代鈺洪

（成都大學 美術(shù)學院，四川 成都 610106）

基于曲面建模在三維動畫中的應(yīng)用

代鈺洪

（成都大學 美術(shù)學院，四川 成都 610106）

隨著三維動畫成為世界文化產(chǎn)業(yè)的經(jīng)濟熱點，在三維動畫技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域里曲面建模的應(yīng)用越來越廣泛。對NURBS曲面建模和細分曲面建模特征清晰的分析，有助于曲面建模在三維動畫技術(shù)中更好的得到應(yīng)用。本文綜合了非均勻有理B樣條（NURBS）曲面建模、細分曲面建模技術(shù)等理論，提出自己的看法，為三維動畫制作提供解決方案。

非均勻有理B樣條；細分曲面；曲面建模；三維動畫技術(shù)

非均勻有理B樣條（NURBS）曲面建模技術(shù)作為工業(yè)產(chǎn)品模型創(chuàng)建的主流方法，是因為NURBS曲面建模具有面片數(shù)量少且相對于 Polygons建模精度高的特點；細分曲面因其對任意拓撲的適應(yīng)性正逐漸成為幾何建模的強有力工具。三維動畫技術(shù)是建立在二維圖形圖像應(yīng)用、三維模型設(shè)計、材質(zhì)紋理表現(xiàn)和OpenGL語言開發(fā)的基礎(chǔ)上的，要在三維動畫環(huán)境中實現(xiàn)虛擬互動、全方位漫游、以及流暢的實時動畫播放和高精度的畫面展示，對曲面建模的研究有著及其重要的作用和意義。

一 曲面建模技術(shù)發(fā)展回顧

隨著計算機技術(shù)的不斷進步，計算機輔助設(shè)計已經(jīng)在工業(yè)產(chǎn)品的設(shè)計和生產(chǎn)過程中得到普及。目前，采用非均勻有理 B樣條(NURBS)曲面的建模技術(shù)已經(jīng)成為產(chǎn)品建模的主流方法。另一方面細分方法在高質(zhì)量圖形生成方面成為重要的工具，是計算機圖形學和計算機輔助設(shè)計研究的熱點之一?；贜URBS曲面建模技術(shù)和細分曲面建的計算方法是一個緊迫且具有重大理論意義和工程意義的課題。

從上個世紀八十年代中期，Boissonnat第一次提出散亂點集的曲面重建問題的研究引起了人們的關(guān)注。1991年Miller提出用幾何變形模型進行封閉曲面建模的方法，建立了變形曲面的基礎(chǔ)。1994年Hoppe提出用細分曲面進行曲面建模的方法。直至1996年Eck提出了用B樣條對任意拓撲網(wǎng)格進行曲面重建的方法。1996年Halstead提出了用非均勻有理 B樣條構(gòu)造高精度曲面的重建方法。在基于參數(shù)化的曲面重建算法中，1997年Guo提出了一種具有任意拓撲形狀的參數(shù)曲面重建方法，他首先利用a－形構(gòu)造出簡單曲面使之反映出原曲面的拓撲結(jié)構(gòu)，然后在此基礎(chǔ)上重建出曲率連續(xù)的參數(shù)曲面作為重建曲面。2000年P(guān)igel提出了用B樣條曲面逼近離散采樣點的方法，從而重建一張連續(xù)的曲面。同年Floater提出通過原始數(shù)據(jù)點投射到平面參數(shù)上進行參數(shù)分解，用 B樣條曲面對原始數(shù)據(jù)點進行最小平方接近來得到重建曲面。

近年來，國內(nèi)對曲面重建方向的研究也逐漸增多，其中有復旦大學對參數(shù)曲線分類及形狀控制的研究和對多元散亂數(shù)據(jù)逼近擬合的研究，中國科技大學對 Bezier曲面凸性條件的研究和對隱式曲面算法的研究，浙江大學對曲面幾何連續(xù)拼接理論的研究和對面幾何逼近方法的研究等。

細分的思想可追溯到通過對折線角點進行切割來生成光滑曲線的方法，后來，Chaikin生成曲線的細分方法正是這種角切割思想的具體實現(xiàn)。1978年Catmull和Clark，Doo和Sabin分別提出將B樣條曲面推廣到任意拓撲網(wǎng)格的細分算法，標志著細分方法正式成為曲面造型的一種手段。

由于細分過程中計算的時間耗費和存儲量呈幾何級數(shù)增長，這一方法并未得到充分的重視，大多數(shù)研究者的眼光局限于NURBS方法和代數(shù)曲面方法，特別是NURBS理論體系在這一時期趨于成熟和完善。這一時期，人們在使用NURBS方法造型時遇到了前面所說的困難，并為解決這樣的困難進行了積極努力的探索，曲面拼接和n邊域曲面片構(gòu)造方法的介紹展現(xiàn)了這方面的研究成果。采用這些方法構(gòu)造任意拓撲結(jié)構(gòu)的曲面非常復雜，但這些探索為細分曲面理論的形成起到了積極的推動作用。在NURBS理論體系日趨完善的同時，新細分方法不斷出現(xiàn)，對細分模式進行收斂性和連續(xù)性分析的理論也逐漸完善，為以后細分曲面的應(yīng)用研究奠定了基礎(chǔ)，打下了良好的三維動畫技術(shù)基石?，F(xiàn)在細分方法受到了人們的普遍關(guān)注，細分曲面造型技術(shù)處于迅猛的發(fā)展時期。在這一時期開始建立系統(tǒng)的收斂性理論，提出了多變元模式任意拓撲情形下收斂性分析的理論框架。這些理論反過來指導細分模式的構(gòu)造，新的細分模式正大量涌現(xiàn)。

二 曲面建模技術(shù)在三維動畫中的應(yīng)用

三維動畫技術(shù)是一項綜合利用計算機圖形圖像學、數(shù)學、物理學、生理學、藝術(shù)和其他相關(guān)學科知識，用計算機生成連續(xù)的具有虛擬真實感畫面的技術(shù)。隨著計算機硬件技術(shù)以及計算機軟件技術(shù)，尤其是圖形圖像技術(shù)的發(fā)展，三維動畫技術(shù)在影視特技、醫(yī)學、教育和科研等領(lǐng)域中逐漸成為了一種嶄新的、不可缺少的手段。傳統(tǒng)多邊形建模的三維動畫技術(shù)在三維動畫的制作中存在著一些問題、困難和不足之處，分析三維動畫中曲面建模的優(yōu)勢所在，提出用曲面建模的方法如何解決三維動畫制作中存在的問題。本文在綜合比較了動畫制作方法及過程的基礎(chǔ)上，考慮到曲面建模在制作一些逼真動畫過程中所具備的突出優(yōu)勢，利用三維動畫軟件MAYA中的曲面建模進行了深入分析，實現(xiàn)了三維場景建模、角色建模，解決了在三維動畫制作中的一類基于物理動畫實現(xiàn)的問題，從而完成了利用曲面建模進行三維動畫的設(shè)計和開發(fā)并實現(xiàn)相關(guān)案例。

三維多邊形網(wǎng)格模型的簡化是數(shù)字幾何處理中的經(jīng)典問題，對于高密度的三維網(wǎng)格模型必須進行合理的簡化，才能用于三維動畫制作，是三維動畫曲面建模中重要的預處理環(huán)節(jié)。

曲面建模是計算機輔助設(shè)計、計算機圖形學中和計算機動畫的非常重要的研究課題之一，它在三維游戲、醫(yī)學可視化、影視特效、數(shù)值仿真、計算機輔助制造和建筑等應(yīng)用領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。外形建模速度的快慢、操作手段的靈活性以及建模結(jié)果的質(zhì)量高低等問題是影響著三維動畫的最終效果。在傳統(tǒng)的幾何造型系統(tǒng)中，用戶不僅需要具有較高的專業(yè)知識和建模技能，而且進行高逼真度的三維建模非常費時費力。因此，之前的建模方法和手段并不能很好地滿足上述幾個方面的應(yīng)用需求，曲面建模的技術(shù)要求越來越強烈。

三 對NURBS曲面建模和細分曲面建模理論的分析和觀點

當前的NURBS建模方法很多，但基本上傾向于采用最小二乘擬合算法。在數(shù)據(jù)點的參數(shù)化方面，尚沒有一個完全的普適方法，一般情況下要根據(jù)點集的特征做基面參數(shù)化。在操作中，經(jīng)常使用的基面是平面、柱面及雙線性 Coons曲面等簡單曲面。顯然，在處理復雜曲面時，這些基面還不能完全反映曲面的幾何特征，使得參數(shù)化結(jié)果并不十分理想。正因如此，通過Sephard插值、復合2次函數(shù)插值等方法得到矩形陣列點進而構(gòu)造出粗略NURBS擬合基面的方法得到廣泛使用。但是，這些插值方法還不能適用于嚴格的3D數(shù)據(jù)，且只對有明顯的矩形拓撲邊界的數(shù)據(jù)比較適宜，對于更為復雜的卷曲模型，則需要通過交互方式或者采用組合曲面建模方式才能完成。針對該類卷曲模型，應(yīng)用截面設(shè)計技術(shù)思想，提出了一種基面參數(shù)化方法，并由此實現(xiàn)了復雜曲面的精確擬合，實際的工程驗證也說明了方法的有效性和精確性。

NURBS曲面建模的研究主要集中在基面構(gòu)造和參數(shù)化及參數(shù)校正兩個方面，旨在提高參數(shù)化與建模的精度和效率。以截面設(shè)計技術(shù)為基礎(chǔ)，通過提取點集的邊界及內(nèi)部帶有合理位向的截面線族，進而采用蒙皮技術(shù)來構(gòu)造基面。曲面的蒙皮操作具有計算量較小且易于操作等優(yōu)點，但精度較常規(guī)擬合方法要差些。因此，非常適合構(gòu)造點集的基面。采用這種方法構(gòu)造的基面，能夠基本反映出點集的幾何特征。

細分曲面和網(wǎng)格曲面變形長期以來是計算機圖形學的熱點研究內(nèi)容，其研究成果已在制造業(yè)，電影娛樂業(yè)和游戲工業(yè)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。 細分曲面架起了 C＜'1＞連續(xù)的三維網(wǎng)格和無限階連續(xù)的曲面之間的橋梁。通過細分來構(gòu)建曲面，可以有效解決曲面造型中的一些難題，例如支持任意拓撲結(jié)構(gòu)的曲面造型，支持曲面的統(tǒng)一表示和計算數(shù)值穩(wěn)定等。細分曲面不僅可以用來構(gòu)建分段光滑的曲面，同時還能生成帶有凹凸紋理或幾何紋理的曲面。另一方面，曲面的交互變形技術(shù)可以避免為源于同一模型的不同形狀分別建模，從而節(jié)省大量時間，在計算機動畫中的作用非常重要。

細分曲面是按照一定的細分規(guī)則不斷離散多邊形網(wǎng)格而得到的極限曲面，是樣條曲面節(jié)點插入算法的推廣，它克服了樣條曲面的拓撲局限性，可以構(gòu)造任意拓撲的二維流型曲面。因此，細分曲面不僅具備多邊形網(wǎng)格的拓撲適應(yīng)性，而且具有樣條曲面的連續(xù)性、局部性、幾何不變性等優(yōu)點，是離散的多邊形網(wǎng)格和連續(xù)的參數(shù)曲面的統(tǒng)一。細分方法的基本思想是從粗糙的初始多邊形網(wǎng)格出發(fā)，通過添加新的頂點，并與原頂點形成新的邊和面，這樣遞歸的平滑細分，直到最終獲得光滑曲面。

早在細分曲面誕生之際，Doo與Sabin就創(chuàng)造性地結(jié)合離散Fourier變換和矩陣特征值理論分析了細分曲面的連續(xù)性；隨后Ball與Story用類似的方法給出了C-C曲面Gl連續(xù)性的嚴格證明；Loop則是利用卷積定理進行收斂性和連續(xù)性分析；Warren把細分矩陣的系數(shù)看作兩個離散序列的卷積并與一個生成函數(shù)(Generating Function)相關(guān)聯(lián)，然后用函數(shù)的觀念分析細分曲面的收斂性和連續(xù)性；Qin等利用等價節(jié)點距給出了NURBS的連續(xù)性證明；Peters給出了細分曲面在奇異點處的高斯曲率和平均曲率的計算方法，并以此討論了細分曲面二階連續(xù)的充分必要條件；Reif考慮到僅僅切平面連續(xù)可能出現(xiàn)網(wǎng)格局部自交的情形，提出了特征映射(Characteristic Map)的概念，給出了極限曲面正則(即G連續(xù)且不自交)的充分條件：特征映射必須滿足正則性(Regularity)和單射性(Injectivity)；Peters和Reif以此分析了Doo-Sabin細分和C-C細分特征映射的正則性和單射性，Umlauf則證明了Loop模式的正則性；在特征映射理論的基礎(chǔ)上，Zorin建立了更廣泛的一類Ck連續(xù)性準則，并設(shè)計了一個驗證C1連續(xù)的算法。至今，特征映射仍然是判定細分曲面連續(xù)性的常用準則，而且成為構(gòu)造新的高階連續(xù)的細分模式的依據(jù)。

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(責任編校：何俊華)

TP391.41

A

1673-2219（2010）12-0091-02

2010－09－20

代鈺洪（1976－），男，四川達州人，研究方向為動畫。