張治國(guó)，黃建國(guó)，劉 震

(電子科技大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院 成都 610054)

小波采樣的濾波算法研究

張治國(guó)，黃建國(guó)，劉 震

(電子科技大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院 成都 610054)

針對(duì)經(jīng)典小波采樣理論不能如同香農(nóng)定理應(yīng)用采樣值對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行濾波，該文在小波采樣存在條件下，提出一種基于采樣值的小波濾波算法。該算法突破經(jīng)典小波采樣理論僅研究單個(gè)Hilbert空間信號(hào)重構(gòu)的局限性，從多分辨分析逼近出發(fā)，基于采樣值構(gòu)建信號(hào)逼近準(zhǔn)則函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算信號(hào)在小波空間的正交投影，實(shí)現(xiàn)小波濾波。仿真試驗(yàn)證明該算法能夠有效地基于采樣值，對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行小波濾波。

離散信號(hào)處理; 采樣理論; 信號(hào)濾波; 小波分析

隨著計(jì)算機(jī)和數(shù)字化技術(shù)的發(fā)展，采樣理論成為現(xiàn)代信號(hào)處理的關(guān)鍵技術(shù)和重要基礎(chǔ)。目前，實(shí)踐中普遍采用的 Whittaker-Kotel’nikov-Shannon定理(香農(nóng)定理)難以處理頻域非緊支集(非頻段有限)和非均勻采樣信號(hào)，應(yīng)用受到極大限制。為解決上述問(wèn)題，廣義采樣理論得到迅速發(fā)展，其中小波采樣理論成為廣義采樣研究的重要分支[1]。

由于小波采樣(基于小波理論實(shí)現(xiàn)信號(hào)離散化)基于任何L2(R)子空間的理論[2]，因此可以有效處理非頻段有限采樣問(wèn)題。文獻(xiàn)[3-5]分別利用核函數(shù)理論，在不同的小波空間中，提出小波采樣存在(可以在相應(yīng)小波空間實(shí)現(xiàn)信號(hào)離散化)的充要條件。此后，小波采樣的非均勻采樣[6-7]、平移不變性和多空間理論[8-9]迅速發(fā)展，并產(chǎn)生了針對(duì)各類(lèi)特殊小波的采樣理論[10-13]。

盡管小波采樣理論研究取得了許多重要成果，然而與經(jīng)典采樣理論——香農(nóng)定理相比，小波采樣理論依然有許多值得深入研究的問(wèn)題，如香農(nóng)采樣的濾波性質(zhì)。Possion定理說(shuō)明香農(nóng)采樣等同于信號(hào)的低通濾波，因此香農(nóng)采樣不僅可以如同廣義采樣實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)，而且可以利用采樣值，實(shí)現(xiàn)信號(hào)特征提取和正交分解。該性質(zhì)與香農(nóng)函數(shù)作為特殊小波父函數(shù)，具有多分辨分析性質(zhì)有密切關(guān)系，因此小波采樣完全可以具備同樣性質(zhì)。針對(duì)上述問(wèn)題，本文探討小波采樣的多空間性質(zhì)，提出一種快速計(jì)算方法，在小波采樣中利用采樣值對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波濾波，實(shí)現(xiàn)香農(nóng)采樣的類(lèi)似性質(zhì)。

1 小波采樣的濾波問(wèn)題

多分辨分析就是指L2(R)中滿足稠密性、平移不變性等 6個(gè)性質(zhì)的一組嵌套空間{Vj}j，其中j∈Z[14]。本文以逼近空間V0中的信號(hào)作為討論的對(duì)象，但對(duì)于其他多分辨分析逼近空間，本文算法具有相同的有效性。由于香農(nóng)函數(shù)張成的Paley-Wiener空間(P空間)滿足多分辨分析條件，因此香農(nóng)采樣本質(zhì)上是小波采樣，使得香農(nóng)采樣與普通小波采樣存在許多共性?；诖耍疚耐ㄟ^(guò)香農(nóng)采樣分析小波采樣濾波問(wèn)題。

設(shè)信號(hào)fs是P空間V0中的元素，其采樣序列表示為：

2 小波采樣濾波算法準(zhǔn)則函數(shù)

盡管基于Possion表達(dá)式，香農(nóng)采樣能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)在多分辨分析的正交分解，但對(duì)于普通的小波采樣，卻沒(méi)有與其相對(duì)應(yīng)的理論，與經(jīng)典小波采樣理論僅從單空間信號(hào)重構(gòu)角度討論小波采樣理論存在密切關(guān)系。本文從信號(hào)逼近角度出發(fā)，基于信號(hào)逼近準(zhǔn)則函數(shù)，獲得信號(hào)的正交分解量。

2.1 準(zhǔn)則函數(shù)表達(dá)形式

2.2 準(zhǔn)則函數(shù)合理性分析

因此雙無(wú)窮矩陣Q是線性有界可逆變換。由式(8)可知， 也是線性有界可逆變換，因此根據(jù)Hermitian矩陣性質(zhì)， 是正定矩陣。證畢。

3 小波采樣濾波計(jì)算

引理3還證明，信號(hào)逼近誤差可以通過(guò)準(zhǔn)則函數(shù)轉(zhuǎn)換為采樣值誤差?；谝?，定理1將證明，信號(hào)在V0子空間上的正交投影是V0子空間Vj中使準(zhǔn)則函數(shù)減為最小的元素。

基于該重要結(jié)論，本文提出相應(yīng)算法，基于采樣值計(jì)算信號(hào)在Vj上正交分量的級(jí)數(shù)表達(dá)式式(4)，實(shí)現(xiàn)小波采樣濾波。

4 算法仿真試驗(yàn)

4.1 仿真對(duì)象

仿真試驗(yàn)選用5階樣條小波多分辨分析作為仿真對(duì)象，其對(duì)應(yīng)的小波父函數(shù)φ(t)和小波ψ(t)分別如圖1a和圖1b所示。由G G Walter相關(guān)理論可知5階樣條小波多分辨分析存在小波采樣，所以可以運(yùn)用本文的相關(guān)算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行正交分解。

圖1 5階樣條小波父函數(shù)及小波

圖2 信號(hào)及其組成成分

4.2 信號(hào)分解仿真結(jié)果

圖3 信號(hào)分解結(jié)果

5 結(jié) 論

基于小波采樣的存在條件，本文從多分辨分析逼近角度出發(fā)，運(yùn)用插值Riesz基與正交基之間的映射關(guān)系，構(gòu)建小波空間信號(hào)逼近準(zhǔn)則函數(shù)，利用采樣值衡量信號(hào)逼近誤差，進(jìn)而利用該準(zhǔn)則函數(shù)提出相應(yīng)的信號(hào)小波正交分解算法，使得小波采樣能夠如同香農(nóng)采樣那樣，進(jìn)行小波濾波。

由于該算法通過(guò)準(zhǔn)則函數(shù)，間接利用了小波采樣的存在性條件和插值Riesz基，因此該算法同樣適用于普通的小波和小波父函數(shù)基，使該算法與經(jīng)典小波采樣算法相比，具有更大的適用性。

[1]VAIDYANATHAN P P. Generalizations of the sampling theorem: Seven decades after nyquist[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications, 2001, 48 (9): 1094-1108.

[2]ZHANG Yao. A method to reconstruct nth-order periodically nonuniform sampled[J]. Journal of Electronic Science and Technology, 2006, 2 (2): 15-18.

[3]WALTER G G. sampling theorem for wavelet subspaces[J].IEEE Transaction on Information Theory, 1992, 38(2):881-884.

[4]NAOKI SAITO, BEYLKIN G. Multiresolution representations using the auto-correlation functions of compactly supported wavelets[C]//Proceedings of the International Conference on Wavelets and Applications.Toulouse, France: Frontiesr, 1992: 381-384.

[5]NAOKI SAITO, BEYLKIN G. Multiresolution representations using the autocorrelation functions of compactly supported wavelets[J]. IEEE Transactions on Signal Processing. 1993, 41(12): 3584-3590.

[6]LIU You-ming. Irregular sampling for spline wavelet subspaces[J]. IEEE Transactions on Information Theory.1996, 42(2): 623-627.

[7]CHEN Wen, ITOH Shui-chi. Irregular sampling theorems for wavelet subspaces[J]. IEEE Transaction on Information Theory. 1998, 44 (2): 1131-1142.

[8]WANG Qiao, WU Le-nan. Translation invariance and sampling theorem of wavelet[J]. IEEE Transaction Signal Processing. 2000, 48(5): 1471-1474.

[9]LU Y M, MINH N D. A theory for sampling signals from a union of subspaces[J]. IEEE Transactions on Signal Processing. 2008, 56 (6): 2334-2345.

[10]DEVORE R A, KONGYAGIN S V, TEMLYAKOV V N.Hyperbolic wavelet approximation. Constructive Approximation, 1998, 14: 1-26.

[11]SARDY S, DONALD B P, ANDREW G, et al. Wavelet shrinkage for unequally spaced data[J]. Statistics and Computing. 1999, 9: 65-75.

[12]WANG Jian-zhong. Interpolating cubic spline wavelet packet on arbitrary partitions[J]. Journal of Computational Analysis and Applications. 2003, 5(1): 179-193.

[13]ZHAO Chun, ZHAO Ping. Sampling theorem and irregular sampling theorem for multiwavelet subspaces[J]. IEEE Transactions on Signal Processing. 2005, 53(2I): 705-713.

[14]MALLAT S. A wavelet tour of signal processing[M]. 2nd ed. Beijing: China Machine Press, 2003.

編 輯 張 俊

Wavelet Filtering Algorithm of Wavelet Sampling

ZHANG Zhi-guo, HUANG Jian-guo, and LIU Zhen

(School of Automation Engineering, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 610054)

A new algorithm of wavelet sampling is proposed since the typical wavelet sampling lacks the capacity to filter the continuous signal by the samples as Shannon sampling does. From the viewpoint of Multiresolution approximation, a new cost function based on the samples is introduced to estimate the approximation of signal in this algorithm, so that the signal is decomposed into the orthogonal components, which has break through the limit of typical wavelet sampling that only considers the construction of signal in one Hilbert space.

discrete signal processing; sampling theorem; signal filtering; wavelet analysis

TP301.6

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2010.05.020

2009- 04- 08;

2010- 01- 29

國(guó)家自然科學(xué)基金(60474069)

張治國(guó)(1977- )，男，博士，高級(jí)工程師，主要從事小波采樣及系統(tǒng)仿真方面的研究.