基于解析理論的懸索橋主纜線形的迭代算法

占 維

主纜是懸索橋的主要承重構(gòu)件，準(zhǔn)確確定其成橋線形十分重要。主纜線形的正確與否，直接影響到主纜下料長度、各索夾的安裝位置以及相應(yīng)的吊索長度等參數(shù)的正確與否。

解析迭代法首先根據(jù)成橋狀態(tài)算出主纜的無應(yīng)力長度，并進(jìn)行索鞍處主纜長度的修正，再根據(jù)恒定無應(yīng)力索長法計(jì)算出其他參數(shù)。本文在現(xiàn)有研究[1-3]的基礎(chǔ)上，根據(jù)解析迭代法的原理，采用EXCEL法和MATLAB編程法兩種計(jì)算方法，分別計(jì)算懸索橋主纜的無應(yīng)力長度，比較兩者的計(jì)算結(jié)果，并與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行誤差比較。

1 主纜線形的計(jì)算

1.1 基本假定

解析法是采用懸索力學(xué)理論將主纜作為理想懸索，故對主纜采用下述三條基本假設(shè)[4]:

1)主纜是理想柔索;2)主纜的材料符合虎克定律;3)主纜的截面面積及容重在外荷載作用下的變化量十分微小，忽略這種變化的影響。

1.2 基本公式

1.2.1 懸鏈線方程

如圖1所示為一段只受自重荷載的索段。取其中一個(gè)微段進(jìn)行研究，見圖2。

首先建立平衡微分方程:

其中，a，b均為積分常數(shù)，可由索段的邊界條件求得，如圖1所示。

得:

1.2.2 索段無應(yīng)力長度

索段弧長:

而索段的彈性伸長量:

則索段的無應(yīng)力長度:

1.2.3 主纜整體的平衡方程

對于如圖3所示的受自重及若干集中荷載作用下的索，可將索分為n段。則對于整體可得到水平和豎向的平衡方程:

同時(shí)有相容方程:

而各個(gè)索段之間在集中荷載作用點(diǎn)處滿足受力平衡條件:

則:

所以:

1.3 迭代計(jì)算方法

由上述受力平衡條件和變形相容條件，可建立如下迭代計(jì)算過程:

1)確定初始值，可近似采用拋物線公式:

2)塔頂處由式(9)，式(1)，式(2)分別求得第一索段各個(gè)參數(shù):

3)在第 i個(gè)吊點(diǎn)處，由式(8)，式(1)，式(2)可得:

4)求出所有索段的參數(shù)后，由下列兩式對豎向支承力 V和索力水平分量H進(jìn)行修正:

H=H+ΔH(修正值ΔH詳見后述)。

然后重復(fù)2)步～3)步的循環(huán)，直至前后兩次循環(huán)值之差小于給定誤差限，即|∑hi-h|≤ε，其中，ε為給定誤差限。

對以上循環(huán)迭代過程，只要給定的初值 H，V較合適，且采用變步長ΔH，一般能很快收斂。

對于中跨取半跨進(jìn)行計(jì)算，如跨中沒有集中力，則yn′|xi=li=0(本文此種情況);如有集中力 Pn，則對第 n個(gè)吊點(diǎn)有如下y方向的平衡方程:

1.4 修正值ΔH的計(jì)算

因?yàn)?hi是H，V的函數(shù)。

所以有:

由于修正值并不要求十分準(zhǔn)確，只要它能較好地使被修正值逐漸靠近真值即可，因此可以假定索為直線。對于直線索有如下恒等式:

求偏導(dǎo)數(shù)得:

則可得索力水平力分量修正值為:

1.5 主索鞍、散索鞍處主纜長度修正

對于主索鞍，如圖4所示，Δc為主索鞍圓弧中心偏離鞍座中心線的距離。初始位置計(jì)算公式為:

其中，Δx，Δy均為距離主索鞍頂點(diǎn)之距。

求得各跨主纜端點(diǎn)的斜率后，按此斜率計(jì)算切點(diǎn)位置后的計(jì)算公式為:

因中跨主纜長度計(jì)算至鞍座中心線處，故中跨主纜繞主索鞍圓弧段的有應(yīng)力長度及彈性伸長公式為:

同理可求出邊跨主纜在主索鞍上的切點(diǎn)位置以及邊跨主纜繞主索鞍圓弧段的有應(yīng)力長度及彈性伸長。

對于散索鞍，同理求出繞散索鞍的圓弧段長及彈性伸長為:

由于主纜在散索鞍上還有水平方向的轉(zhuǎn)角，因此還需修正水平轉(zhuǎn)角引起的切曲差。

2 算例

宜昌長江公路大橋中跨跨徑為960 m，邊跨跨徑為246.255 m，錨跨跨徑為20.432 m;吊索間距為12.06 m(邊吊索距橋塔中心15.69 m)，中跨跨中矢度為96 m;橋面設(shè)計(jì)豎曲線半徑29 629 m，主索鞍鞍槽底圓半徑6.152 m，散索鞍鞍槽底圓半徑7.0 m;北塔高112.415 m，南塔高 142.227 m，塔頂標(biāo)高 185.070 m。

本文由受力平衡條件和變形相容條件，建立迭代計(jì)算方法，分別用EXCEL法和MATLAB編程法計(jì)算出主纜的無應(yīng)力長度。在EXCEL法中通過控制水平力 H前后兩次循環(huán)之差ΔH的絕對值小于10-4和Δh=|∑hi-h|≤10-5，即可認(rèn)為滿足了精度要求;同樣在MATLAB編程法中也是控制ΔH和Δh這兩個(gè)參數(shù)的精度，當(dāng)滿足精度要求的索力水平分量H及豎向支承力V求得后，即可用積分法計(jì)算各索段的有應(yīng)力索長及各吊點(diǎn)處的標(biāo)高。這個(gè)循環(huán)迭代過程，只要給定的初值 H，V較合適，采用變步長ΔH一般能很快收斂。

從表1中可以看出，EXCEL法和MATLAB編程法計(jì)算出的主纜無應(yīng)力長度是非常接近的。而且由于本課題取得的現(xiàn)有資料有限，與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行誤差比較，主纜無應(yīng)力長度的相對誤差最大為0.60%，最小為0.36%，都在允許誤差范圍之內(nèi)。所以這兩種方法是可行的。

表1 主纜無應(yīng)力長度(主纜中心處) m

3 結(jié)語

本文根據(jù)懸索橋的受力特點(diǎn)，建立起了主纜施工計(jì)算的解析迭代法，推導(dǎo)了主纜的計(jì)算公式及如何進(jìn)行解析迭代的具體方法，以此確定恒載狀態(tài)下成橋線形、主纜水平力、豎向力、主纜無應(yīng)力長度。分析了主、散索鞍半徑對主纜長度的影響及相應(yīng)的修正方法，并用具體實(shí)例進(jìn)行計(jì)算，最終得出結(jié)果是可行的。

[1] 沈銳利.懸索橋主纜系統(tǒng)設(shè)計(jì)及架設(shè)計(jì)算方法研究[J].土木工程學(xué)報(bào)，1996，29(2):3-9.

[2] Pugsley A.The theory of suspension bridges，Edward Arnold LTD，London，1957.

[3] 黃平明，梅葵花.大跨度懸索橋主纜系統(tǒng)施工控制計(jì)算[J].西安公路交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，20(4):19-22.

[4] 張 哲.混凝土自錨式懸索橋[M].北京:人民交通出版社，2005:118-122.

[5] 何 為.大跨徑懸索橋施工監(jiān)控中若干問題的研究[D].杭州:浙江大學(xué)博士論文，2006.