內(nèi)積H-Z-空間中的一·五線性泛函及其性質(zhì)

楊萬必，秦宣華

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

文獻[1]引入了Z-空間(X,+,θ,‖·‖)的概念，文獻[2～5]引出了B-Z-空間,文獻[6]引入了共軛Z-空間與共軛Z-算子，文獻[7]引入了內(nèi)積Z-空間，文獻[8] 引入了內(nèi)積H-Z-空間；在此基礎(chǔ)上，本文提出了內(nèi)積H-Z-空間中一·五線性泛函的概念，并將泛函分析學(xué)中希爾伯特空間中一·五線性泛函的性質(zhì)移植到內(nèi)積H-Z-空間之中.本文首先介紹了共軛Z-空間與共軛Z-算子、內(nèi)積Z-空間和內(nèi)積H-Z-空間的概念；然后討論了內(nèi)積H-Z-空間中的一·五線性泛函的性質(zhì).

定義1[4]Z-空間X上的連續(xù)線性泛函的全體記為X*稱X*是X的共軛Z-空間.

定義2[4]若X是Z-空間，X*的共軛Z-空間稱為X的二次共軛Z-空間，記作X**.

定義3[4]若X是Z-空間，稱算子J:X→X**,Jx=x**，x**(f)=f(x),?f∈X*為從X到X**的自然嵌入Z-算子.

定義4[4,5]設(shè)X為Z-空間，J∶X→X**為自然嵌入映射.若J(X)=X**，稱X為自反Z-空間.

定義5[4,5]設(shè)X是Z-空間，若?x,y∈x，當(dāng)x≠y，‖x‖=‖y‖=1時，

(1)

則稱X為嚴格凸Z-空間.

命題1[4,5]一致凸B-Z-空間是自反Z-空間.

命題2[4,5]B-Z-空間X是自反Z-空間當(dāng)且僅當(dāng)X*是自反Z-空間.

定義7[6]設(shè)X、Y為Z-空間，X*、Y*分別是X、Y的共軛Z-空間，T∈RZ(X,Y).若線性算子T*∶Y*→X*滿足:

(T*y*)(x)=y*(Tx)，?x∈X,y*∈Y*.

(2)

則稱T*是T的共軛Z-算子.

記f(x)=(f,x)，則式(3)可以寫成:

(T*y*,x)=(y*,Tx)

(3)

定義8[7]設(shè)(X,+,θ)是Abel群，Z是整數(shù)加群. 如果:

1)?(m,x)∈Z×X，X中有唯一的元mx與之對應(yīng)，且滿足：

m(x+y)=mx+my;(m+n)x=mx+nx; (mn)x=m(nx);1·x=x;

其中m,n∈Z；x,y∈X.

則稱(x,y)是x,y的次內(nèi)積，稱X為內(nèi)積z-空間.

命題3[7]Z-空間(X,‖·‖)是內(nèi)積Z-空間當(dāng)且僅當(dāng)?x,y∈X，滿足條件：

‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2).

(4)

定義9[8]完備的內(nèi)積Z-空間稱為Hilbert Z-空間，簡稱內(nèi)積H-Z-空間.

命題4[9]若X是內(nèi)積H-Z-空間，則X是一致凸Z-空間.

定義10[9]設(shè)H為內(nèi)積Z-空間，E?H為線性子空間，x∈H.若存在分解x=x1+x2，其中x1∈E，x2⊥E,則稱x1為x在E上的正交投影(簡稱投影)，記為PEx=x1.

命題5[9]設(shè)H為內(nèi)積Z-空間，E?H為線性子空間，y∈H,x1∈E，則以下諸條件等價：

1)PEy=x1；

(5)

3)對于任何z∈E實變量函數(shù)f(λ)=‖y-x1+λz‖2在λ=0有最小值.

命題6[9](投影定理)設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間，E?H為閉線性子空間，則?y∈H，PEy存在且唯一.

命題7[9]設(shè)H是內(nèi)積H-Z-空間，E?H是線性子空間，記E⊥={x∈H:x⊥E},則 :

1)E⊥是H的閉線性子空間;

2)若E是閉的，則E⊥⊥=E;

3)若E是閉的，則(Ei?Ei+1,i≥1),即H=E+E⊥，E∩E⊥={0};

4)若E是閉的，P∶H→E是投影算子，則E⊥=N(P).

定義11[10]1)設(shè)X為線性空間，T∶X→X為線性算子，若T2=T,則T稱為冪等的.

2)設(shè)H為內(nèi)積Z-空間，T∈R(H),若(Tx,y)=(x,Ty)，?x,y∈H，則T稱為自共軛算子.

命題8[10]設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間，P∈R(H)，則下列諸條件等價：

1)P是投影算子；

2)P2=P并且P是自共軛的；

3)P2=P并且N(P)⊥R(P).

定理1 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間.

1)每個y∈H，f(x)=(x,y)是H上的連續(xù)線性泛函，并且‖f‖=‖y‖；

2)是H上的連續(xù)線性泛函，則存在y∈H，使得:

f(x)=(x,y) (?x∈H)，‖f‖=‖y‖.

(6)

注1：1)稱定理1中的y為內(nèi)積H-Z-空間中線性泛函f的表現(xiàn);

2)記H上連續(xù)線性泛函的全體為H*,定理1表明從集合論的觀點來看，H與H*是相同的.

定理2 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間，H*是H的共軛Z-空間.

1)若映射T∶H*→H,Tf=y，其中y是f的表現(xiàn)，則:

(7)

(稱T為共軛線性的)T是到上的并且對于每個T∈H*，‖Tf‖=‖f‖.

2)(Tf,Tg)=(f,g)，?f,g∈H*.

(8)

3) 若J是從H到H*的自然嵌入算子，J是到上的線性映射，并且‖Jx‖=‖x‖(?x∈H).

2°由‖T(f+g)‖=‖f+g‖‖T(f-g)‖=‖f-g‖,則：

3°設(shè)J∶H→H**為自然嵌入算子，則?x∈H,Jx(y)=y(x),(?y∈H*).若x1,x2∈H,α,β∈ΦJ(αx1+βx2)(y)=y(αx1+βx2)=αy(x1)+β(x2)=αJx1(y)+βJx2(y)=(αJx1+βJx2)y,y是任意的.故J(αx1+βx2)=αJx1+βJx2.對于每個x**∈H**，由定理1，存在y*∈H*，使得x**(f)∈(f,y*)(?f∈H*)并且‖x**‖=‖y*‖.若T是1°中的映射，不妨設(shè)Ty*=x，由2°知，x**(f)=(f,y*)=(Ty*,Tf)=f(x).故Jx=x**.J是到上的并且‖Jx‖=‖x**‖=‖y*‖=‖Ty*‖=‖x‖.所以結(jié)論成立.

注2：1)T∶H*→H是共軛線性的但不是線性的.因此按照線性同構(gòu)的觀念來看，當(dāng)φ為復(fù)空間時，H*≠H,盡管H*與H之間存在一一的到上的映射，有時又特別地稱H*與H是共軛線性同構(gòu)的.

2)定理2(3)與一致凸Z-空間的結(jié)論是一致的，即內(nèi)積H-Z-空間是自反Z-空間.

定義12 設(shè)H為內(nèi)積Z-空間，映射φ∶H×H→φ.

1)若?x,y,z∈H,α,β∈φ,φ(αx+βy,z)=αφ(x,z)+βφ(y,z)，φ(αx+βy,z)=αφ(x,z)+βφ(y,z)

(9)

則稱φ是一·五線性泛函；

3)若存在C>0，|φ(x,y)|≤C‖x‖·‖y‖,?x,y∈H，則稱φ是有界的.并且記:

‖φ‖=sup{|φ(x,y)|,‖x‖≤1,‖y‖≤1}.

(10)

定理3 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間，φ∶H×H→φ是有界一·五線性泛函當(dāng)且僅當(dāng)存在T∈RZ(H),使得:

φ(x,y)=(Tx,y)?x,y∈H.

(11)

此時有‖φ‖=‖T‖.

故‖T‖≤‖φ‖.

下面證明T是由φ唯一決定的.事實上，若另有T1使得(T1x,y)=φ(x,y)=(Tx,y)，?x,y∈H.則由y是任意的，必有T1x=Tx，再由x的任意性得到T1=T.總之由上述證明可知‖T‖=‖φ‖.

定理4 設(shè)H為內(nèi)積H-Z-空間，則對于每個A∈RZ(H),存在唯一的B∈RZ(H)，使得:

(Ax,y)=(x,By)，?x,y∈H.

(12)

證明令φ(x,y)=(x,Ay)，則φ是一·五線性泛函，并且：

|φ(x,y)|=|(x,Ay)|≤‖x‖·‖Ay‖≤‖A‖·‖x‖·‖y‖.

φ是有界的.由定理3，存在B∈R(H)使得：

φ(x,y)=(Bx,y)，

于是(Ax,y)=(x,By)，交換x與y的符號即得(Ax,y)=(x,By).

[1]王國俊，白永成.平移空間的線性結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2005，48(1)：1-10.

[2]楊萬必，秦宣華.Z-空間上的線性算子的性質(zhì)[J].中南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006，25(1)：97-99.

[3]楊萬必，李永亮.關(guān)于Z-空間的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2005，23(4)：330-331.

[4]楊萬必.自然嵌入Z-算子與自反Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2007，25(3)：330-331.

[5]楊萬必.自反Z-空間與一致凸Z-空間的性質(zhì)[J].吉首大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,28(5)：16-20.

[6]楊萬必.共軛Z-空間與共軛Z-算子的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008，26(1)：012-014.060.

[7]楊萬必.內(nèi)積Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008，26(3)：330-331.

[8]楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008，27(2)：187-189.

[9]秦宣華.楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的正交投影及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2009，26(4)：383-385.

[10]秦宣華.楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的投影算子及其性質(zhì)[J] 吉首大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009，30(5)：21-25.

[11]劉培德.泛函分析基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2001:69-76，151-160，194-205.