一部精彩的“思維連續(xù)劇”

湯建英　丁浩清

情境呈現(xiàn)

學習圓柱的體積后，老師布置了一道思考題讓學生回家思考：用一張長30米、寬20米的長方形鐵皮圍成一個直圓柱，并給它配上相應的底，怎樣圍這個圓柱的體積為最大?

情境一：直覺感知——產(chǎn)生分歧

師：昨天老師布置了一道練習題讓同學們回家思考的，誰愿意來說一說自己的設(shè)計方案。

生1：我認為，用30米的邊做圓柱的底面周長，用20米的邊做圓柱的高，所圍的圓柱體積最大。

生2：我認為，用20米的邊做圓柱的底面周長，用30米的邊做圓柱的高，所圍的圓柱體積最大。

師：到底是哪種方案圍成的圓柱體積最大呢?現(xiàn)在我們來進一步研究。剛才同學們給出了兩種方案，憑你的直覺，你認為哪種方案圍成的圓柱體積最大?誰愿意來談談自己的想法。

生3：我認為用30米的邊做圓柱的底面周長，用20米的邊做圓柱的高，所圍成的圓柱體積最大。因為這樣圍它的底面半徑就長，求底面積時又要求半徑的平方，它的底面積就更大了。我覺得它的體積肯定比另一種的體積大。

生4：我認為第二種方案做成的圓柱體積大。因為它的高是30米，比第一種的高20米要長10米。

生5：我認為兩種圍法圍成的圓柱體積相等。因為無論怎樣圍，這個長方形鐵皮的大小不變。

師：到底哪種圍法圍成的圓柱體積最大呢?下面我們用一張長方形紙來演示，用30米的邊做圓柱的底面周長，做成的圓柱胖胖矮矮的，我們--稱其為“矮胖子”；用20米的邊做圓柱的底面周長，做成的圓柱瘦瘦高高的，我們稱其為“瘦高個”。到底是“矮胖子”的體積大，還是“瘦高個”的體積大呢?怎樣來比較呢?誰愿意來說一說?

生5：把兩個圓柱的體積都計算出來，不就可以比較了嗎?(可能還有其他想法)

師：好，下面我們就通過計算來驗證誰的想法是對的。

情境：計算證明——統(tǒng)一意見。

師：根據(jù)題意，誰來說一說怎樣列式?

生1：方案一：(30÷3.14÷2)²x 3.14×20

生2：方案二：(20÷3.14÷2)²×3.14×30

師：下面就請同學們算一算。(片刻后學生可能計算有困難，教師接著說。)同學們，你在計算時有困難嗎?

生3：在計算體積時又遇到了新的問題。30÷3.14÷2怎么算?它的平方又怎么算?

生4：(又有學生接著說)可以用分數(shù)表示。商的平方不要算出來，可以和后面的3.14約分。

師：那大家試試看。

在教師的引導下，學生通過算式變形得出了這樣的結(jié)果：4500/3.14和3000/3.14。

師：在數(shù)據(jù)面前支持第一種方案的同學認可了這道題用較長的邊做圓柱的底面周長，較短的邊做圓柱的高，這樣的圓柱體積較大，即“矮胖子”體積最大。

情境三：由此及彼——探究規(guī)律

師：就根據(jù)這道題解答的情況能說明問題嗎?是不是所有的用這種方法去圍一個圓柱，都是這樣的結(jié)論呢?

生1：再舉一個例子試試看。

師：好!舉怎樣的例子呢?長是多少?寬是多少?

生2：兩個數(shù)據(jù)相差大一些。舉例1：長100米，寬10米。

生3：兩個數(shù)據(jù)相差更小一些。舉例2：長30米，寬28米。

師：我們先對舉例l通過計算來驗證。(學生獨立完成)

生4：(100+3.14+2)²x3.14x10=25000/3.14

生5：(10+3.14+2)²x3.14x100=2500/3.14

師：同學們，再次得到結(jié)論：還是用長邊做圓柱的底面周長，短邊做圓柱的高時，圍成的圓柱體積較大

情境四：一波未平——波又起

生1：(另一組數(shù)據(jù)長30米，寬28米還未進行計算，又有學生叫道)老師我又發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律：兩個體積的比值和長與寬的比值相等。

生1：(接著說)我和其他同學計算后發(fā)現(xiàn)果然課外思考題中兩種圍法的體積之比是3：2，長與寬之比也是3：2；舉例1兩種圍法的體積之比是10：1，長與寬之比也是10：1。

生2：老師，這種結(jié)論會不會是偶然的呢?

師：那就請同學們用長28米、寬30米的這組數(shù)據(jù)再算算看。

師生集體完成。

(1)長為圓柱的底面周長(30÷3.14÷2)²x3.14×9R=6300/3.14

(2)寬為圓柱的底面周長(28÷3.14÷2)²×3.14×30=5880/3.14

師：你又發(fā)現(xiàn)了什么?

生3：還是第一種方案的體積較大，體積之比和長與寬之比也是一致，都是15：14。

師：看來同學們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是正確的。

情境五：字母幫忙——一舉兩得

生1：(又有學生接著追問道)為什么會這樣?

師：(想了片刻，便引導學生思考)剛才我們舉出了三組具體的數(shù)據(jù)，那有沒有更好的代替這些數(shù)據(jù)的具有普遍意義的方法來證明呢?

生2：老師，能不能用字母來表示，a表示長，b表示寬來試試看。

師：好，說干就干。我們一起來完成。

(1)a為圓柱的底面周長(a÷3.14÷2)²×3.14×b=a²b/12.56

(2)b為圓柱的底面周長：(b÷3.14÷2)²×ah²/12.56

師：兩個體積的比是a：b，長方形長和寬的比也是a：b。而且因為a>b，所以a²b/12.56>ab²/12.56，同時證明了第一種的體積大。

“哇，一舉兩得!”學生們開心得叫了起來。

反思回放整個過程，學生一直處于一種亢奮的狀態(tài)，幾個男同學激動得漲紅了臉，師生一起經(jīng)歷了一次有直覺思維、邏輯思維、歸納思維、形式思維、抽象思維等組成的“思維聚餐”，它是一場由學生發(fā)起，推動的“思維碰撞”，是一出師生同臺、學生為主角的“思維連續(xù)劇”。

上述案例是偶一得之，完全是老師的“無心插柳”，結(jié)果卻引發(fā)了學生一節(jié)課的討論，獲得了“柳成行”的效果，它帶給我很多思考。

一、關(guān)于“問題”的思考

1、不斷生成的問題是課堂教學的動態(tài)資源。課堂上的很多信息、很多細節(jié)是稍縱即逝的，這就需要教師敏銳的捕捉，機智的處理，合理的“縱容”，有時候要在平靜的湖水里拋下一塊石頭，讓它蕩起層層漣漪；有時候要播下一點火種，借風之勢讓星星之火可以燎原。在這個課例中，學生先后自主地提出了(1)到底“矮胖子”體積大還是“瘦高個”體積大?為什么?(2)是不是所有的用一個長方形去圍成一個圓柱，都有這樣的結(jié)論呢?(3)圍成的兩種圓柱體積之比和長與寬之比是不是都一樣呢?(4)為什么體積之比和長與寬之比會一樣?這些問題為課堂教學提供了豐富多彩的教學資源，這些教學資源會有效推動課堂教學的進程，使得數(shù)學課堂顯示出別樣的張力。

而來自于學生的問題更具有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性，更容易激起學生的斗志和思維緊張度。在這樣的來自內(nèi)心發(fā)問的引導下，學生便很快進入思維的軌道，更會讓思維綿亙千里。學生“疑”猶未盡是課堂教學的最高境界。

2、教師對學生提出的問題不妨小題大做。也許學生的問題你能一語道明，也許你的教學進度會受到影響，也許學生的問題會讓你措手不及，無從應對等等，但教師要給予學生一種欣賞、一種保護，盡量留給學生一定的時間和空間，盡量讓學生通過自主探究發(fā)現(xiàn)問題解決問題。

真正數(shù)學化的數(shù)學課堂應該是一個不斷生成問題一解決問題——生成新問題——解決新問題的過程，我們企盼看到我們的學生能在學習中生成各種問題。

二、關(guān)于“思維”的思考

1、呈現(xiàn)真實自然的狀態(tài)。鄭毓信在微學課程改革2005：審視與展望中呼吁“新課改要對學生數(shù)學過程中的思維活動有較為深入的了解”，并要求“深入地去了解學生在學習過程中的真實思維活動”。

如今的數(shù)學公開課教學中很少能看到學生思維的原生態(tài)，大多數(shù)課的進程非常順利，學生和教師配合非常默契，思維的行進與思維的成果基本已經(jīng)預設(shè)，很少有思維的“旁枝逸出”或“受阻梗塞”。現(xiàn)在我們呼喚真實的課堂，看到學生真實的思維過程，我們希望看到學生思維過程中受阻、停頓、徘徊、矛盾、模糊等真實過程，太順暢的課堂總讓人覺得少了些味道。這節(jié)課沒有預設(shè)，完全是學生思維的自然“滑翔”。此次無意而為。卻讓我們深深感知數(shù)學課堂研究如果停留在表層，那終將是“隔靴搔癢”，無濟于事。只有真正進入學生思維的領(lǐng)地，才能真正觸及數(shù)學的本質(zhì)。我們的數(shù)學課堂，教師不妨少說一些，多看一看，學生不妨多問一問，多說一說，多想一想。課堂上尤其需要給學生安靜思考的過程。

2、體現(xiàn)思維教學的過程。數(shù)學的教學實質(zhì)是思維活動的教學，數(shù)學教學應凸顯學生思維活動。(1)強化直覺。直覺思維是一種活潑的思維方式，反映出一個人的數(shù)學感覺。上述課例中題目思考的開始便讓學生調(diào)動直覺思維談談自己最直接的想法，對題目的結(jié)果進行猜想，學生的兩種意見都是合乎情理的直感。彭加勒認為：直覺用于發(fā)現(xiàn)。直覺產(chǎn)生的想法是否正確，需要“根據(jù)說理”，需要用分析思維進行檢驗。(2)嚴格推理。學生通過計算已經(jīng)看出了這個“矮胖子”的體積大，但是不是所有的“矮胖子”都比相對應的“瘦高個”體積大呢?為什么?彭加勒還說過：邏輯用于證明。最后一個層次用字母a、b表示長方形的長、寬，然后通過算式變形，得到用字母表示的體積，通過求比，證明了體積之比等于長與寬之比，也證明了長邊做底面周長圓柱的體積較大，一舉兩得，盡釋前疑。對于小學生，有些結(jié)論還無法讓學生經(jīng)歷嚴格證明的過程，教材也沒有這樣的目標要求，但為了培養(yǎng)高年級學生的邏輯推理能力，有時在理解難度不大的情況下不妨打開一扇門，讓學生感受一下邏輯證明的魅力。(3)適度抽象。對于小學高年級的學生，要加大抽象思維培養(yǎng)的力度，讓字母參與運算從而推出結(jié)論的方法，即代數(shù)方法也必須讓學生有一定的接觸，這為學生以后的學習起到—個很好的鋪墊作用。

學生的解題過程是一個由直覺思維發(fā)現(xiàn)到邏輯思維證明的過程。數(shù)學的思維教學應當強化直覺思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。

三、關(guān)于“結(jié)果”的思考

今天探討的問題超出了教材的要求，也打亂了原定的教學計劃，但是我們和學生的收獲都是很大的，有數(shù)學情感的體驗，有數(shù)學思維的訓練，有數(shù)學過程的感受。后來有老師提出，其實要證明矮胖子體積大還可以從另一個角度去想，因為圓柱的體積也可以用“側(cè)面積的一半×半徑”來計算，同樣的一張長方形鐵皮圍成圓柱，側(cè)面積相等，只要看半徑，底面周長長的半徑就大，所以此時圍成的圓柱體積就大。有的老師提出，可以讓學生通過裝沙的方法驗證等等，他們認為我不必大費周張地如此去做。好像有浪費時間之嫌，但是我很慶幸自己沒有直接用這種方法去證明。否則學生怎會經(jīng)歷這么一個高潮迭起的思維過程呢?思維的美麗，應該在路途中。