彭 坤，徐世杰

（北京航空航天大學宇航學院，北京100191）

基于沖量變軌原理的地球同步衛(wèi)星有限推力變軌策略

彭 坤，徐世杰

（北京航空航天大學宇航學院，北京100191）

推力有限時，地球同步軌道衛(wèi)星在遠地點變軌的弧段很長，會導致較多的燃料消耗?；跊_量變軌原理，研究了地球同步軌道衛(wèi)星遠地點有限推力多次變軌問題，提出了具有星下點約束的最省燃料變軌方案，給出了每次變軌的推力方向和點火起止時刻及最優(yōu)中間過渡軌道。仿真結(jié)果驗證了該方案的有效性。

沖量變軌；地球同步衛(wèi)星；有限推力；遠地點變軌

1 引 言

從近地橢圓停泊軌道進入地球同步軌道是一種常見的變軌方式，工程上一般采用在遠地點多次變軌的策略。以往地球同步軌道衛(wèi)星都利用固體發(fā)動機來進行變軌。其特點是推力大，作用時間短，可認為是沖量式變軌?，F(xiàn)在，衛(wèi)星多采用液體發(fā)動機進行變軌，這種發(fā)動機可進行多次點火，前一次點火中產(chǎn)生的誤差可在以后多次點火期間修正，而且在變軌期間其低推力特性使衛(wèi)星容易維持其三軸穩(wěn)定性。這時，沖量假設(shè)不再成立，而最省燃料的有限推力變軌問題歸結(jié)為求解大型的非線性兩點邊值問題，但求解過程非常復(fù)雜。

文獻[1]應(yīng)用遞推二次規(guī)劃算法進行有限推力遠地點變軌參數(shù)尋優(yōu)，但算法比較復(fù)雜。文獻[2]研究了推力較小時在遠地點采用多次變軌的最優(yōu)變軌過程，但存在初始猜測問題，且入軌時沒有精度限制。文獻[3]利用動態(tài)規(guī)劃技術(shù)研究了多沖量推力作用下的最優(yōu)交會問題，但采用了沖量式變軌且僅適用于共面橢圓軌道。文獻[4]利用極大值原理給出了交會問題中最優(yōu)推力弧段的幾個性質(zhì)。文獻[5-6]研究了三軸穩(wěn)定模式下的有限推力軌道轉(zhuǎn)移問題，及交會時衛(wèi)星在三維空間的最省燃料有限推力軌道轉(zhuǎn)移問題。文獻[7]討論了求解有限推力軌跡優(yōu)化問題的直接打靶方法。文獻[8]運用遺傳算法對有限推力軌道攔截問題進行了優(yōu)化。上述討論中，文獻[5-8]均只研究了一次變軌的過程，沒有涉及多次變軌問題，這將使變軌誤差無法得到修正。

由文獻[6]可知，衛(wèi)星在最省燃料異面有限推力軌道轉(zhuǎn)移過程中推力方向在慣性空間幾乎成固定值。為了簡化計算，可假設(shè)變軌過程中發(fā)動機的推力方向在慣性系中不變，且始終在節(jié)點慣性系的xoy平面內(nèi)。在此基礎(chǔ)上，可利用沖量變軌的原理估算每次變軌中軌道要素的變化所需的燃料消耗和點火信息，通過優(yōu)化中間過渡軌道的軌道要素來減少燃料消耗。此方法避開了求解兩點邊值問題，簡化了計算過程，而由于推力弧問題產(chǎn)生的誤差可通過以后幾次變軌進行補償。

本文利用上述方法研究了衛(wèi)星從近地橢圓軌道到地球同步軌道最省燃料的多次變軌策略?；谕屏Υ笮〔蛔儭⑼屏Ψ较蛟诠?jié)點慣性系的xoy平面內(nèi)不變的假設(shè)，討論了每次變軌時有限推力點火信息的求取方法（包括點火時刻、熄火時刻和推力方向）。仿真算例中考慮了衛(wèi)星在進入地球同步軌道時的星下點約束，仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

2 軌道動力學模型

在整個變軌過程中，衛(wèi)星始終繞地球飛行，因此衛(wèi)星的動力學方程可用第一組軌道攝動方程[9]表示

式中，a、e、i、Ω、ω和θ分別為軌道半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點赤經(jīng)、近地點輻角和真近點角。p是半通徑，p=a（1-e2），h是軌道角動量μ為地心引力常數(shù)，r是衛(wèi)星到地球中心的距離，r=p/（1+e cosθ），fr、fu和fh分別為地球扁率、日月引力及發(fā)動機推力的合加速度在徑向、切向和角動量方向的分量。

由文獻[6]的結(jié)論，可設(shè)推力方向只在節(jié)點慣性系的xoy平面內(nèi)變化，故可用偏航角ψ來表示推力加速度的徑向分量fT_r、切向分量fT_u和角動量方向分量fT_h，其關(guān)系式為

其中，節(jié)點系和軌道系的關(guān)系如圖1所示。

3 基于沖量變軌的變軌點火信息求取方法

圖1 節(jié)點系和軌道系的關(guān)系圖

一般單沖量變軌方式有以下三種：一是僅改變軌道傾角，不改變半長軸時（在升或降交點施加沖量），需要的速度增量是Δvi=2v0sin（Δi/2）；二是僅增大軌道半長軸，不改變傾角時（在遠地點施加沖量），需要的速度增量是Δva=vf-v0；三是既變傾角又變半長軸時，需要的速度增量是Δv=其中，v0為施加沖量前速度，vf為施加沖量后的最終速度，Δi為軌道傾角變化量。

圖2 變軌的速度增量

根據(jù)文獻[6]，可設(shè)最省燃料的推力方向在慣性系上是不變的。在變軌時間不長（即推力弧不長）的情況下，可用沖量變軌原理來算出改變衛(wèi)星軌道要素所需的速度增量Δv，把Δv的方向作為變軌過程的推力方向。由此可求得發(fā)動機的偏航角為ψ=arcsin（vfsin（Δi）/Δv），如圖2所示。同時，可由Δv的大小算出變軌過程的燃料消耗Δm和點火時間Δt，其計算公式如下

式中，m0為衛(wèi)星的初始質(zhì)量，w為發(fā)動機的排氣速度，它是發(fā)動機比沖與重力加速度的乘積，即w=Ispg，F(xiàn)為發(fā)動機的推力。

有了推力方向和點火時間，只需求出點火時刻就能知道完整的變軌點火信息。為了減小變軌過程中推力弧產(chǎn)生的誤差，可將遠地點時刻設(shè)為變軌過程的中間時刻，即點火時刻和熄火時刻對稱地設(shè)在遠地點時刻兩側(cè)。

4 最省燃料的多次變軌方案設(shè)計

在變軌過程中，如果采用一次變軌方案，需要很長的點火時間，會產(chǎn)生一段很長的推力弧段，造成大量燃料損失。如果采用多次變軌，推力弧段會比較短，有利于節(jié)省燃料，但推力發(fā)動機的工作次數(shù)有一定限制，多次變軌開關(guān)機會縮短其壽命，而且多次變軌過程比較復(fù)雜，不利于優(yōu)化。一般可采取3～4次變軌完成任務(wù)，前兩次變軌將橢圓軌道的軌道要素調(diào)整至地球同步軌道的軌道要素，最后1～2次變軌用于微調(diào)以消除前兩次變軌產(chǎn)生的誤差。

由于最后1～2次變軌的主要目的是微調(diào)軌道要素，故而關(guān)鍵是優(yōu)化前兩次變軌的軌道要素。而第一次變軌的初始軌道要素為已經(jīng)給定的近地橢圓軌道的軌道要素，第二次變軌的最終軌道要素為地球同步軌道的軌道要素，因此只需優(yōu)化第一次變軌后的最終軌道要素。其中，前兩次變軌總的燃料消耗Δm與第一次變軌后的半長軸a和軌道傾角i的關(guān)系如下式所示

式中，v0，v1，vf的表達式分別為

下面考慮一項具體的變軌任務(wù)。設(shè)近地橢圓軌道的軌道參數(shù)為：a=24546km，e=0.7319，i=28.49°，Ω=323°，ω=180°。衛(wèi)星在格林威治時間2009年12月30日16時整的平近點角為M=1.06°，以此時刻為變軌過程的初始時刻。地球同步軌道的軌道參數(shù)為：a=42164km，星下點經(jīng)緯度為（100°，0°）。衛(wèi)星的初始質(zhì)量為m=3200kg，發(fā)動機的推力為F=490N，比沖為Isp=309s。以下采用基于沖量變軌的變軌點火信息求取方法來設(shè)計變軌方案。

燃料消耗Δm隨第一次變軌后的半長軸a和軌道傾角i變化的曲面關(guān)系如圖3所示。由圖可知，對應(yīng)于燃料消耗Δm最小的第一次變軌后的參數(shù)為：a=2.454632×107m，i=28.49°和a=4.25×107m，i=0°。但這兩組數(shù)據(jù)都相當于一次變軌完成。而一次變軌在用有限推力推進的情況下會浪費燃料，故不采取。

圖3 Δm隨a和i變化的曲面圖

在這種情況下，可每隔2°取一個傾角值，計算每個傾角值下最小的Δm值及相應(yīng)的a值，并求出前兩次變軌的點火時間Δt1和Δt2。為了避免變軌時間過長，應(yīng)使兩次變軌的時間大致相同。通過計算可知，當a=2.805×107m，i=12°時，燃料消耗最小且兩次變軌時間大致相同。

5 各變軌段的點火信息設(shè)計

（1）第一次變軌點火信息

取第一次變軌后的半長軸和軌道傾角為a=2.805×107m，i=12°，則可由第2節(jié)中的變軌點火信息求取方法計算出第一次變軌的變軌參數(shù)：M=159.3846°，ψ=52.8656°，Δt1=4383.4s。仿真可得當t=16740s時，平近點角M=159.3817°，因而其變軌參數(shù)如表1所示。仿真可得變軌后實際的軌道半長軸和軌道傾角為a=2.7912×107m，i=12.0757°。

（2）第二次變軌點火信息

為減小變軌誤差，取第一次變軌后的實際軌道要素a=2.7912×107m，i=12.0757°計算第二次變軌的變軌參數(shù)，可算得M=161.8888°，ψ=36.0639°，Δt2=4669.5s。取t=63303.732s（M=161.8599°），仿真可得a=4.2542×107m，i=0.2038°。但平近點角產(chǎn)生突變（如圖4所示），故對點火時刻進行調(diào)整。經(jīng)過反復(fù)調(diào)整可得，取M=168°為點火時刻時，平近點角變化曲線比較平緩（如圖5所示）。當M=168°時，t=64092s，故取它為第二次變軌點火時刻。

表1 四次變軌的變軌參數(shù)

圖4 M=161.8599°時的平近點角變化曲線

圖5 M=168°時的平近點角變化曲線

在確定第二次變軌熄火時刻時，應(yīng)兼顧星下點位置要求，使衛(wèi)星在經(jīng)過第三次漂移后正好在遠地點時的星下點位置為（100°，0°）。表2列出了衛(wèi)星分別漂移1、2、3圈到達指定經(jīng)度時對應(yīng)的第二次變軌熄火時刻的半長軸acoast和漂移時間tcoast。

表2 漂移圈數(shù)不同時的軌道半長軸和漂移時間

如取熄火時刻tf=68657s（M=180°），可算得a=4.1766×107m，與表2中第三組數(shù)據(jù)相近。仿真得t=68610.276s時，a=4.1462×107m。用第三組數(shù)據(jù)進行第三次漂移仿真得M=182.9639°。當t=320000s時，M=180.0046°，星下點經(jīng)度為95.9836°。若能調(diào)整a=4.13553×107m，則漂移后星下點經(jīng)度為100.0002°。此時固定點火時間，調(diào)整偏航角使ψ=36.608°時，a=4.13553×107m。綜上所述，第二次變軌的變軌參數(shù)如表1所示。

（3）第三次變軌點火信息

第三次變軌的主要目的是調(diào)整a，i的值，其中軌道傾角調(diào)整比較難，且有增大的趨勢，故主要調(diào)整半長軸。當半長軸增大到目標值時，停止變軌。仿真可得其變軌參數(shù)如表1所示。

（4）第四次變軌點火信息

當衛(wèi)星完成三次變軌時，軌道傾角i還存在0.6492°的誤差，因此必須再次變軌以修正軌道傾角誤差。而要改變軌道傾角，不改變半長軸，應(yīng)在升或降交點施加沖量。同樣運用第2節(jié)的方法可求出此次變軌的變軌參數(shù)，如表1所示。

6 仿真結(jié)果

在數(shù)值計算中，采用四階龍格—庫塔積分算法，變軌段步長為0.3s，漂移段步長為10s。衛(wèi)星在四次變軌中總計的燃料消耗為1477.8kg，由于產(chǎn)生推力弧，比理論的燃料消耗最優(yōu)值（1452.5kg）多1.74%。四次變軌后衛(wèi)星到達指定星下點位置的地球同步軌道，其中前兩次變軌主要是大范圍改變半長軸a、偏心率e和軌道傾角i，后兩次變軌分別修正了半長軸a和軌道傾角i的誤差。圖6描繪了衛(wèi)星的整個飛行軌跡，從圖中可看出前三次變軌基本在遠地點位置附近，第四次修正軌道傾角的變軌在衛(wèi)星軌道的降交點位置附近。

圖6 衛(wèi)星飛行軌跡

7 結(jié) 論

通過引入最省燃料異面有限推力軌道轉(zhuǎn)移過程中推力方向在慣性空間不變這一假設(shè)，利用沖量變軌原理處理了有限推力軌道轉(zhuǎn)移問題。這種方法可以避開求解大型的兩點邊值問題，使計算過程大大簡化。本文給出了利用沖量變軌原理求解最省燃料的每次變軌點火信息和最優(yōu)中間過渡軌道的方法。在第二次變軌時選擇合適的軌道半長軸和適當?shù)钠茣r間，使衛(wèi)星的星下點在第三次遠地點變軌時到達指定的經(jīng)度位置。算例表明，本方法能夠得到較精確的變軌結(jié)果，包括每次變軌的最優(yōu)推力方向和點火起止時刻及最優(yōu)中間過渡軌道。由于推力弧的存在，實際仿真的燃料消耗比理論最優(yōu)值要稍多一些。

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[9] 肖業(yè)倫.航天器飛行動力學原理[M].北京：宇航出版社，1995

Finite Thrust Maneuver Strategy for the Geostationary Satellite Based on Impulse Orbit Transfer

PENG Kun，XU Shijie
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

In the case of finite thrust apogee maneuver for the geostationary satellite，the fuel consumption increases due to the long burn arc.Based on the impulse orbit transfer principle，the finite thrust multi-impulse apogee maneuver for the geostationary satellite is studied in this paper.The minimum fuelmulti-impulse apogeemaneuver strategy with the constraint of sub satellite point is obtained.The thrust direction and firing time of each maneuver and the optimal intermediate transition orbits are given.Simulation results validate the effectiveness of the proposed method.

impulse orbit transfer；geostationary satellite；finite thrust；apogee maneuver

V448

A

1674-1579（2008）06-0048-04

2008-08-15

彭 坤（1984-），男，湖北人，博士研究生，研究方向為小推力軌道轉(zhuǎn)移的控制、建模與仿真研究（e-mail：bhkpeng@126.com）。