隨鉆測(cè)量中工具面角的模擬解算

周云鳳， 程為彬， 陳世琳，2

（1.西安石油大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西 西安 710065；2.青海油田采油三廠，青海 茫崖 816400）

1 引 言

隨著石油勘探和開(kāi)采的精細(xì)化要求的提高，對(duì)隨鉆測(cè)量?jī)x器的測(cè)量精度要求也越來(lái)越高[1-2]，其中井斜、方位和工具面角等姿態(tài)信息直接影響井眼軌跡的測(cè)量精度。

利用高精度陀螺儀和三軸加速度計(jì)組合測(cè)量井眼軌跡[3-5]，如果直接將數(shù)據(jù)送入單片機(jī)處理，需要進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換、采樣/保持、多級(jí)計(jì)算等，這些繁雜過(guò)程必然引入各種誤差，并且大量的數(shù)據(jù)運(yùn)算會(huì)使計(jì)算機(jī)的計(jì)算時(shí)間增加。由于測(cè)量?jī)x器的輸出信號(hào)與鉆具姿態(tài)信息存在著一定的三角函數(shù)關(guān)系[6]，可以根據(jù)這種函數(shù)關(guān)系，選用適合的芯片設(shè)計(jì)模擬電路，來(lái)解算出所需的姿態(tài)信息，再由單片機(jī)做數(shù)據(jù)處理，以此來(lái)簡(jiǎn)化單片機(jī)的計(jì)算過(guò)程。

2 工具面角解算

2.1 三軸加速度計(jì)測(cè)量基本原理

在地理坐標(biāo)系（北西天ONWS坐標(biāo)系）中建立井下儀器坐標(biāo)系OXYZ[7-8]；設(shè)θ和φ分別是井斜角和工具面角，三軸加速度計(jì)的各個(gè)軸測(cè)量的是重力加速度的分量，GX、GY、GZ為三個(gè)軸上的輸出電壓經(jīng)放大后的值。根據(jù)加速度計(jì)的測(cè)量原理及歐拉定理，可以得出經(jīng)放大的輸出電壓與姿態(tài)角之間的函數(shù)關(guān)系。公式如下：

2.2 工具面角計(jì)算

由式（1）可知，GX和GY為工具面角φ的函數(shù)。則工具面角φ可用GX和GY的比值求反正切后求得：

在實(shí)際鉆井時(shí)，θ與φ可分別取 [0°，180°]和[0°，360°]范圍內(nèi)的任何角度值，所以實(shí)際的GX和GY的輸出值也可正可負(fù)。還需要注意的是，在GX=GY=0時(shí)，式（1）并不適用，可結(jié)合GZ的輸出值判斷出，此時(shí)井斜角θ的取值為 0°。

反正切算法把對(duì)arctgX的求解分解為8個(gè)分段函數(shù)，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程[9]?？紤]式（2），設(shè)定：

則 x的值必然在[0°，45°]內(nèi)，這樣工具面角 φ 就可以在4個(gè)象限中分段表示為關(guān)于x的函數(shù)，工具面角φ的求解就轉(zhuǎn)化成對(duì)x的計(jì)算。分段函數(shù)表示如下：

式中：I、II、III和IV代表4個(gè)象限的序號(hào)。

3 模擬解算原理與電路設(shè)計(jì)

3.1 模擬解算原理

用模擬解算的方式求解鉆具姿態(tài)，可以避免A/D采樣、量化、小值數(shù)值運(yùn)算等誤差的引入，同時(shí)也能大大簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算時(shí)間。工具面角的模擬解算電路原理如圖1所示，主要包括放大、取絕對(duì)值、比較以及反正切運(yùn)算等4個(gè)部分[10]。

圖1 工具面角模擬求解原理框圖

圖1中GX0、GY0分別是三軸加速度計(jì)的X、Y軸上的輸出信號(hào)，將其最大值的幅值放大到10V，然后各取絕對(duì)值并比較大小，將絕對(duì)值小者與絕對(duì)值大者的比值作為求反正切運(yùn)算的對(duì)象，最后利用模擬函數(shù)發(fā)生器求解反正切。實(shí)現(xiàn)了這樣的模擬解算過(guò)程，單片機(jī)就只需要依照前文對(duì)反正切算法的分析，編輯相應(yīng)程序，根據(jù)GX、GY的符號(hào)以及兩者絕對(duì)值的大小判斷工具面角φ所在的范圍，然后代入模擬函數(shù)發(fā)生器所求出的反正切值，最終直接求解出φ的實(shí)際值。

圖2 模擬函數(shù)發(fā)生器原理框圖

3.2 反正切求解電路設(shè)計(jì)

模擬函數(shù)發(fā)生器可以實(shí)現(xiàn)各種標(biāo)準(zhǔn)的三角函數(shù)運(yùn)算，函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換可通過(guò)不同的連接方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，它的一致性比起模擬成形技術(shù)要好，總的諧波失真也小很多，速度比用ROM和D/A轉(zhuǎn)換器要快得多。某型號(hào)模擬函數(shù)發(fā)生器的原理如圖2所示。根據(jù)圖2可以得出其輸入輸出關(guān)系為：其中，A為輸出放大器A3的開(kāi)環(huán)增益，且U=U1-U2+Up；函數(shù)合成電路部分的標(biāo)度因數(shù)選定為50°/V。當(dāng)開(kāi)環(huán)增益A足夠大時(shí)，就有：根據(jù)式（9），可以通過(guò)設(shè)定其中各變量的不同取值，實(shí)現(xiàn)多種三角函數(shù)功能。如果使得Up=0，X1=Z1=U2=0，X2=Y2=VX，Y1=90°，則有：

利用模擬函數(shù)發(fā)生器搭建反正切運(yùn)算電路，如圖3所示。測(cè)量中電路的輸入由輸出電壓值可調(diào)的集成電路芯片模擬給定。

圖3 實(shí)驗(yàn)電路原理圖

4 實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

4.1 定井斜實(shí)驗(yàn)

當(dāng) θ=45°時(shí)，取 φ∈[0°，45°]，則 U1=GX，Z2=GY，可以計(jì)算出理論輸入值；將理論輸入值取值到小數(shù)點(diǎn)后三位作為實(shí)際輸入值，這樣兩者會(huì)存在一定差距，所以引入根據(jù)實(shí)際輸入值求出的計(jì)算值以及計(jì)算角度，并作為測(cè)量值和測(cè)量角度的理論參照。部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線如圖4和表1所示。

圖4（a）的曲線表明當(dāng) θ=45°時(shí)，利用模擬電路測(cè)量得到的工具面角φ的值與理論的計(jì)算角度值基本重合，并且電路具有很好的線性度；圖4（b）曲線顯示最大角度誤差不足0.2°，計(jì)算得平均誤差為0.06°，誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望也為0.06°。

圖4 井斜θ=45°時(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線

表1 θ=45°定井斜實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

當(dāng) θ=60°時(shí)，取 φ∈[0°，45°]，方法同上。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其數(shù)值曲線如圖5和表2所示。

圖5（a）中兩條曲線基本重合，說(shuō)明測(cè)量值與理論值很接近，且數(shù)值分布具有很好的線性度。圖5（b）中，最大角度偏差不足0.2°，計(jì)算得平均誤差為0.04°，誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望為0.07°。

圖5 井斜θ=60°時(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線

表2 θ=60°定井斜實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

4.2 變井斜實(shí)驗(yàn)

當(dāng) θ、φ 同時(shí)取[0°，90°]時(shí)，兩者都小于 45°時(shí)，取U1=GX，Z2=GY；兩者都大于 45°時(shí)，取 U1=GY，Z2=GX。測(cè)量方法仍然同上。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及數(shù)值曲線如圖6和表3所示。

圖6 變井斜試驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線

表3 變井斜實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

當(dāng)井斜角和工具面角同時(shí)在[0°，90°]取值，測(cè)量結(jié)果也顯示了很好的線性度和很高的精度。圖6（b）曲線中的最大誤差產(chǎn)生在邊界處，這是由于電路不可調(diào)零造成的，應(yīng)將其作為粗大誤差處理。則其最大誤差為-0.25°，計(jì)算得平均誤差為-0.004°，誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望為0.05°。

實(shí)驗(yàn)測(cè)量了三種情況下的工具面角，模擬電路的運(yùn)算功能不受輸入值改變的影響，三組測(cè)量結(jié)果顯示，測(cè)量角度基本與理論角度重合，最大角度偏差不到0.3°，數(shù)值曲線說(shuō)明電路的線性度及重復(fù)性都很好。因此，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明該電路可以相當(dāng)準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)對(duì)鉆具姿態(tài)中工具面角的模擬解算。

5 結(jié)束語(yǔ)

該文提出了一種應(yīng)用模擬函數(shù)發(fā)生器實(shí)現(xiàn)隨鉆儀器工具面角計(jì)算的新技術(shù)，分析了模擬解算的基本原理，設(shè)計(jì)了模擬解算電路，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析表明工具面角的模擬解算方案可行，電路實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，分辨率較高，計(jì)算速度快，是一種較好的工具面角解算方法，也可應(yīng)用到井斜角的模擬解算中。

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