安宗文，鄭 堃，黃建龍

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 蘭州 730050)

多級疲勞載荷作用下的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型

安宗文，鄭 堃，黃建龍

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 蘭州 730050)

為了評估多級疲勞載荷作用下的結(jié)構(gòu)可靠性，假設(shè)結(jié)構(gòu)初始強(qiáng)度為服從任意分布的隨機(jī)變量，根據(jù)等損傷比剩余強(qiáng)度模型推導(dǎo)出多級疲勞載荷作用下的剩余強(qiáng)度表達(dá)式。利用通用生成函數(shù)法對剩余強(qiáng)度和疲勞載荷構(gòu)成函數(shù)的概率特征進(jìn)行計(jì)算，從而建立多級疲勞載荷作用下的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型。并利用45#鋼疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)對該模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，該模型能夠有效地評估多級疲勞載荷作用下的結(jié)構(gòu)可靠度。

疲勞載荷; 模型建立; 可靠度; 剩余強(qiáng)度; 通用生成函數(shù)

應(yīng)力-強(qiáng)度干涉(stress-strength interference，SSI)模型是結(jié)構(gòu)可靠性分析的基本工具。該模型通常將結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度視為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，進(jìn)而將結(jié)構(gòu)可靠度定義為強(qiáng)度大于應(yīng)力的概率。由于工程實(shí)際中結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)特征的復(fù)雜性、多樣性，傳統(tǒng)SSI模型在進(jìn)行一些特定條件下的結(jié)構(gòu)可靠性分析時(shí)，表現(xiàn)出一定的局限性。因此，許多研究人員考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的工程特點(diǎn)，研究了各類特定條件下的SSI模型。

文獻(xiàn)[1]考慮應(yīng)力與強(qiáng)度退化的相關(guān)性，研究了復(fù)合應(yīng)力作用下強(qiáng)度退化的SSI模型。文獻(xiàn)[2]建立了周期性隨機(jī)應(yīng)力作用下強(qiáng)度退化的SSI模型。文獻(xiàn)[3]將SSI模型解釋為載荷加權(quán)平均模型，提出隨機(jī)恒幅循環(huán)載荷條件下的異量綱SSI模型.。文獻(xiàn)[4]構(gòu)造了具有一般意義的強(qiáng)度隨機(jī)退化方程，提出隨機(jī)載荷作用下的動態(tài)SSI模型及遞推算法。文獻(xiàn)[5-6]采用連續(xù)變量離散化的思想，提出離散型SSI模型和強(qiáng)度退化服從Gamma過程的SSI模型。文獻(xiàn)[7]基于通用生成函數(shù)技術(shù)提出強(qiáng)度與應(yīng)力單向相關(guān)的SSI模型。

多級疲勞載荷是工程實(shí)際中常見的一種載荷形式。為了評估多級疲勞載荷作用下的結(jié)構(gòu)可靠度，本文將結(jié)構(gòu)初始強(qiáng)度視為隨機(jī)變量，根據(jù)文獻(xiàn)[8]提出的等損傷比剩余強(qiáng)度模型，建立多級疲勞載荷作用下的SSI模型，進(jìn)而利用45#鋼的疲勞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證該模型的有效性。

1 通用生成函數(shù)法簡介

文獻(xiàn)[9]提出通用生成函數(shù)(universal generating function)，目前已廣泛應(yīng)用于多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析[10-11]及工程結(jié)構(gòu)可靠性分析[5-7]。本文簡要介紹通用生成函數(shù)法的基本計(jì)算原理，有關(guān)通用生成函數(shù)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，可參考文獻(xiàn)[11]。

假設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其概率質(zhì)量函數(shù)(probability mass function，pmf)由向量x和p表示為：

根據(jù)通用生成函數(shù)法的基本原理，隨機(jī)變量X的u-函數(shù)為：

X的u-函數(shù)形式上是關(guān)于變量 的多項(xiàng)式，它與X的pmf具有一一對應(yīng)的關(guān)系。因此u-函數(shù)本質(zhì)上仍是離散型隨機(jī)變量概率特征的一種描述。

2 多級疲勞載荷作用下的SSI模型

2.1 多級疲勞載荷

2.2 等損傷比剩余強(qiáng)度模型

文獻(xiàn)[8]首先定義結(jié)構(gòu)在疲勞載荷作用下的損傷比為剩余強(qiáng)度降低量與最大降低量的比值，進(jìn)而認(rèn)為兩級疲勞載荷作用下的損傷狀態(tài)相同是指兩者的損傷比相等。兩級載荷作用下，等損傷比模型的意義如圖1所示。如果疲勞載荷S1作用下的剩余強(qiáng)度沿AB退化，疲勞載荷S2作用下的剩余強(qiáng)度沿ACD退化，則載荷S2作用n21次的損傷比與載荷S1作用n1次的損傷比相同。

圖1 兩級載荷下等損傷比剩余強(qiáng)度模型

基于上述思想，文獻(xiàn)[8]得到任意k級疲勞載荷條件下等損傷比剩余強(qiáng)度模型為：

考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的不確定性，假設(shè)結(jié)構(gòu)初始強(qiáng)度Y ( 0)為隨機(jī)變量，則由式(10)可知，多級疲勞載荷作用下的結(jié)構(gòu)剩余強(qiáng)度Y(n)也是服從某種分布的隨機(jī)變量。

2.3 多級疲勞載荷作用下的SSI模型

根據(jù)SSI模型的基本思想，多級疲勞載荷作用下，結(jié)構(gòu)動態(tài)可靠度為當(dāng)前剩余強(qiáng)度大于當(dāng)前作用載荷幅值的概率，即：

式中 n為k級載荷作用的總次數(shù)；Y(n)為剩余強(qiáng)度；S(n)為當(dāng)前作用載荷幅值。由于載荷作用的總次數(shù)在時(shí)間上對應(yīng)最后一級(第k級)載荷的作用結(jié)束，因此 S (n)= Sk，代入式(11)可得：

以下采用通用生成函數(shù)法求解上式表述的概率值。使用通用生成函數(shù)法求解上述概率值的關(guān)鍵在于求解剩余強(qiáng)度Y(n)的u-函數(shù)。由式(10)可知，剩余強(qiáng)度Y(n)與初始強(qiáng)度Y(0)具有確定的函數(shù)關(guān)系，因此需要將連續(xù)型隨機(jī)變量Y(0)離散化，之后利用通用生成函數(shù)法計(jì)算Y(n)的u-函數(shù)。

假設(shè)初始強(qiáng)度Y(0)為分布已知的連續(xù)型隨機(jī)變量。首先根據(jù)結(jié)構(gòu)的實(shí)際工況條件確定其近似有界區(qū)間 ?Y ( 0)min,Y (0)max?；將該區(qū)間劃分為若干個(gè)子區(qū)間，以每個(gè)子區(qū)間的中點(diǎn)值作為離散型初始強(qiáng)度Y ( 0)的一個(gè)可能取值，以每個(gè)子區(qū)間上概率密度曲線所包含的面積為該可能取值對應(yīng)的概率值，便可將已知概率密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量近似轉(zhuǎn)化為已知pmf的離散型隨機(jī)變量。

將初始強(qiáng)度Y(0)的近似有界區(qū)間劃分為任意m個(gè)子區(qū)間，則其pmf為：

由于式(10)中Sk和C均為常量，將它們視為取值確定(對應(yīng)概率為1)的特殊隨機(jī)變量，則它們的u-函數(shù)分別為：

將式(17)、式(14)代入式(4)，可得剩余強(qiáng)度Y(n)的u-函數(shù)為：

3 算例分析

45#鋼初始強(qiáng)度(靜強(qiáng)度)服從正態(tài)分布，均值為μY(0)=833.6 MPa，標(biāo)準(zhǔn)差為σY(0)=8.336 MPa。分別在3級疲勞載荷作用下對試件進(jìn)行疲勞壽命試驗(yàn)，結(jié)果如表1所示[12]。

表1 45#鋼疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)

由上述計(jì)算過程可知，當(dāng)3級疲勞載荷作用結(jié)束時(shí)，常數(shù)C=0.99。根據(jù)式(10)可知，此時(shí)零件的剩余強(qiáng)度已經(jīng)非常接近當(dāng)前(第3級)疲勞載荷幅值S3，零件可靠度處于較低水平。因此，該算例中零件可靠度計(jì)算結(jié)果與實(shí)際工況比較吻合。

4 結(jié) 論

本文考慮按確定順序加載的多級疲勞載荷作用及結(jié)構(gòu)初始強(qiáng)度的隨機(jī)性，利用等損傷比剩余強(qiáng)度模型及通用生成函數(shù)法建立多級疲勞載荷作用下的SSI模型，為特定條件下結(jié)構(gòu)疲勞可靠度分析與評估提供應(yīng)用依據(jù)。應(yīng)用案例驗(yàn)證了該模型的有效性。由于通用生成函數(shù)法具有程式化的運(yùn)算規(guī)則，便于編程計(jì)算，因此本文提出的SSI模型具有計(jì)算簡便的特點(diǎn)，易于工程應(yīng)用。

[1]孫 權(quán), 趙建印, 周經(jīng)倫. 復(fù)合應(yīng)力作用下強(qiáng)度退化的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型可靠性統(tǒng)計(jì)分析[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2007, 24(3): 358-361.

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編 輯 黃 莘

Stress-Strength Interference Model under Multi-Level Fatigue Loads

AN Zong-wen, ZHENG Kun, and HUANG Jian-long

(School of Mechatronics Engineering, Lanzhou University of Technology Lanzhou 730050)

In order to evaluate the structural reliability under multi-level fatigue loads, an expression of residual strength is derived from the equivalent damage ratio residual strength model and the assumption that the initial strength is a random variable of any distribution. Then a stress-strength interference model under multi-fatigue loads is proposed by employing the universal generating function to calculate the probability characteristics of a function constituted by fatigue loads and residual strength. The fatigue experimental data of 45#steel is used to testify the proposed model. The results indicate that the proposed model can be used to evaluate the structural reliability under multi-level fatigue loads.

fatigue load; model building; reliability; residual strength; universal generating function

TB114.3

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2010.06.032

2009- 06- 12；

2010- 01- 05

甘肅省高等學(xué)校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金(GCJ2009019)

安宗文(1968-)，男，博士，教授，主要從事結(jié)構(gòu)可靠性理論及機(jī)電產(chǎn)品可靠性增長技術(shù)等方面的研究.