中點(diǎn)出招，招招喜人

徐建軍

近年來,常出現(xiàn)以中點(diǎn)為背景的中考試題.現(xiàn)以2008年中考題為例,介紹借助中點(diǎn)構(gòu)造基本圖形的一些方法,希望對(duì)同學(xué)們有幫助.

一?中點(diǎn)“安家”

例1 (2008年·上海市)如圖1,在△ABC中,點(diǎn)D在邊AC上,DB=BC,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).求證:EF=AB.

證明:連接BE.因?yàn)镈B=BC,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),所以BE⊥CD.又因?yàn)辄c(diǎn)F是Rt△ABE斜邊上的中點(diǎn),所以EF=AB.

點(diǎn)評(píng):此題出現(xiàn)了兩次中點(diǎn)的“安家” .(1)中點(diǎn)E“安家落戶”于等腰△BCD中,以便使用“三線合一”性質(zhì).(2)中點(diǎn)F“安家落戶”于Rt△ABE中,利于使用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.

二?中點(diǎn)“尋親”

例2(2008年·德州市)如圖2,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2, BC=3,CD=1,E是AD中點(diǎn).求證:CE⊥BE.

證明:取BC的中點(diǎn)F,連接EF. 因?yàn)镋是AD的中點(diǎn),F是BC的中點(diǎn),AB=2,CD=1,所以EF=(DC+AB)= ×

(1 + 2)=.由于BC=3,所以EF=BF=CF.所以∠FCE=∠FEC,∠FEB=∠FBE. 因?yàn)椤螰CE+∠FEC+∠FEB+∠FBE=180°,所以2∠FEC+2∠FEB=180°,即∠FEC+∠FEB=90°,所以CE⊥BE.

點(diǎn)評(píng):條件中含有中點(diǎn)E,暫時(shí)又“無家可歸”,可“尋找親人”,讓兩中點(diǎn)E?F“手拉手”,構(gòu)造中位線,然后運(yùn)用中位線定理解決問題.

三?中點(diǎn)“嫁人”

例3(2008年·樂山市)如圖3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn),若AB = AD+BC, BE = ,則梯形ABCD的面積為

().

A. B.

C. D. 25

解:延長(zhǎng)BE?AD交于點(diǎn)F,連接AE. 因?yàn)锳D∥BC,所以∠F=∠EBC,∠FDE=∠C.又DE=CE,所以△DEF ≌△CEB,從而BE=FE,DF=CB,S△DEF=S△CEB,所以S梯形ABCD =S△ABF. 因?yàn)锳B=AD+BC,所以AB=AD+DF=AF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是直角梯形,所以∠BAF=90°. 因?yàn)锳B =AF,∠BAF=90°,BE=FE,所以AE⊥BF,AE=BE=EF. 因?yàn)锽E=,所以AE= ,BF=5,所以S 梯形ABCD =S△ABF=·BF·AE=.故應(yīng)選A.

點(diǎn)評(píng):條件中含有中點(diǎn)和平行線,可借助于平行線,通過全等將中點(diǎn)“另嫁他人”,成為另一線段的中點(diǎn),然后再考慮為它“安家”或“尋親”.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。