時(shí)域卷積信號(hào)的交替最小二乘盲分離算法

張 華 馮大政 龐繼勇

①(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)②(上海貝爾股份有限公司研究與創(chuàng)新中心 上海 201206)

1 引言

近二十年來(lái)，盲源分離在語(yǔ)音[1]、圖像[2]、通信信號(hào)[3]處理等各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，成為信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。其中，聯(lián)合塊對(duì)角化方法[4,5](Joint Block-Diagonalization, JBD)是解決卷積盲分離的有效途徑。文獻(xiàn)[4]改進(jìn)并歸納了基于類(lèi)雅克比旋轉(zhuǎn)的正交JBD算法(記作Jacobi-JBD)。正交JBD算法需要對(duì)目標(biāo)矩陣進(jìn)行預(yù)白化處理以保證混疊矩陣為(酉)正交矩陣，這要求至少存在一個(gè)目標(biāo)矩陣為正定矩陣，且噪聲是獨(dú)立同分布的。并且，正交JBD方法不能修正因白化處理而引入的額外誤差。于是，文獻(xiàn)[5]通過(guò)改進(jìn)JZD算法[6]提出一種非正交JBD方法(記為ZJBD)，不再需要白化處理。然而，該類(lèi)算法每次迭代只估計(jì)待定矩陣的一個(gè)子塊，容易使得不同的子塊落到同一個(gè)信號(hào)子空間里，從而產(chǎn)生奇異解。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出一種基于交替最小二乘的三因子分解算法(記作ALS-JBD)，聯(lián)合估計(jì)待定矩陣的所有參數(shù)，實(shí)現(xiàn)非正交JBD，從而克服了ZJBD易于產(chǎn)生奇異解的缺點(diǎn)。相對(duì)于Jacobi-JBD和ZJBD，ALS-JBD算法具有分離性能好且對(duì)初始值不敏感的特點(diǎn)。

2 問(wèn)題描述

2.1 信號(hào)模型

N個(gè)源信號(hào)sn(t)經(jīng)過(guò)階數(shù)為P的多徑信道，由M個(gè)傳感器接收，第m路傳感器上的接收信號(hào)為

其中，hmn(p)表示第n個(gè)源信號(hào)到達(dá)第m個(gè)傳感器的第p徑信道響應(yīng)。取窗長(zhǎng)為W的接收滑窗，定義s(t)=[s(t),…,s(t?P?W +2)]T和x(t)=[x(t),… xmt ?W +1)]T，構(gòu)造s(t)=[(t),…,(t)]T和，則式(1)可表示為

其中混疊矩陣H可表示為

假設(shè) (1)sn(t)零均值且相互獨(dú)立；(2)H列滿(mǎn)秩，即有MW＞N(P+W ?1)。

2.2 接收信號(hào)相關(guān)矩陣的三因子乘積結(jié)構(gòu)

令P表示廣義Q-置換矩陣(其中Q=P+W?1)，考慮到盲分離所固有的尺度和排列不定性，將式(2)看作如下的等效模型并不會(huì)影響盲分離的效果，

其中P1和P2均為廣義Q-置換矩陣；sU(t)=s(t)=[(t),…,sT(t)]T，s(t)=s(t)=[(t),u(N)V …,(t)]T，下標(biāo) {u(1),…,u(N)}和{v(1),…,v(N)}為序列{1,…,N}的一個(gè)排列；U=HP1，V=HP2；令Δ=P，則有sU(t)=ΔPsV(t)。

當(dāng)源信號(hào)滿(mǎn)足假設(shè)(1)時(shí)，sU(t)與sV(t)的時(shí)延相關(guān)矩陣為

由式(3)和式(4)可知，接收信號(hào)的相關(guān)矩陣具有如下的三因子線性乘積形式

其中，矩陣U和V分別稱(chēng)為左、右混疊矩陣，其均是混疊矩陣H的Q-本質(zhì)相等矩陣。

3 基于交替最小二乘的三因子分解方法

3.1 交替最小二乘方法

圖1 3維矩陣切片示意圖

其中，?表示Kronecker乘積，V(n)∈?MW×Q和c Uc(n)∈?MW×Q分別表示矩陣V∈?MW×NQ和U∈?MW×NQ的第n個(gè)列塊。令V?°U=[(1)?U(1),c…,(N)?Uc(N)]，其中‘°’表示列塊間Kronecker乘積。再令R1:L=[r(1),r(2),…,r(L)]，Λ1:L=[λ(1),λ(2),…,λ(L)]，則式(6)可簡(jiǎn)寫(xiě)成R1:L=(V?°U)Λ。于是，若U和V已知，矩陣Λ的1:L1:L標(biāo)準(zhǔn)最小二乘解為Λ=(V?°U)?R。從而，

其中，符號(hào)unvecQ×NQ(?)表示將一個(gè)NQ2×1維的列向量按列重構(gòu)成一個(gè)Q×NQ維的矩陣。

3.1.2 矩陣V的最小二乘解{R(j)∈?MW×L}可看作是3維矩陣?在(1,3)維方向上的一組切片矩陣。則有

其中vr(j)表示矩陣V的第j行矢量；符號(hào)⊕表示列塊Khatri-Rao積。再令1:MW=[(1),(2),…,(MW)]，式(8)所示矩陣組可簡(jiǎn)化表示為1:MW=(U⊕Λ)VH。類(lèi)似地，若已知矩陣U和Λ，可得到矩陣V的標(biāo)準(zhǔn)最小二乘解

其中，ur(i)表示矩陣U的第i個(gè)行矢量；符號(hào)(?)˙T表示對(duì)分塊矩陣的所有子矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置運(yùn)算。令式(10)所示矩陣組可表示為同樣地，若已知矩陣V和Λ，則矩陣U的標(biāo)準(zhǔn)最小二乘解為

3.2 算法實(shí)現(xiàn)及其復(fù)雜度

選擇任意MW×NQ維列滿(mǎn)秩矩陣作為初始值，交替迭代估計(jì)待定矩陣Λ，V和U的最小二乘解，直到算法收斂，得到左、右混疊矩陣的估計(jì)U和V，即可從接收信號(hào)x(t)中分離出源信號(hào)。當(dāng)MW=NQ并且目標(biāo)矩陣個(gè)數(shù)L較大時(shí)，ALS-JBD算法單步迭代所需乘除運(yùn)算次數(shù)近似為O(N4Q6)。

3.3 算法特點(diǎn)

ALS-JBD算法具有如下特點(diǎn)：(1)不需要預(yù)白化處理，消除了白化誤差；(2)聯(lián)合估計(jì)混疊矩陣的所有參數(shù)，避免了奇異解的出現(xiàn)；(3)最小二乘估計(jì)確保了算法的單調(diào)收斂性。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1 構(gòu)造目標(biāo)矩陣R(l)=HΛ(l)HH+ΔR(l)，定義無(wú)誤差項(xiàng)和誤差項(xiàng)的功率比值NER=10lg(||HΛ(l)HH/||ΔR(l))來(lái)衡量噪聲擾動(dòng)。采用與文獻(xiàn)[5]中相同的全局拒噪水平GRL來(lái)評(píng)判算法的收斂性能，GRL越小說(shuō)明算法性能越好。

設(shè)定參數(shù)M，W，N，Q和L分別為5，8，7，7和37，圖2為經(jīng)過(guò)100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)得到的GRL隨NER變化的平均曲線。圖3-圖5分別給出在NER=5，10，15和20 (dB)時(shí)，3種算法在100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中的GRL隨機(jī)值。由圖2-圖5可以明顯看出，相比于類(lèi)Jacobi-JBD[4]和ZJBD[5]方法，ALS-JBD算法具有最優(yōu)且最穩(wěn)定的收斂性能。

圖2 GRL隨NER變化曲線

圖3 ALS-JBD算法的GRL數(shù)值

圖4 ZJBD算法的GRL數(shù)值

圖5 Jacobi-JBD算法的GRL數(shù)值

實(shí)驗(yàn)2 N=2段語(yǔ)音信號(hào)(圖6(a))通過(guò)P=4徑瑞利信道，由M=4個(gè)麥克風(fēng)接收，得到圖6(b)所示的接收信號(hào)(滑動(dòng)窗長(zhǎng)W=4)。圖6(c)和6(d)分別為ALS-JBD和ZJBD得到的分離信號(hào)波形。表1采用(1)算法分離性能參數(shù)PI[1]；(2)巴克譜失真測(cè)度BSD[7]兩個(gè)客觀指標(biāo)來(lái)對(duì)比兩種算法得到的分離信號(hào)的相異度和譜失真度。由圖6和表1不難看出，ALS-JBD算法具有更加有效的分離性能。

5 結(jié)論

本文分析指出卷積混疊接收信號(hào)的相關(guān)矩陣具有獨(dú)特的三因子分解結(jié)構(gòu)和可聯(lián)合塊對(duì)角化的特點(diǎn)。通過(guò)對(duì)目標(biāo)矩陣組所有元素進(jìn)行切片分割和排列規(guī)劃，提出基于交替最小二乘的聯(lián)合塊對(duì)角化算法，交替迭代地估計(jì)左、右混疊矩陣和塊對(duì)角矩陣的標(biāo)準(zhǔn)最小二乘解，進(jìn)而分離出源信號(hào)。該算法無(wú)需白化處理，具有對(duì)初始值不敏感、估計(jì)精度高、收斂性能穩(wěn)定和分離效果好的特點(diǎn)。

圖6 源信號(hào)、接收信號(hào)和分離信號(hào)波形圖

表1 分離性能測(cè)度

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