接使用排序不等式證明,但我們可將其

300) 李云杰證明:按從左到右的順序進(jìn)行.(1)第一個不等式的證明.當(dāng)R-3r≥0時，顯然有(R-3r)s2+3r2(4R+r)≥0成立.當(dāng)R-3r(2)第二個不等式的證明.(3)第三個不等式的證明.(4)第四個不等式的證明.(5)第五個不等式的證明.(6)第六至八個不等式的證明.(7)第九個不等式的證明.

(1)式．從上述證明不難看出，條件abc=1是多余的．接著證明猜想2成立．由(6)式知，要證明(2)式成立，只需要證明4[a(2a+c)+b(2b+a)+c(2c+b)]2≥3[(2a+c)2(b+c2)+(2b+a)2(c+a2)+(2c+b)2(a+b2)]．(7)?4[2(a2+b2+c2)+ab+bc+ca]2≥3[(2a+c)2(b(a+b+c)+c2)+(2b+a)2(c(a+b+c)+a2)+(2c+b)2(a(a+b+c)+b2)]．(8)