綜合型概率問題

陳茂林

概率與代數(shù)、概率與幾何綜合問題是一種重要的題目類型，中考中也經(jīng)常出現(xiàn).本文以中考題為例說明這類問題的特點和解法，供參考.

例1 （2008年泰州市）已知關(guān)于x的不等式ax+3>0（其中a≠0）.

（1） 當(dāng)a=-2時，求此不等式的解，并在數(shù)軸上表示此不等式的解集.

（2） 小明準(zhǔn)備了10張形狀、大小完全相同的不透明卡片，上面分別寫有整數(shù)-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1.將這10張卡片一面向下放在桌面上，從中任意抽取1張，以卡片上的數(shù)作為不等式的系數(shù)a，求使該不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率.

分析： 第（2）題用列舉法，把10個整數(shù)作為系數(shù)a逐個代入不等式，求出不等式的解集，然后逐一探求此不等式是否有正整數(shù)解.在弄清楚所有情況之后，根據(jù)古典概型的概率計算方法求出此不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率.

解：（1） 略.

（2） 取a =－1，不等式ax+3＞０的解集為x＜3，不等式有正整數(shù)解.

取a =－2，不等式ax+3＞０的解集為x＜ ，不等式有正整數(shù)解.

取a =－3，不等式ax+3＞0的解集為x＜1，不等式?jīng)]有正整數(shù)解.

取a =－4，不等式ax+3＞0的解集為x＜ ，不等式?jīng)]有正整數(shù)解.

經(jīng)驗證，取a =－5，－6，－7，－8，－9，－10時，不等式ax+3＞0都沒有正整數(shù)解.

∴共有10種可能情況，其中沒有正整數(shù)解的情況有8種.

∴P（不等式?jīng)]有正整數(shù)解）= = .

例2 （2007年鎮(zhèn)江市）如圖1，圓心與坐標(biāo)原點重合.在直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為“格點”.

（1） 寫出⊙O上所有格點的坐標(biāo)：______.

（2） 設(shè)l為經(jīng)過⊙O上任意兩個格點的直線.

① 滿足條件的直線l共有多少條？

② 求直線l同時過第一、二、四象限的概率.

解：（1） ⊙O上所有格點的坐標(biāo)為：（1，2），（2，1），（2，-1），（1，-2），（-1，-2），（-2，-1），（-2，1），（-1，2）.

（2） ① 不妨設(shè)第（1）題的8個點依次為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，那么經(jīng)過點A的直線有7條.同理，經(jīng)過B，C，D，E，F(xiàn)，G，H點的直線也各有7條，但是AB和BA是同一條直線，所以經(jīng)過格點的直線共計有：7×8÷2=28（條）.

也可用列表或畫樹狀圖法求得.

② 同時經(jīng)過第一、二、四象限的直線為AB，AC，BH，CH.

所以P（直線l同時經(jīng)過第一、二、四象限）= = .

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文