多觀測(cè)列互差求中誤差

鄧永和

(麗水學(xué)院建筑工程系,浙江麗水 323000)

1 概述

2 多觀測(cè)列中誤差公式推導(dǎo)

(1)

由于是等精度獨(dú)立觀測(cè),故令觀測(cè)值權(quán)陣為單位陣,則由最小二乘法得[2,4,5]

(2)

而觀測(cè)值中誤差(這里是單位中誤差)為[2,4-5]

(3)

將式(1)和(2)代入式(3)得

(4)

式(4)就是本文推導(dǎo)的多觀測(cè)列等精度觀測(cè)值的中誤差公式。

當(dāng)n=1時(shí),由式(3)得

(5)

式(5)就是中誤差貝塞爾公式。

當(dāng)r=2,即是雙觀測(cè)列,由式(4)得

(6)

根據(jù)式(5)、式(6)和式(4)可知：中誤差貝塞爾公式與雙觀測(cè)列中誤差公式是一致的,它們可以統(tǒng)一于多觀測(cè)列中誤差公式。但是,中誤差貝塞爾公式并不能嚴(yán)格得到[4-8],那么,它與雙觀測(cè)列中誤差一致,或許只是一種巧合。

當(dāng)r=3,即是三觀測(cè)列,由式(4)得

m=

(7)

(8)

(9)

從形式上看,上式與文獻(xiàn)[3]的式(6)不同,但可以證明它們是相等的。下面是具體證明。

[(L3-L1)-(L3-L2)]T[(L3-L1)-

(L3-L2)]-(L2-L1)T(L2-L1)=0

(10)

展開得

(L3-L1)T(L3-L1)+(L3-L2)T(L3-L2)-

(L2-L1)T(L2-L1)-2(L3-L2)T(L3-L1)=0

(11)

(12)

(13)

顧及文獻(xiàn)[3]中變量di(i=1,2,3)的含義、本文的dij(i,j=1,2,3)變量的含義,以及d13+d32=d12,

由文獻(xiàn)[3]的公式(6)可得

(14)

顧及式(12),很容易得到式(13)和(14)是相等的結(jié)論。

3 結(jié)論

文獻(xiàn)[3]中理論推導(dǎo)欠妥,但它的公式(6)的結(jié)果卻正確。

筆者基于最小二乘法和單位權(quán)中誤差公式,推導(dǎo)了多觀測(cè)列中誤差公式、中誤差貝塞爾公式與雙觀測(cè)列中誤差公式,揭示了中誤差貝塞爾公式與雙觀測(cè)列中誤差公式是一致的,它們可以統(tǒng)一于多觀測(cè)列中誤差公式之中。

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