用“五問(wèn)法”分析幾何題

劉化雷

【摘 要】本文介紹一種對(duì)初學(xué)幾何者簡(jiǎn)單易學(xué)、行之有效的分析方法——“五問(wèn)法”。所謂“五問(wèn)”是指:一問(wèn)已知什么,二問(wèn)求什么,三問(wèn)由已知能得到什么,四問(wèn)要得結(jié)果需知什么,五問(wèn)收獲了什么。

【關(guān)鍵詞】五問(wèn)法 幾何題 分析方法

初中生學(xué)幾何,難在入門(mén);入門(mén)難,難在對(duì)題意的理解;理解難,難在缺少正確的方法。新課程標(biāo)準(zhǔn)降低了對(duì)歐幾里德幾何學(xué)的要求,對(duì)初學(xué)者我們不必對(duì)其邏輯思維的嚴(yán)密性做太高的要求,而培養(yǎng)正確的理解題意、分析解題思路的方法才是當(dāng)務(wù)之急。方法對(duì)路了,邏輯性就培養(yǎng)出來(lái)了,這是水到渠成的事兒。

那么怎樣培養(yǎng)學(xué)生正確的理解題意、分析解題思路的方法呢?筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中,總結(jié)出了簡(jiǎn)單易學(xué)、行之有效的“五問(wèn)法”分析幾何題的方法。所謂“五問(wèn)”是指:一問(wèn)已知什么,二問(wèn)求什么,三問(wèn)由已知能得到什么,四問(wèn)要得結(jié)果需知什么,五問(wèn)收獲了什么。下面,以一道幾何題為例,詳細(xì)解釋“五問(wèn)法”的操作步驟,題目為:“如圖1,CD=BE,DG⊥BC,EF⊥BC,垂足分別為G,F,且DG=EF.判斷下列結(jié)論是否正確,并說(shuō)明理由:(1)BG=CF;(2)BD=CE.”

一問(wèn)已知什么,就是要求學(xué)生結(jié)合圖形認(rèn)真審題讀懂題意,將題目的“已知”與圖形中的信息“對(duì)號(hào)入座”。在教學(xué)實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn),大部分對(duì)幾何題的分析能力較差的學(xué)生都是沒(méi)有過(guò)好審題這一關(guān):要么不知題目的已知條件,要么題意與圖形相脫離。當(dāng)學(xué)生遇到不會(huì)做的題目過(guò)來(lái)請(qǐng)教老師時(shí),經(jīng)常上來(lái)就問(wèn):“老師,這道題目怎么解?”我的習(xí)慣是立即反問(wèn)一句:“題目已知哪些條件?”并要求學(xué)生結(jié)合圖形把已知條件說(shuō)出來(lái)給我聽(tīng),同時(shí)要求他(她)在圖形上標(biāo)注必要的符號(hào)。這樣做的目的有兩個(gè):一是檢查一下這位學(xué)生認(rèn)真審題了沒(méi)有,二是讓學(xué)生重溫一下題目的情景,以利于下面的分析。如例題中,我要求學(xué)生首先讀出題目的“已知”,并在圖中加上必要的記號(hào),如CD=BE,則在線段CD、BE上各加相同的短橫;DG=EF,則在線段DG、EF上各加相同的雙短橫以區(qū)別于CD、BE上的短橫;DG⊥BC,EF⊥BC,則分別標(biāo)出垂足(見(jiàn)圖2)。標(biāo)注完畢,要求學(xué)生脫離題目只看圖形,完整地說(shuō)出題目的“已知”。這樣,學(xué)生對(duì)題目的已知條件做到了熟知于心,印象于形,接下來(lái)的分析才會(huì)相對(duì)嚴(yán)密,而不是丟三落四。

二問(wèn)求什么,求什么當(dāng)然很重要,要不然連現(xiàn)在該干什么都不知道了,還談何解題呀?話(huà)雖如此,初學(xué)幾何者弄不清題目要求他干什么的大有人在。當(dāng)然,“求什么”不僅是文字上的理解,還要知道“求什么”在圖形中的對(duì)應(yīng)信息,我通常要求學(xué)生把“求什么”在圖形中用“?”予以標(biāo)注,如本題是要求求證(說(shuō)理)(1)BG=CF;(2)BD=CE,學(xué)生只需在線段BG、CF、BD、CE上分別標(biāo)上“?”。

三問(wèn)由已知能得到什么,這是分析幾何題的關(guān)鍵。學(xué)生每得到一個(gè)已知條件,大腦中能否快速地、準(zhǔn)確地、系統(tǒng)地、完整地閃現(xiàn)出與之相關(guān)的數(shù)學(xué)信息就是其數(shù)學(xué)知識(shí)積累程度的具體體現(xiàn)。這就需要學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的日積月累,也需要教師經(jīng)常幫助學(xué)生系統(tǒng)地整理數(shù)學(xué)知識(shí)。分析題目時(shí),學(xué)生把相關(guān)的信息在圖形中得以體現(xiàn),并在草稿紙中做好相關(guān)記錄。其實(shí)這樣做就是在為綜合法解題作鋪墊。例題中,學(xué)生容易由圖2中的已知信息得出Rt△CDG≌Rt△BEF(HL),同時(shí)進(jìn)一步得到全等三角形的對(duì)應(yīng)元素相等,如CG=BF、∠DCB=∠EBC等。

四問(wèn)要得結(jié)果需知什么,與“三問(wèn)”類(lèi)似,要得結(jié)果需知道什么就是在為分析法解題作鋪墊。學(xué)生只有懂得去分析“欲知結(jié)果,必先如何”,才能與由已知得到的信息掛上鉤,讓思路連通,使題目得解。更是要知道為了得到所求的內(nèi)容,需要先知道什么條件,即執(zhí)果索因,這就要求學(xué)生對(duì)所學(xué)的幾何定理有比較全面的理解。學(xué)生要結(jié)合已知與求證的內(nèi)容做合理聯(lián)想,如:“以前做過(guò)或見(jiàn)過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題嗎?當(dāng)時(shí)是怎樣想的?題中的一部分(條件或結(jié)論或式子或圖形)以前見(jiàn)過(guò)嗎?在什么問(wèn)題中見(jiàn)過(guò)?解這類(lèi)問(wèn)題通常有幾種方法?哪種方法較簡(jiǎn)便?與這個(gè)問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)(基本概念、定理、公式等)有哪些?”等等。

本題中,學(xué)生由圖3可發(fā)現(xiàn),要說(shuō)明BG=CF,只需要知道BF=CG,因?yàn)锽G=BC-CG,CF=BC-BF,這恰與前面分析得到的結(jié)論BF=CG相吻合,得證;學(xué)生或者會(huì)想到要說(shuō)明BG=CF,只需證明Rt△BDG≌Rt△CEF,但是顯然缺少使之全等的直接條件,兩者相比較,選擇第一種方案比較合適。第二問(wèn)要證明BD=CE,需知什么?學(xué)生通過(guò)對(duì)圖3的觀察分析,可能會(huì)發(fā)現(xiàn)可以證明Rt△BDG≌Rt△CEF或者△BDC≌△CEB,與前面的分析和證明結(jié)果相結(jié)合,這兩種途徑都容易獲得成功。

五問(wèn)收獲了什么,一般地,把前面的四問(wèn)解決好,幾何題就迎刃而解了,為什么還要設(shè)置這第五問(wèn)呢?這其實(shí)是一個(gè)解題反思過(guò)程,是數(shù)學(xué)解題的“第二過(guò)程”。如果我們把暴露結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、暴露思路的探求過(guò)程、暴露方法的提煉過(guò)程稱(chēng)為“第一過(guò)程”,那么,在暴露結(jié)論發(fā)現(xiàn)、思路探求的基礎(chǔ)上,繼續(xù)反思數(shù)學(xué)解題的過(guò)程稱(chēng)為“第二過(guò)程”。這“就象黑夜摸進(jìn)一座大樓的新房間,撞在墻上、碰倒桌椅、甚至摔跤都是有可能的,但進(jìn)去之后,就不要老是在黑房間里摸索了,就應(yīng)該拉開(kāi)黑房間的電燈,看清房間的結(jié)構(gòu)并反思當(dāng)初的摸索”。學(xué)生在解完幾何題后要及時(shí)反思解題的結(jié)論發(fā)現(xiàn)過(guò)程、思路的探求過(guò)程、方法的提煉過(guò)程并總結(jié)自己的收獲以發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思維。同時(shí),學(xué)會(huì)回頭看對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)、做事習(xí)慣很有好處,是促使學(xué)生進(jìn)步的重要舉措。

下面,把用“五問(wèn)法”解幾何題中這“五問(wèn)”之間的聯(lián)系用框架圖表示出來(lái):

其中“橋——聯(lián)系”是指當(dāng)由已知不能直接得到所求的結(jié)果,由所要求證的結(jié)果不能直接找到已知條件時(shí)產(chǎn)生的一些中間過(guò)渡性結(jié)論的總稱(chēng),它在幾何題的分析中起承上啟下的作用,如例題中的中間結(jié)論BF=CG、Rt△BDG≌Rt△CEF等。

實(shí)踐證明,“五問(wèn)法”是行之有效的分析幾何題的好方法。學(xué)生學(xué)會(huì)了“五問(wèn)法”,就基本具備了解幾何題的能力,能為他(她)在今后深入學(xué)習(xí)幾何奠定良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn):

[1]佚名.解幾何題的方法.數(shù)學(xué)中國(guó)網(wǎng).

[2]羅增儒.解題分析,應(yīng)該有“第二過(guò)程“的暴露.中學(xué)數(shù)學(xué)?教學(xué)參考,2008,(10).