王新軍，羅紀生

(天津大學機械工程學院，天津 300072)

槽道流轉(zhuǎn)捩中發(fā)卡渦演化與波增長的關系

王新軍，羅紀生

(天津大學機械工程學院，天津 300072)

通過對槽道流常規(guī)轉(zhuǎn)捩的直接數(shù)值模擬，研究了轉(zhuǎn)捩突變前后，發(fā)卡渦的演化與T-S波增長的對應關系，重點對占流場絕大多數(shù)、轉(zhuǎn)捩前期增長緩慢的T-S波的急速增長在發(fā)卡渦演化中所處的階段進行了分析．研究發(fā)現(xiàn)，在發(fā)卡渦頭部形成階段，流場中典型的未增長起來的波一直保持著緩慢的增長趨勢；當發(fā)卡渦頭部產(chǎn)生分離時，這些波的實際增長率開始爆發(fā)式增加，并在短時間內(nèi)呈數(shù)量級增長，急速增長的過程一直延續(xù)到發(fā)卡渦頭部混亂之后．

T-S波；發(fā)卡渦；尖峰結構；增長率；突變

近年來對轉(zhuǎn)捩的研究更加深入．Kleiser等[1]對不可壓縮平板邊界層轉(zhuǎn)捩進行了直接數(shù)值模擬，并對有關研究進行了較全面論述；Mack、Stetson、Bountin等[2-4]分別從理論、實驗等不同角度對可壓縮流的轉(zhuǎn)捩以及不穩(wěn)定模態(tài)進行了研究分析．對轉(zhuǎn)捩的傳統(tǒng)看法是，轉(zhuǎn)捩開始于擾動的放大，由于非線性作用，隨著擾動的增長，產(chǎn)生高次諧波，流動變得越來越復雜，最終導致湍流．雖然直接數(shù)值模擬可以較全面地展示轉(zhuǎn)捩的各階段的演化過程，但是前面的結果并沒有對轉(zhuǎn)捩突變發(fā)生的深層原因進行探討．

最近，Wang等[5]對轉(zhuǎn)捩中突變過程的機理研究從理論上解釋了層流-湍流轉(zhuǎn)捩的突變的內(nèi)在機理．研究發(fā)現(xiàn)，在突變過程中，諧波尤其是高次諧波有一個急速增長的過程．各階諧波急速增長是層流-湍流轉(zhuǎn)捩突變發(fā)生的關鍵，而平均流剖面穩(wěn)定性的改變是造成這一現(xiàn)象的根源．這一研究結果從理論上揭示了轉(zhuǎn)捩的關鍵過程，為深入理解轉(zhuǎn)捩這一復雜物理過程奠定了基礎．文獻[6-10]對不同情況轉(zhuǎn)捩的研究都揭示了這一機理．根據(jù)以上研究，王新軍等[11]對轉(zhuǎn)捩中T-S的演化進行了研究，發(fā)現(xiàn)在轉(zhuǎn)捩突變前，大多數(shù)已經(jīng)增長起來的波停止了增長或者顯著改變了原來快速增長的趨勢；轉(zhuǎn)捩突變過程中增長迅速的是此前未增長起來的波，從數(shù)量上看這些波遠多于已經(jīng)增長起來的波，這些波既包括高頻波也包括不受初始不穩(wěn)定波影響的低頻波；最后，對未增長起來的波迅速增長的原因進行了分析．

三維擾動的產(chǎn)生、發(fā)展和演化在邊界層的轉(zhuǎn)捩中具有重要的意義．轉(zhuǎn)捩初期快速增長的三維擾動逐漸形成Λ渦，Λ渦出現(xiàn)后其自誘導作用使得渦的強度不斷增大，Λ渦頭部逐漸合攏，兩條渦腿向壁面靠近，頭部向高速流區(qū)域延伸，形成發(fā)卡渦．發(fā)卡渦在自誘導及拉伸的作用下，靠近頭部的渦腿不斷靠近使頭部產(chǎn)生分離，并伴隨著尖峰結構的出現(xiàn)，有時產(chǎn)生環(huán)狀渦．Klebanoff等[12]利用熱線測量法首次在人工激發(fā)的轉(zhuǎn)捩邊界層中觀測到轉(zhuǎn)捩后期出現(xiàn)高頻尖峰現(xiàn)象．Kachanov[13]對這一問題進行了深入研究．尖峰結構出現(xiàn)后流動開始紊亂，但是其物理機理并不清楚．Lian等[14]的實驗證明尖峰結構是由發(fā)卡渦演化生成的環(huán)狀渦的誘導，但是實驗中并未直接觀察到流動不穩(wěn)定引起的發(fā)卡渦．郭輝等[15]通過實驗證明尖峰結構是環(huán)狀渦對其中心局部誘導引起的負向速度脈動，證明了Kachanov[13]對尖峰結構生成機制的推測．

流場中的三維結構是譜空間中各階諧波的疊加結果．轉(zhuǎn)捩中突變伴隨著各階諧波的迅速增長[5]，各階諧波尤其是突變過程前未增長起來波的急速增長[11]既反映了轉(zhuǎn)捩突變的劇烈變化過程，也是整個流場流動迅速紊亂的關鍵．將各階波尤其是之前未能增長起來波的急速增長與轉(zhuǎn)捩中主要的三維結構發(fā)卡渦的演化聯(lián)系起來，對深入認識轉(zhuǎn)捩的突變過程具有重要意義．為此，筆者通過對槽道流轉(zhuǎn)捩的直接數(shù)值模擬，研究了占流場絕大多數(shù)的轉(zhuǎn)捩突變前增長緩慢的T-S波的增長規(guī)律，重點對占絕流場大多數(shù)、轉(zhuǎn)捩前期增長緩慢的T-S波的急速增長在發(fā)卡渦演化中所處的階段進行了對比分析．

1 計算參數(shù)及初始T-S波的選擇

用槽道流來研究轉(zhuǎn)捩過程，采用的數(shù)值方法是偽譜方法，即在流向和展向采用傅里葉變換，而在法向采用兩點四階精度的緊致差分格式來解傅里葉展開所產(chǎn)生的方程．計算起始于具有拋物線型平均速度剖面的層流，然后引入擾動．擾動由3個T-S 波組成，形式為式中：x是流向坐標；z是展向坐標；y是法向坐標；αi、βi(i=1，2，3)分別是x和z向的波數(shù)；ui(i=1，2，3)是由層流剖面的Orr-Sommerfeld方程特征值問題得到的速度；ai( i=1,2,3)是擾動幅值．雷諾數(shù)Re= 12 000是參照槽道層流速度剖面的中心速度和半槽寬得出的．本文計算了3種情況，式(1)的具體參數(shù)見表1，其中α0和β0是基本波數(shù)．

表1 公式(1)的參數(shù)Tab.1 Parameters of Eq.(1)

下面重點以第1種情況進行討論．前兩個波是不穩(wěn)定的，其特征值如表2所示．

表2 特征值Tab.2 Eigen values

本文采用了時間模式，所以流向波數(shù)、展向波數(shù)的虛部為零．表2中的rω、iω分別是第1種情況頻率的實、虛部，頻率的虛部對應著T-S波的增長率．

文獻[13]結果顯示發(fā)卡渦多次分離之后轉(zhuǎn)捩迅速完成，可見發(fā)卡渦的演化發(fā)展離轉(zhuǎn)捩突變過程非常接近；但是在轉(zhuǎn)捩突變過程前，大多數(shù)已經(jīng)增長起來的波已經(jīng)停止增長或者顯著改變了原來快速增長的規(guī)律[11]，因此，轉(zhuǎn)捩中變化最激烈的突變過程與流場中未增長起來的波的演化有更直接的關系．為此，本文選擇初始波的原則是在轉(zhuǎn)捩前不穩(wěn)定波對大多數(shù)T-S波的影響較小，以便在發(fā)卡渦演化階段觀察這些占流場大多數(shù)的波的變化．

對于第1種情況，由于初始不穩(wěn)定波為(02α， 0β0)、(2α0，1β0)，其相互作用直接產(chǎn)生(0α0，1β0)、(0α0，-1β0)、(4α0，1β0)的波，這些波與初始波相互作用產(chǎn)生沿β方向連續(xù)發(fā)展、在α方向為偶數(shù)的波．另外，初始穩(wěn)定波(5α0，2β0)與前兩個波相互作用可產(chǎn)生α方向為奇數(shù)的波，這樣就產(chǎn)生所有的波，但是由于其本身衰減得非?？欤梢哉J為在α方向為奇數(shù)的波將不受初始不穩(wěn)定波以及已經(jīng)增長起來的波的直接支持．這些波迅速增長將直接反映轉(zhuǎn)捩突變前各階波快速增長的事實，選取這幾個初始擾動波可為后面研究層流-湍流轉(zhuǎn)捩突變過程中大多數(shù)未增長起來的波的演化帶來方便．

2 計算結果及分析

2.1 發(fā)卡渦演化過程

研究發(fā)卡渦，主要觀察速度梯度張量第二不變量的等值面，它是流向渦和展向渦的綜合體現(xiàn)．本文用壁面摩擦速度*u和半槽寬h(h=1)對速度梯度張量第二不變量進行無量綱化處理，即

式中Q為速度梯度張量的第二不變量，其表達式為

圖1直觀顯示了第1種情況槽道流流場中發(fā)卡渦的演化，其無量綱速度梯度張量第二不變量2I的值均為1 000．

圖1(a)顯示了在所研究的2I值情況下形成的完整發(fā)卡渦；2個無量綱時間t后，發(fā)卡渦頭部開始分離，如圖1(b)所示；圖1(c)反映了發(fā)卡渦頭部多次分離的情況，此時與圖1(b)僅僅相差4個無量綱時間．對于本文所研究的槽道流，由于受到上下平板的限制，發(fā)卡渦頭部抬升并很快進入槽道中部，受到另一壁面的影響．雖然兩條渦腿也在不斷靠攏，但是并沒有形成明顯的環(huán)狀渦．盡管沒有形成明顯的環(huán)狀渦，但是發(fā)卡渦頭以及靠得很近的渦腿必然誘導形成使其中部較大的負向脈動速度，即對應文獻[13]的尖峰現(xiàn)象，因此頭部多次分離階段對應著多個尖峰結構階段．頭部多次分離之后，流場很快開始混亂，如圖1(d)所示．從發(fā)卡渦頭形成到紊亂僅僅經(jīng)歷了十幾個無量綱時間．其他兩種情況與第1種情況一致．

2.2 發(fā)卡渦生成及演化前后流場中部分參數(shù)

圖2是轉(zhuǎn)捩突變前后壁面摩擦系數(shù)fc曲線以及流場平均脈動動能ke的演化情況，其中

式中xL、yL、zL分別為計算域流向、法向和展向的長度．

圖1 第1種情況發(fā)卡渦演化Fig.1 Evolution of hairpin vortex of case 1

所研究的3種情況均顯示，發(fā)卡渦在fc曲線開始緩慢抬升階段產(chǎn)生，頭部混亂時對應fc曲線開始迅速升起階段，大約是10～15個無量綱時間．

圖2 第1種情況的壁面摩擦系數(shù)與平均脈動動能演化Fig.2 Evolution of friction coefficient of wall and average kinetics energy of fluctuating velocity of case 1

圖3 為轉(zhuǎn)捩過程中部分典型的增長較快的波與典型未增長起來的波的幅值演化情況．圖3(a)顯示，兩排T-S波相鄰，但是對于α=0.90(流向波數(shù)為02α)的波，本身是不穩(wěn)定波或是不穩(wěn)定波直接影響的波，在轉(zhuǎn)捩突變過程前就已經(jīng)具有較大幅值；對于α=1.35(流向波數(shù)為03α)的波，由于幾乎不受初始不穩(wěn)定波的影響，直到t=1 120左右才具有一定的幅值，這時如果以fc曲線的快速增長為參考，轉(zhuǎn)捩開始進入突變階段，可見這些波的增長與突變前流場的狀態(tài)密切相關，與圖1所示的轉(zhuǎn)捩突變前流場中最突出的三維結構發(fā)卡渦的演化直接相關．圖3(b)與圖3(a)相似，α=1.80(流向波數(shù)為04α)的波是不穩(wěn)定波直接影響的波，增長起來較快；α=2.25(流向波數(shù)為05α)的波，與α=1.35(流向波數(shù)為03α)的波一致．流場中其他波的演化以及另外兩種情況的波的演化與以上描述類似．

圖3 第1種情況轉(zhuǎn)捩中增長較快波與增長較慢波的幅值對比Fig.3 Comparison of amplitude between waves increasing fast and the waves increasing slowly in the transition process of case 1

2.3 發(fā)卡渦生成及演化前后典型波的增長率

針對圖1發(fā)卡渦的演化，圖4給出了第1種情況以上幾個無量綱時間前后兩組典型未增長起來T-S波的實際增長率的變化情況，這些波的流向波數(shù)分別為03α和05α．筆者對其他一些流向波數(shù)為奇數(shù)的波也進行了分析，結果相近；第2、3種情況與第1種情況類似，均不再列出．圖4中研究的波的選取依據(jù)有2個．①不受初始不穩(wěn)定波的影響．本文重點研究突變前未增長起來的T-S波，對于第1種情況，α方向奇數(shù)波不受初始不穩(wěn)定波的直接作用，其增長率與整個流場密切相關，或者說與平均流當時的狀態(tài)密切相關，這些波的明顯變化將直接反映流場狀態(tài)的變化．②屬于低波數(shù)波．在轉(zhuǎn)捩之后達到湍流階段，根據(jù)能譜分布可知低波數(shù)的波幅值相對較大，對流場的影響較大，因此本文選取未增長起來的流向波數(shù)均為3α0、5α0的低波數(shù)波進行研究，這些波的展向波數(shù)則是從β0=0開始連續(xù)分布的，其幅值在轉(zhuǎn)捩突變過程中都有相對較大的增長．

對比圖1(a)，從圖4(a)、4(b)可以看出，在發(fā)卡渦頭部形成之前即t=1 102之前，包括Λ渦的演化階段，流場中典型的未增長起來的波一直保持著原來的極其緩慢的變化趨勢．即從Λ渦的生成演化直到形成完整的發(fā)卡渦，并沒有顯著改變流場中占大多數(shù)的未增長起來的T-S波的演化規(guī)律．Λ渦的演化并形成發(fā)卡渦是最終轉(zhuǎn)捩的一個重要環(huán)節(jié)，但并不是促使流場中典型的未增長起來的波迅速增長的關鍵．結合圖3可以看出，在t=1 100前Λ渦演化的階段正是流場中增長較快的波迅速增長階段，其中部分波的實際增長率如圖5所示，圖2也顯示這時是流場平均脈動動能從緩慢增長到快速增長的過渡階段．

發(fā)卡渦頭部的分離是促使流場中典型的未增長起來的波迅速增長的關鍵．發(fā)卡渦頭部開始分離到分離出多個頭部結構的階段，即對應1個到多個尖峰結構出現(xiàn)的階段，原來未能增長起來的典型T-S波的增長率開始急速增長．圖4(c)、4(d)顯示，t=1,104前后，這些波的增長率明顯改變了原來緩慢的增長方式，開始急速增長，并且短時間內(nèi)就有數(shù)量級的增長；隨后如圖4(e)、4(f)，兩列波的實際增長率開始穩(wěn)定、快速地增長，在t=1,114前后，即發(fā)卡渦頭部開始混亂的時候，又開始急速增長，這與圖4(a)、4(b)所顯示的發(fā)卡渦頭部開始分離之前的緩慢發(fā)展趨勢形成鮮明對比．另外，與未增長起來的波的增長率迅速增加相反，如圖5所示，第1種情況中最先增長起來、并且是突變前增長最快的一列T-S波的增長率卻開始減?。梢?，發(fā)卡渦頭部的分離到混亂在譜空間中表現(xiàn)最明顯的特征是，原來未能增長起來的占流場大多數(shù)的T-S波的急速增長．

圖4 波的實際增長率Fig.4 Real increasing rate of wave

圖5 部分已經(jīng)增長起來的波的實際增長率Fig.5 Real increasing rate of some developed waves

3 結 論

本文用直接數(shù)值模擬方法對槽道流常規(guī)轉(zhuǎn)捩進行了研究．首先對發(fā)卡渦的演化進行了分析，并比較了發(fā)卡渦形成、分離及隨后頭部混亂與fc曲線的關系；研究了占流場絕大多數(shù)的轉(zhuǎn)捩突變前增長緩慢的T-S波的增長規(guī)律，重點對典型的未增長起來波的急速增長與轉(zhuǎn)捩中主要的三維結構發(fā)卡渦的演化進行對比，得到以下結論．

(1)發(fā)卡渦的生成及頭部分離過程中，壁面摩擦系數(shù)fc曲線開始緩慢抬升；隨著發(fā)卡渦頭部混亂，fc曲線開始迅速升起；發(fā)卡渦的演化過程約持續(xù)10～15個無量綱時間．

(2)發(fā)卡渦頭部形成之前，包括Λ渦演化的階段，占流場絕大多數(shù)的未增長起來的波一直保持著原來緩慢的增長趨勢；發(fā)卡渦頭部的分離階段，在譜空間中表現(xiàn)為占流場絕大多數(shù)的未增長起來的波開始了急速增長，其中不受初始不穩(wěn)定波直接影響的幅值較小的波的增長更為明顯．這一急速增長的過程一直持續(xù)到發(fā)卡渦頭部紊亂以后．

(3)譜空間T-S波的疊加生成了流場中的三維結構，譜空間中數(shù)量上占絕大多數(shù)的T-S波的爆發(fā)式增長必然反映了流場中的重要變化，即經(jīng)過不斷拉伸和自誘導作用的發(fā)卡渦頭部的分離．伴隨著發(fā)卡渦頭部的分離，占流場絕大多數(shù)的未增長起來的波都開始急速增長，并在短時間內(nèi)積累相對較大的幅值，使轉(zhuǎn)捩突變迅速完成．

(4)根據(jù)以上結果，通常可以做這樣的推測：發(fā)卡渦頭部分離，即從1個到多個尖峰結構的過渡，顯著改變了流場的穩(wěn)定性，使轉(zhuǎn)捩突變過程產(chǎn)生并迅速完成．但是，近期對轉(zhuǎn)捩突變前后平均流剖面穩(wěn)定性的研究顯示[5-6]，平均流剖面穩(wěn)定性顯著改變的過程均發(fā)生在fc曲線迅速升起之后，也就是發(fā)卡渦頭部混亂之后，這時的平均流剖面的不穩(wěn)定區(qū)域以及不穩(wěn)定波的增長率都比初始流場增加了1個數(shù)量級以上．流場中占絕大多數(shù)的波的急速增長比平均流剖面穩(wěn)定性顯著改變提前了約15～20個無量綱時間．因此，發(fā)卡渦頭部的演化與平均流穩(wěn)定性的關系還有待從理論角度進行進一步研究．

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Relationship Between Evolution of Hairpin Vortex and Increase of Waves in Channel Flow Transition

WANG Xin-jun，LUO Ji-sheng
(School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Laminar-turbulent transition has been studied by means of DNS of channel flow and the relationship between the evolution of hairpin vortex and the increase of T-S waves in channel flow transition has been discussed，with the rapid increase of the undeveloped T-S waves，which constitute the majority of all waves in the flow，in the stages of hairpin evolution as focus of the analysis. Results show that the typical undeveloped waves keep the original low increasing rate during the forming stage of the head of hairpin vortex，and when the head of hairpin vortex begins to split the real increasing rate of these typical undeveloped waves starts to rise rapidly and achieves orders of magnitude increase in a short time until the head of hairpin vortex is in disorder.

T-S wave；hairpin vortex；spike structure；increase rate；breakdown

O357.5

A

0493-2137(2010)02-0126-06

2009-01-08；

2009-02-27.

國家自然科學重點基金資助項目(10632050)；國家自然科學基金資助項目(10802058).

王新軍（1967— ），男，博士，講師．

王新軍，wangxinjun@sohu.com.