一道力學(xué)題的六種反思

楊秀潤

本文從一道力學(xué)題出發(fā)，以興趣為思維主線，提出六種反思，逐個(gè)突破。

例 如圖1所示，斜面傾角為θ=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8），一木塊從斜面頂端A點(diǎn)由靜止開始下滑，當(dāng)滑到B點(diǎn)時(shí)進(jìn)入水平面，滑行到C點(diǎn)停止。已知木塊與斜面以及木塊與水平面之間的動摩擦因數(shù)相同，AB和BC距離相等且為s，不計(jì)木塊從斜面底端進(jìn)入水平面時(shí)的機(jī)械能損失。

（1）木塊與斜面以及木塊與水平面之間的動摩擦因數(shù)μ是多大？

（2）若s＝5 m，則木塊剛進(jìn)入水平面時(shí)的速度大小是多大？

解析 （1）對木塊從A到C過程，由動能定理有：

0－0=mgs?sinθ－μmgcosθ?s－μmgs，①

解得：μ==

（2）對木塊從A到B過程，由動能定理有：

mv2B－0=mgssinθ－μmgcosθ?s， ②

解得：v= m/s

多數(shù)學(xué)生對此題的解法上，先用運(yùn)動學(xué)公式解答，然后用上述方法（動能定理）解答，發(fā)現(xiàn)后者解答過程要簡便得多，于是高興地“畫上了句號”。筆者認(rèn)為，本題到此境界，方興未艾，舉一反三，回味無窮！

反思一：若木塊在A點(diǎn)以初速度v0下滑，其余條件不變，則滑到C點(diǎn)時(shí)速度大小為多少？

解析 對木塊從A到C過程，由動能定理有：

mv2－mv20=mgs?sinθ－μmgcosθ?s－μmgs， ③

由①③式得v=v，即木塊滑到C點(diǎn)時(shí)速度大小也為v0。

分析 觀察①式，容易發(fā)現(xiàn)其中的“－μmgcos37°?s”也可以理解為“－μmg?scos37°”，其中“scos37°”為斜面長度s在水平面上的投影BD。

反思二：如圖2所示，若保持斜面長度在水平面上的投影之和BD不變，木塊與斜面和水平面之間的動摩擦因數(shù)相同，而將圖1中的斜面AB改為AEB，木塊從A點(diǎn)由靜止開始下滑，不計(jì)木塊在E、B處的機(jī)械能損失，則滑到何處停止？

解析 設(shè)AE=s1，ＥＢ＝s2，則木塊從Ａ到Ｂ的過程中摩擦力做功為：

Wf1=－μmgcos∠1?s1－μmgcos∠2?s2=－μmg（s1cos∠1+s2cos∠2），④

由幾何關(guān)系得：s1cos∠1+s2cos∠2=BD=scosθ，⑤

設(shè)水平面上滑行距離為L，對木塊從A點(diǎn)出發(fā)到停止的過程，由動能定理有：

0－0=mgs?sinθ+Wf1－μmgL，⑥

由①④⑤⑥式得：L=s，

可見，在水平面上滑行距離為s，即木塊滑到C點(diǎn)停止。

反思三：如圖3所示，若保持斜面長度在水平面上的投影之和BD不變，木塊與斜面和水平面之間的動摩擦因數(shù)相同，而將圖1中的斜面AB改為AEFB，進(jìn)而改為圖4所示的相同動摩擦因數(shù)的曲面APB，讓木塊從A點(diǎn)由靜止開始下滑，不計(jì)木塊在各斜面底端的機(jī)械能損失，則木塊滑到何處停止？

解析 同理，將曲面APB從B到A開始依次分為n段小斜面，各段小斜面的長度依次為s1，s2，…，sn，傾角依次為∠1，∠2，…，∠n，木塊在APB過程中摩擦力做功為：

Wf1=－μmgcos∠1?s1－μmgcos∠2?s2－…－μmgcos∠n?s，⑦

s1cos∠1+s2cos∠2+…+sncos∠n=BD=scosθ，⑧

由①⑥⑦⑧式得：L=s，

可見在水平面上滑行距離也為s，即木塊仍然滑到C點(diǎn)停止。當(dāng)n=3時(shí)，可得出圖3所示結(jié)論。

分析 可將①式變形為

0－0=mgs?sinθ－μmg（cosθ?s+s），⑨

容易發(fā)現(xiàn)其中的“s?sinθ”為斜面的高度AD，設(shè)AD=h； “cosθ?s+s”為斜面長度在水平面上的投影與水平距離之和CD，設(shè)CD=l，如圖5所示。則由⑨式得μ=，即μ=tanα，易知木塊恰好能沿斜面AC勻速下滑。

反思四：如圖5所示，若保持斜面的高度h、其動摩擦因數(shù)μ不變，改變斜面傾角θ（α＜θ＜90°），讓木塊從A點(diǎn)由靜止開始分別沿不同斜面下滑，不計(jì)木塊從斜面底端進(jìn)入水平面時(shí)的機(jī)械能損失，則木塊滑到何處停止？

解析 設(shè)木塊在水平面上滑行距離為Lx，則全過程中摩擦力做功為：

Wf =－μmgcosθ?－μmgLx，⑩

由⑨式得：0－0=mgh－μmgl，

對木塊全過程由動能定理得：0－0=mgh+Wf ，

由⑩式得：Lx=l－，

因?yàn)闉樾泵嬖谒矫嫔系耐队埃?/p>

所以木塊滑到C點(diǎn)停止。

分析 綜合“反思三”和“反思四”的結(jié)論，容易推知：保持A、D、C三個(gè)位置和其他條件不變，改變B點(diǎn)位置，如反思五：如圖7所示，若保持其動摩擦因數(shù)μ、斜面傾角θ不變，將水平面向下平移Δh，讓木塊從A點(diǎn)由靜止開始沿斜面下滑，不計(jì)木塊從斜面底端進(jìn)入水平面時(shí)的機(jī)械能損失，則木塊滑到何處停止？

解析 設(shè)木塊運(yùn)動全過程的水平位移為x，由上述分析可知：

0－0=mg（h+Δh）－μmgx，

又有： μ=tanα，

由式得：x=

分析 觀察“x=”會發(fā)現(xiàn)x實(shí)質(zhì)是Rt△AD1C1的底邊，如圖8所示。可見，將水平面向下平移一個(gè)任意高度Δh，木塊最后停止的位置始終在直線AC與水平面的交點(diǎn)上！同理，將水平面向上平移一個(gè)任意高度Δh，上述結(jié)論仍然成立。

反思六：若保持斜面的高度h、其動摩擦因數(shù)μ不變，讓木塊從A點(diǎn)由靜止開始分別沿不同曲面下滑，如圖9所示，不計(jì)木塊從斜面底端進(jìn)入水平面時(shí)的機(jī)械能損失，則木塊滑到何處停止？

分析 根據(jù)“反思三～五”結(jié)論，容易推知：木塊將分別滑到其水平面與直線AC的交點(diǎn)C、C1、C2、…位置處停止。