如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別是（0，5）和（8，0）。連結(jié)AB，得Rt△OAB。在OB上取一點P（動點），四邊形OPMN是Rt△OAB的內(nèi)接矩形，求矩形面積y與OP長度x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求矩形面積的最大值。
　　
　　根據(jù)圖示，由平行線的比例關(guān)系，學(xué)生不難解答出函數(shù)關(guān)系式是： y=-—x2+5x，并求出函數(shù)最大值為：當(dāng)x=4時，ymax=10。
　　但接下來有同學(xué)提出這一問題：以點P為頂點的矩形不一定如圖示位置，如果過點P作平行于AB且與y軸相交的平行線，然后過點P與這一交點向AB作垂線段，也可以作出內(nèi)接矩形。這時會是什么樣的呢？
　　這一問題立即引起全班學(xué)生的注意，也引起了筆者的興趣。于是，筆者決定用超級畫板來制作這一新的情況。課件制作完畢后，筆者和同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一個新大陸：這兩個矩形的面積從直覺上看似乎是一樣的。于是我動用測量菜單測量了這兩個矩形的面積，結(jié)果引起一片嘩然：這兩個矩形的面積在點P移動過程中竟然保持一致。于是同學(xué)們很容易猜想到：這兩種情境下的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)該是一樣的。
　　有同學(xué)通過數(shù)學(xué)推理計算出第二種情況下的關(guān)系式同樣是y=-—x2+
　　5x，但是計算過程復(fù)雜。但是筆者想，既然它們的面積是一樣的，那么是否可以通過幾何法來先證明這兩個矩形的面積相等，從而不通過計算得出第二種情況下的函數(shù)關(guān)系式呢？筆者把這個問題交給學(xué)生來思考。很快，學(xué)生通過添加輔助線，驗證了這一結(jié)論，輔助線添加如圖2所示。
　　
　　如圖2，兩矩形中△PCM重合，△PCE≌△GAF，△PQM≌△PCM≌△CMN。因此，欲證兩矩形面積相等，需證S矩形OQMD＝S平行四邊形GMNA，即OQ×OD=GM×GF（OD=PC=GA）＜＝DM×AG＝GM×GF＜＝△DMG∽△FGA，得證。
　　對于這一發(fā)現(xiàn)，要歸功于超級畫板對動態(tài)作圖以及動態(tài)中保持數(shù)學(xué)關(guān)系的支持。
　　當(dāng)我們掌握了這一結(jié)論后，在全體同學(xué)的努力下，筆者又和同學(xué)們一起完成了這一課件的制作，效果如圖3～5所示（原課件見http://www.nettime.net.cn/itedu/news/2008117/20081171214544350.htm）。
　　
　　單擊“動畫”，演示其中一種內(nèi)接矩形的位置變化情況以及函數(shù)曲線的同步變化；單擊“切換多邊形”演示另一種位置關(guān)系下的面積變化與曲線變化；單擊“同臺演出”，同時演示兩種位置關(guān)系下的矩形面積與曲線變化；單擊“最高點”顯示矩形面積極大值時的情境。
　　這樣，此題的價值就不僅是一道綜合數(shù)學(xué)題，它的真正意義在于發(fā)現(xiàn)、在于創(chuàng)新學(xué)習(xí)；不論是從學(xué)生的知識掌握還是從學(xué)生的思維方式，其價值都不可估量，它直接影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)手段與方式的變化。
　　數(shù)學(xué)本來是無型的，數(shù)學(xué)歸根結(jié)底應(yīng)該是能夠使一個孩子變得越來越聰明，使一個孩子的思維更敏捷，這一素質(zhì)教育本質(zhì)的東西。所以說，Z+Z智能教育平臺與數(shù)學(xué)課程的整合沒有模式，只是一個過程，并且永遠只是一個過程。在我們的日常教學(xué)工作中，不能只站在一個較高的位置去空談超級畫板支持下的數(shù)學(xué)課堂，要把學(xué)問作細，從小處著眼，自有大學(xué)問在。
　　
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。