一道２００７北方數(shù)學(xué)奧林匹克試題的推廣

鄒守文

2007第三屆北方數(shù)學(xué)奧林匹克第8題為

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為1，三邊長(zhǎng)BC=a,CA=b,AB=c.若a、b、c都是整數(shù)，求證：△ABC為直角三角形.

文［1］中劉康寧先生指出，該題曾刊登于《數(shù)學(xué)教學(xué)》2000年第1期“數(shù)學(xué)問(wèn)題”欄.其實(shí)該題曾作為1988年四川省賽題［2］，筆者在文［2］中給出下面的問(wèn)題：

求所有滿足條件的三角形的三邊長(zhǎng)：(1)三角形的三邊長(zhǎng)為整數(shù)；(2)三角形的內(nèi)切圓半徑為2.

上述兩題分別等價(jià)于：

△ABC的周長(zhǎng)是面積的2倍和△ABC的周長(zhǎng)等于面積.

下面給出此類(lèi)問(wèn)題的一般性結(jié)論有：

求滿足下列條件的三角形的三邊長(zhǎng)：(1)三邊長(zhǎng)是整數(shù)；(2)周長(zhǎng)是面積的整數(shù)倍.

解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為a,b,c，周長(zhǎng)是面積的k(k為整數(shù))倍，由海倫公式，知

a+b+c=k?a+b+c2?a+b-c2?b+c-a2?c+a-b2,則4?a+b+c2=k2?b+c-a2?c+a-b2?a+b-c2①

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>