王道金

一、提出問題

筆者現(xiàn)任教高三理科實驗班，在教學(xué)中遇到這樣一個問題：（Ⅰ）已知不等式+≤c≤+對一切正實數(shù)x，y均成立，試求常數(shù)c的值.筆者將問題變換為：（Ⅱ）已知不等式+≤f（n）≤+對一切正數(shù)x，y均

成立，試求函數(shù)f（n），（其中n>1，n為常數(shù)），并在課堂上將問題呈現(xiàn)給學(xué)生.當(dāng)時同學(xué)們已經(jīng)解過問題I，問題II一出，他們都很感興趣，紛紛躍躍欲試.

二、課堂實錄

師：很明顯，問題Ⅱ是問題Ⅰ的一種推廣，解決問題的方法應(yīng)該有相通之處，首先，我們?nèi)绾尾聹yf（n）？

生1：可以將x，y特殊化，用夾逼的方法得到f（n），具體說就是令x=y，則有≤f（n）≤，如果存在f（n），則有f（n）=.

師：生1的推測說明f（n）=的一種可能性.

他的過程能否足以說明f（n）=.

生2：不能，還需證明f（n）=能使不等式

+≤≤+對一切正數(shù)x，y恒成立.

師：為了敘述的方便，我們記A=+，B=+，如何證明A≤≤B呢？不等式的證明是問題的核心，希望同學(xué)們開動腦筋，完成不等式的證明，我們將用展示臺予以展示.

同學(xué)們立即投入到緊張的探索之中.教師巡視，時而與學(xué)生交流. 約10分鐘后，學(xué)生開始展示證法.

生3：A=

=

=[1+]≤[1+]

=（1+）=.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取“=”，同理可以證明B≥.

師：生3先將A中的兩項通分，對分子中的項適當(dāng)分離之后，再用放縮法證明，很好！

我們知道，不等式一般有比較靈活的變形，能不能采取其他的不等式證法？

生4：聯(lián)想到一個不等式（a+b）（+）≥4（a>0，b>0），我想到一種證明方法.

展示：A=[+]

=[+]

=[2-（x+y）（+）]

=[2-（nx+y+ny+x）（+）]

≤[2-·4]=.

B=[+]=[+-2]=[（nx+y+ny+x）（+）-2]

≥（·4-2）=.

師：此種解法技巧性很強(qiáng)，真讓人耳目一新！同學(xué)們還有沒有不同的想法？

生5：生4的證明方法真的很巧妙，但是表達(dá)式過于復(fù)雜，造成A，B表達(dá)式復(fù)雜的主要因素是分母，于是我就產(chǎn)生了整體換元的想法.

展示：設(shè)p=nx+y，

q=x+ny，則x=

，

y=

，

則A=+=+

=[2n-（+）]≤[2n-2]=.

B=+=[2n（+）-2]

≥[2n·2-2]=.

師：同學(xué)們覺得怎樣？

（學(xué)生的贊許聲四起）說實在話，這種方法之前老師都沒有想到，同學(xué)們真了不起！

還有沒有其他不等式的證法？（生6舉手發(fā)言）

生6：老師設(shè)置的A，B兩式讓我想到對偶思想，實際上有nA+B=+++=2只需證明B≥A就可以了，而

B-A=+-（+）=≥0，

∴B≥A.

∴2=nA+B≥（n+1）A解得A≤.

2=nA+B≤（n+1）B解得B≥.

師：實在是妙！這里用對偶方法，非常簡潔！同學(xué)們再想想，A，B中含有雙變量，我們能不能用已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)方法解決問題？

生7：我感覺決定A，B的實質(zhì)上是x，y之間的比值，所以可以令，t=（t>0），

展示：則A=+=+，記為h（t），

則h′（t）=+

=（+）.

從而說明t∈（0，1）時，h（t）為增函數(shù)，

t∈（1，+∞）時 h（t）為減函數(shù)，

∴當(dāng)t=1時，h（t）有極大值，也是最大值.

h（1）=，也即Amax=，

用同樣的方法可以得到Bmax=.

師：生7透過現(xiàn)象看本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，并用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的最值，這種函數(shù)思想方法值得重視.

既然可以聯(lián)想到函數(shù)，還可以怎樣化x，y的雙變因素為單變因素，從而達(dá)到證明不等式的目的？

生8：既然A，B都與x，y的比值有關(guān)，由代數(shù)式的輪換結(jié)構(gòu)特點，不妨設(shè)x+y=1，

令f（x）==，則f（y）==.

我們可以分析f（x）的凹凸性（筆者注：在理科實驗班向?qū)W生介紹過二階段導(dǎo)數(shù)及凹凸性等內(nèi)容），再用凹凸性證明不等式.

展示：f ′（x）=

=[]，

f ′′（x）==[]<0.

∴f（x）在（0，1）上為上凸函數(shù).

∴f（x）+f（y）≤2f（）=2f（）=，

即A≤.

同理令g′（x）== x∈ （0，1）

則，g′（x）=，g′′（x）=>0.

∴g（x）在（0，1）上為凹函數(shù)，

∴g（x）+g（y）≥2g（）=.即B≥.

師：同學(xué)們，生8的解答再次說明你們的思維能力是不可限量的，只要平時多思考，你們的思維都可能變得光彩奪目！

同學(xué)們的贊嘆聲剛停，生9就舉手發(fā)言.

生9大聲地說：剛才各位同學(xué)的證明都很精彩，我認(rèn)為問題II是問題I的推廣，實際上問題II也可以推廣.

生9推廣的展示：

+≤≤+（Ⅲ）

當(dāng)n>m>0時，此不等式對一切正數(shù)x，y均成立.

師：請生9介紹一下發(fā)現(xiàn)過程好嗎？

生9：問題Ⅱ中n 的條件實質(zhì)上是，若將n一般化為（n>m>0），則+≤≤+

各項同乘以，即得結(jié)論（Ⅲ）成立 .

師：真的很棒！我們?yōu)樯?鼓掌?。ń淌覂?nèi)頓時掌聲熱烈，這時下課鈴聲響了，老師鼓勵學(xué)生多思考，敢于探索，課后可以接著推廣）

三、課外探究

課后生10的推廣：設(shè)x>0、y>0、z>0，n>0，n為常數(shù). 若不等式恒成立，++≤f（n）≤++，則f（n）=.

生11的推廣：設(shè)x>0、y>0、z>0，n>0，n為常數(shù).

若不等式++≤f（n）≤++恒成立，

則f（n）=.

一般地，xi>0（i=1，2，…，m），n>0，n為常數(shù).

若不等式++…+≤f（n）≤++…+，對xi>0恒成立，則f（n）=.

四、課后反思

教育部制定頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.”我們認(rèn)識到：課堂不應(yīng)只是教師表演的舞臺，而應(yīng)是師生交流、互動的舞臺，應(yīng)該是師生共同探究知識的場所. 教師是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的組織者、指導(dǎo)者、合作者，數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者. 本節(jié)課教師以變式問題切入，很快激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，在探究過程中教師僅作少量的指導(dǎo)，學(xué)生或分組討論或獨立思考，在學(xué)生展示的精彩證法中有些是教師在課前并未預(yù)料的，學(xué)生不僅在證法上作了大膽而精彩的創(chuàng)新，而且還不止一次的將原結(jié)論進(jìn)行推廣延伸，研究性學(xué)習(xí)和課堂學(xué)習(xí)的有機(jī)整合使學(xué)生熱情高漲，學(xué)生在對新知的探究過程中，加深了對數(shù)學(xué)的理解，提高了創(chuàng)新能力和自信心，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有了更強(qiáng)的求知欲望. 缺乏變式的數(shù)學(xué)課堂不能成為好課堂，缺乏研究的數(shù)學(xué)課堂同樣不能成為好課堂，筆者在進(jìn)行變式教學(xué)和研究性學(xué)習(xí)的整合嘗試中，較大限度地激活了學(xué)生的思維，讓學(xué)生嘗到了探究成功的喜悅，真是一次意外的收獲.