張 俊，宋軼民，張 策，王建軍

NGW型直齒行星傳動(dòng)自由振動(dòng)分析

張 俊，宋軼民，張 策，王建軍

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

為揭示NGW型直齒行星傳動(dòng)的自由振動(dòng)特性，在系桿隨動(dòng)參考坐標(biāo)系下建立該型傳動(dòng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型．模型設(shè)定系統(tǒng)中每個(gè)構(gòu)件均擁有3自由度，并計(jì)入各構(gòu)件的支承剛度、輪齒時(shí)變嚙合剛度及陀螺效應(yīng)等影響因素．通過分析各構(gòu)件間的相對(duì)位移關(guān)系，推導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，進(jìn)而求解其特征值問題，即可獲知系統(tǒng)的固有頻率和相應(yīng)振型．依照傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征，可將NGW型直齒行星傳動(dòng)的自由振動(dòng)分為3種典型振動(dòng)模式，即扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式、平移振動(dòng)模式和行星輪振動(dòng)模式．比較本模型與前人模型的仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩種模型所得的系統(tǒng)各階固有頻率相同，但其中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)振型向量存在較大差異．由于更正了前人模型中的推導(dǎo)錯(cuò)誤，現(xiàn)有模型能更為準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性．

行星齒輪傳動(dòng)；動(dòng)力學(xué)建模；自由振動(dòng)

作為齒輪傳動(dòng)的基本形式之一，行星齒輪傳動(dòng)的自由振動(dòng)特性對(duì)整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性及參數(shù)共振特性具有重要影響，也是進(jìn)行傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)．

為滿足工業(yè)界對(duì)高速重載、低振動(dòng)噪聲、高可靠性和長(zhǎng)壽命的要求，學(xué)術(shù)界圍繞行星齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了相關(guān)研究[1-8]．Kahraman[1-2]曾在絕對(duì)坐標(biāo)系下創(chuàng)建了NGW型直齒行星傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，分析了中心構(gòu)件浮動(dòng)與行星輪制造、安裝誤差對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的影響，但其推導(dǎo)過程極為繁瑣，不易用于指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)．為明晰各構(gòu)件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，Lin等[3]在系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系下建立了直齒行星傳動(dòng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型，并利用該模型分析了NGW型直齒行星傳動(dòng)的自由振動(dòng)特性．但是，在Lin所創(chuàng)建的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型中，行星輪的加速度表達(dá)式與其質(zhì)心坐標(biāo)的定義不符，直接影響了后續(xù)各構(gòu)件相對(duì)位移的表達(dá)及分析結(jié)果的可信性．

為準(zhǔn)確揭示行星齒輪傳動(dòng)的自由振動(dòng)特性，本文以NGW型直齒行星傳動(dòng)為研究對(duì)象，重新在系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系下建立了該類傳動(dòng)系統(tǒng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型．

1 平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型

行星傳動(dòng)系統(tǒng)中可動(dòng)構(gòu)件數(shù)目較多，且存在若干虛約束，各構(gòu)件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系極為復(fù)雜．為便于表達(dá)行星輪系中各構(gòu)件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，選擇如圖1所示的系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系[9]．

圖1 系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系Fig.1 Carrier-attached coordinate system

圖1 中，OXY為絕對(duì)參考坐標(biāo)系，Oxy為系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系，并設(shè)定坐標(biāo)系原點(diǎn)O為系桿理論安裝中心，x軸指向行星輪1的平衡位置，y軸正方向由x軸正方形逆時(shí)針轉(zhuǎn)過90°，Oxy以系桿的理想角速度cω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．對(duì)任一時(shí)刻t，可知系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系Oxy相對(duì)X軸轉(zhuǎn)過的角度cctθω=．設(shè)ir為行星傳動(dòng)中某構(gòu)件質(zhì)心的位移矢量，顯然ir可表示為

式中：μ、ν分別為x、y方向的單位矢量；xi、yi分別為ri在x、y軸的投影．

將式(1)對(duì)時(shí)間t求二次導(dǎo)數(shù)，并注意到μ˙=ωcν，ν˙=-ωcμ，則有

式(2)表明在系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系Oxy中，ri的加速度可表示為μ、ν方向的加速度分量的矢量和．

以系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，建立NGW型直齒行星傳動(dòng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示．各符號(hào)的含義如下：kpn為行星輪支承剛度(n= 1,2,…,N)；ψn為第n個(gè)行星輪中心與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線與x軸正向的夾角(ψn=2π(n-1)/N )；kij為中心構(gòu)件的支承剛度(i=c,r,s；j=x,y,u)；(xi,yi,ui)為構(gòu)件位移(i=c,r,s,1,2,…,N )；ui=riθi；ui、θi分別為各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)線位移與扭轉(zhuǎn)角位移；ri為各構(gòu)件的回轉(zhuǎn)半徑(若i=c，則為行星輪軸心到系桿幾何形心的距離；若i=r,s,1,2,…,N，則為各齒輪的基圓半徑)．

圖2 平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Translational-rotational-coupling dynamic model

2 各構(gòu)件間相對(duì)位移關(guān)系

在系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系下，行星輪系中各構(gòu)件間的相對(duì)位移關(guān)系見圖3[10]．為表達(dá)清晰，圖3中未繪出系桿．圖中，sα、rα分別為太陽(yáng)輪和行星輪以及行星輪和內(nèi)齒圈的嚙合角；snk、rnk分別為外、內(nèi)嚙合剛度．

圖3 行星輪系各構(gòu)件間的相對(duì)位移Fig.3 Displacement relationship between components of planetary gear set

由圖3可導(dǎo)出各構(gòu)件間的相對(duì)位移．

1)太陽(yáng)輪與行星輪相對(duì)位移沿嚙合線方向投影

2)行星輪與內(nèi)齒圈相對(duì)位移沿嚙合線方向投影

3)行星輪與系桿相對(duì)位移沿cx、cy和cu方向投影

4)行星輪與系桿相對(duì)位移沿nx、ny方向投影

式(3)～式(9)即為系統(tǒng)的位移協(xié)調(diào)方程．

3 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

假定NGW型直齒行星傳動(dòng)的內(nèi)齒圈固定，系桿、太陽(yáng)輪分別連接輸入端與輸出端，輸入扭矩為Tc，輸出扭矩為Ts．設(shè)系桿、內(nèi)齒圈、太陽(yáng)輪和行星輪的質(zhì)量分別為mc、mr、ms和mpn，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ic、Ir、Is和Ipn．分析系統(tǒng)中各構(gòu)件的受力狀況，依據(jù)牛頓第二定律可建立如下的運(yùn)動(dòng)方程．

1)系桿運(yùn)動(dòng)微分方程

2)內(nèi)齒圈運(yùn)動(dòng)微分方程

3)太陽(yáng)輪運(yùn)動(dòng)微分方程

4)行星輪運(yùn)動(dòng)微分方程

將式(3)～式(9)所示的位移協(xié)調(diào)方程代入式(10)～式(13)，整理后表示成矩陣形式，可得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中q、M、cω、G、bK、mK、ωK和T分別為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣、廣義質(zhì)量矩陣、系桿角速度、陀螺矩陣、支承剛度矩陣、嚙合剛度矩陣、向心剛度矩陣和外激勵(lì)列陣，且有

篇幅所限，其他各矩陣的元素不再詳列．

4 自由振動(dòng)分析

為方便分析，對(duì)行星輪系做如下假定：各行星輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別相等；各構(gòu)件的支承剛度恒定；各處嚙合剛度取時(shí)變嚙合剛度的均值；忽略系統(tǒng)的阻尼和摩擦．

當(dāng)系桿角速度較小時(shí)，科氏力、離心力均可忽略，則由式(14)可得系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)方程為

與式(15)對(duì)應(yīng)的特征值問題為

式中iω、iφ分別為系統(tǒng)第i階固有頻率和振型，且有

不失一般性，仍以文獻(xiàn)[3]中的系統(tǒng)為例進(jìn)行數(shù)值仿真，其基本參數(shù)如表1所示．此處假定各處嚙合角、嚙合剛度相等，且各構(gòu)件的支承剛度也相等．

表1 NGW型直齒行星傳動(dòng)的基本參數(shù)Tab.1 Primary parameters of NGW spur planetary gear set

當(dāng)行星輪個(gè)數(shù)為3、4和5時(shí)，求得系統(tǒng)各階固有頻率，如表2所示，其中m為固有頻率的重根數(shù)．

進(jìn)一步分析可知系統(tǒng)各階固有頻率對(duì)應(yīng)的振型坐標(biāo)．篇幅所限，僅給出行星輪個(gè)數(shù)為5時(shí)系統(tǒng)的振型坐標(biāo)，如表3所示．

經(jīng)歸納可知NGW型直齒行星傳動(dòng)存在3種典型振動(dòng)模式，即中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式、中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式和行星輪振動(dòng)模式．

表2 系統(tǒng)各階固有頻率Tab.2 Natural frequencies of the system Hz

表3 修正模型與原模型振型比較Tab.3 Comparison of vibration mode coordinates between two models

以行星輪個(gè)數(shù)為5的系統(tǒng)為例，上述3種典型振動(dòng)模式的振型分別如圖4(a)～圖4(c)所示．圖中，實(shí)線為構(gòu)件振動(dòng)后的位置，虛線為構(gòu)件的原始位置，實(shí)線段為各構(gòu)件振動(dòng)后的橫軸線．為清晰計(jì)，圖中未繪出系桿的位置．

進(jìn)一步分析可得如下結(jié)論．

(1)中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式．當(dāng)1m=時(shí)，各中心構(gòu)件(太陽(yáng)輪、系桿、內(nèi)齒圈)僅做扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，各行星輪做復(fù)雜平面振動(dòng)，且各行星輪的的振動(dòng)狀態(tài)相同，而與行星輪個(gè)數(shù)無關(guān)．

(2)中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式．當(dāng)2m=時(shí)，各中心構(gòu)件做平移振動(dòng)，各行星輪做復(fù)雜平面振動(dòng)且振動(dòng)狀態(tài)與行星輪個(gè)數(shù)相關(guān)．N=4時(shí)，行星輪振動(dòng)狀態(tài)呈軸向反對(duì)稱；其他情況下行星輪振動(dòng)狀態(tài)各不相同．

圖4 系統(tǒng)振動(dòng)模式示意Fig.4 Vibration modes of the system

(3)行星輪振動(dòng)模式．當(dāng)m=N-1(N＞3)時(shí)，各中心構(gòu)件不振動(dòng)，僅行星輪振動(dòng)且振動(dòng)狀態(tài)與行星輪個(gè)數(shù)相關(guān)．N=4時(shí)，行星輪振動(dòng)狀態(tài)呈軸向?qū)ΨQ；其他情況下行星輪振動(dòng)狀態(tài)各不相同．

將本文的分析結(jié)果與文獻(xiàn)[3]的分析結(jié)果對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一階固有頻率，采用兩種模型所求解出的系統(tǒng)的振型坐標(biāo)不盡相同．以N=4的傳動(dòng)系統(tǒng)為例，兩種模型獲得的系統(tǒng)部分振型如表3所示．由表3可知，模型修正前后，平移振動(dòng)模式下系統(tǒng)同一階固有頻率所對(duì)應(yīng)的各構(gòu)件的振型坐標(biāo)存在較大差異；相反，在中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式和行星輪模式下，兩種模型所求的振型坐標(biāo)完全一致．

5 結(jié) 語(yǔ)

在系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系下重新建立了NGW型直齒行星傳動(dòng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型，并通過自由振動(dòng)分析歸納出系統(tǒng)的3種典型振動(dòng)模式及相應(yīng)的振動(dòng)特征．與前人分析結(jié)果的比較表明，盡管兩種模型所得的系統(tǒng)各階固有頻率相同，但是在中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式下兩種模型所求得的系統(tǒng)振型向量存在較大差異．相比之下，采用現(xiàn)有模型能更為準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)中各構(gòu)件的振動(dòng)特性，故可將本研究的結(jié)論作為后續(xù)動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)，如動(dòng)態(tài)激勵(lì)響應(yīng)分析、參數(shù)靈敏度分析和相位調(diào)諧振動(dòng)抑制等．

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Analysis of Free Vibration of NGW Spur Planetary Gear Set

ZHANG Jun，SONG Yi-min，ZHANG Ce，WANG Jian-jun
(School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

A translational-rotational-coupling dynamic model has been developed in the carrier-attached coordinate system to investigate the free vibration characteristics of NGW spur planetary gear set. The proposed model admits three degrees-offreedom for each component and includes the key factors affecting planetary gears vibration such as component bearing stiffness，time-varying mesh stiffness and gyroscopic effect. Through analysis of the displacement relationship between different components，differential equations of the system have been derived，and the natural frequencies and vibration modes of the planetary gear set have been obtained through solution of the associated eigenvalue problem. Based on the unique properties of the transmission system，the vibration modes of NGW spur planetary gear set can be classified into three categories，i.e.，rotational mode，translational mode，and planet mode. Comparison between the proposed and previous models indicates that the two models have the same natural frequencies but different mode shapes.As the deductive errors in the previous studies have been corrected，the proposed dynamic model can reveal the free vibration characteristics of the planetary gear system more accurately.

planetary gear transmission；dynamic modeling；free vibration

TH132.4

A

0493-2137(2010)01-0090-05

2009-04-20；

2009-09-06．

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905122)．

張 ?。?981— ），男，博士，講師．

張 俊，zhang_jun@tju.edu.cn．