張 果，李俊民

(西安電子科技大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710071)

非線性是工業(yè)控制中普遍存在的現(xiàn)象，基于T-S模型的模糊控制是一種研究非線性系統(tǒng)比較成功的方法[1-8]。不確定性在實際系統(tǒng)中是普遍存在的，其研究有著很強的應(yīng)用背景[1-2]。時滯現(xiàn)象也常存在于許多實際系統(tǒng)中，其存在會引起系統(tǒng)性能的下降，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因此對模糊時滯系統(tǒng)的研究引起了許多學(xué)者的關(guān)注[2-6]。其研究結(jié)果分為時滯無關(guān)和時滯相關(guān)[3-6]。通常時滯相關(guān)較時滯無關(guān)有小的保守性，特別在時滯較小的情況下。對模糊時滯系統(tǒng)進行穩(wěn)定分析時，常用模型轉(zhuǎn)換方法和邊界不等式來估計交叉乘積項的上界[5-6]。為減少保守性，文[6,9]分別引入了自由權(quán)值矩陣和模糊自由權(quán)值矩陣方法。但上述成果多是基于公共的Lyapunov-Krasovskii泛函(LKF)[2,4]。為了減少公共LKF方法的保守性，文[6]提出了模糊LKF方法研究時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但沒有考慮不確定問題和H∞性能。

本文研究了一類帶有時變時滯的不確定模糊系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題。定義一個模糊LKF, 并且在推導(dǎo)過程中引入多個包含時滯項的模糊自由權(quán)值矩陣。根據(jù)并行分布補償算法(PDC)，得到了閉環(huán)系統(tǒng)時滯相關(guān)的魯棒漸近穩(wěn)定條件。

1 系統(tǒng)描述

由T-S模型描述的帶有時變時滯的不確定非線性系統(tǒng),它的第i條規(guī)則可描述如下

(1)

通過單點模糊化，乘積推理和中心平均反模糊化方法，模糊系統(tǒng)的總體模型為:

(2)

根據(jù)PDC設(shè)計控制器，第i個子系統(tǒng)的控制律為:

(3)

thenu(t)=Kix(t)

整個系統(tǒng)的控制律可表示為:

ξ(t))Kix(t)

(4)

把(4)代入(2)中，閉環(huán)系統(tǒng)可表示為:

以下給出在證明中要用到的引理：

引理1[10]設(shè)M,N和F(t)是維數(shù)適合的實矩陣且滿足FT(t)F(t)≤I，則對于ε>0有如下不等式成立：MTF(t)N+NTFT(t)M≤εMTM+ε-1NTN。

引理2[8]設(shè)A,D,E,F是合適維數(shù)的實數(shù)矩陣，且FT(t)F(t)≤I，則有矩陣P>0對于標量ε>0滿足εI-DTPD>0時，有如下不等式成立

(A+DFE)TP(A+DFE)≤

ATPA+ATPD(εI-DTPD)-1DTPA+εETE

2 主要結(jié)果

2．1 穩(wěn)定性分析

引入帶有時滯的模糊自由權(quán)值矩陣

(6)

其中Xki,Yk,i∈S,k=1,2,3,4是待定的合適維數(shù)的常數(shù)矩陣。以下分別記Xi(t)為Xi,i=1,3,4，記X2(t-d)為X2。

定理1 對于給定的常數(shù)ρ>0,τ>0和σ>0，如果對于正常數(shù)εm,m=1,2,...,5存在正定對稱矩陣P,Qi,Ri,Xki和Yk,k=1,2,3,4,i∈S滿足矩陣不等式(7)和(8)，則系統(tǒng)(5)在H∞性能指標ρ下是魯棒漸近穩(wěn)定的。

,i,l,m∈S

(7)

i

(8)

其中

φij=(Ci+DiKj)T(Ci+DiKj) +(Ci+DiKj)T

證明選取模糊Lyapunov-Krasovkii泛函:

(9)

首先考慮w(t)≡0，時閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。當w(t)≡0，閉環(huán)系統(tǒng)(5)可表示為:

ξ(t))hj(ξ(t))[(Ai+BiKj+

ΔAi)x(t)+(Adi+ΔAadi)xd(t)]

(10)

沿著系統(tǒng)(10)的軌線，對V(x(t))求導(dǎo)，由Leibniz-Newton公式，可得到：

≤ξ(t))hl(ξ(t-d))×

[(Ai+BiKj+ΔAi)x(t)+(Adi+ΔAadi)xd(t)-

(11)

由引理1知

(12)

hl(ξ(t-d))hm(ξ(s))ηT(t)×(Φij,l+Φji,l+

(13)

考慮定理1中的(7)-(8)式分別等價于

(14)

<0,i

(15)

以下考慮零初始條件φ(t)=0,t∈[-τ,0]，w(t)≠0時的閉環(huán)系統(tǒng)(5)的H∞性能。沿著系統(tǒng)(5)的軌線對V(x(t))求導(dǎo)，并引入公式Leibniz-Newton和系統(tǒng)方程(5)，可得:

(16)

同樣由引理1可得:

由引理2可知(14)式可修正為：

hj(ξ(t))xT(t)φijx(t)-ρ2wT(t)w(t)

(18)

(19)

使用Schur補定理，由定理1可知:

(20)

積分后可得：

V(t)-V(0)<0

(21)

2．2 控制器的設(shè)計

,i,l,m∈S

(22)

(23)

其中

λ1(AiZ+BiMj)T

λ1(CjZ+DjMi)Tλ1(CiZ+DiMj)TH2i

綜上述分析，下面給出控制器設(shè)計方法:

證明根據(jù)Kj=MjZ-1可知Mj=KjZ，代入(22)和(23)中。由(22)-(23)和(24)-(25)的等價性可知系統(tǒng)(5)在H∞性能指標ρ下是魯棒漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)例分析

考慮如下一個帶有時滯的不確定模糊系統(tǒng)：

Ri: ifx1∈M1

x(t-d)+Biu(t)+Bwiw(t)

z(t)=(Ci+ΔCi)x(t)+Diu(t) ,i=1,2

其中,

Bw1=Bw2=-0.5;C1=C2=[-0.6 0]

D1=D2=0.1;Ec1=Ec2=[-0.1 0]

H21=H22=0.3

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

本文研究了一類帶有時變時滯的連續(xù)不確定模糊系統(tǒng)的時滯相關(guān)魯棒H∞控制問題。在推導(dǎo)過程中，沒有采用模型轉(zhuǎn)換和邊界不等式，而是引入了多個包含時滯項的模糊自由權(quán)值矩陣。基于模糊LKF和并行分布補償算法，得到了閉環(huán)系統(tǒng)時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定新的條件，且控制器可以通過一組LMIs的解求得。最后由算例驗證了該方法的有效性。

圖2 控制曲線

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