陳 誠，裘祖榮，李醒飛，朱 嘉，向紅標，譚文斌，趙成順

θFXZ型測量機力變形誤差分析

陳 誠，裘祖榮，李醒飛，朱 嘉，向紅標，譚文斌，趙成順

(天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點實驗室，天津 300072)

根據(jù)某θFXZ型特定結(jié)構(gòu)測量機，研究其靜力及動力變形誤差的系統(tǒng)分析方法．在建立測量機非剛體數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，求解測量機由于力變形帶來的測量誤差值，并用激光干涉儀對測量機靜力及動力狀態(tài)下的誤差分別進行了測量．利用所建立的數(shù)學(xué)模型對測量機存在的靜力變形帶來的測量誤差進行補償，使立柱在水平方向的偏擺帶來的最大測量誤差由補償前的10.2.μm減小到1.0,μm．實驗得到的動力狀態(tài)變形結(jié)果可以用于測量機力變形誤差補償技術(shù)的進一步研究．

坐標測量機；力變形誤差；非剛體模型；誤差補償

隨著工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展，對坐標測量機的精度提出了越來越高的要求．單純依靠提高測量機制作工藝、使用新材料來提高測量機精度，即使能夠?qū)崿F(xiàn)其目標，經(jīng)濟成本也會很高，因此誤差補償技術(shù)作為提高坐標測量精度的一個重要手段，得到了越來越廣泛的應(yīng)用[1]．在研究測量機誤差補償?shù)年P(guān)鍵技術(shù)之前，分析其力變形引起的誤差是一個重要環(huán)節(jié)．

坐標測量機實際結(jié)構(gòu)和材料的特性使得測量機不可避免地存在靜力和動力加速度引起的力變形誤差[1-3]．影響測量機力變形誤差的主要因素有：①測量機各個部件存在相對運動時，其重力作用的變化使構(gòu)件發(fā)生變形；②導(dǎo)軌聯(lián)結(jié)處非剛性帶來的構(gòu)件偏擺；③動力加速度引起的變形等[4-5]．

筆者基于θFXZ型[1]特定結(jié)構(gòu)測量機，在準剛體模型基礎(chǔ)上，建立其非剛體數(shù)學(xué)模型．系統(tǒng)地分析測量機力變形誤差的來源，通過理論計算和有限元仿真得到其力變形誤差值，最后使用雙頻激光干涉儀搭建實驗系統(tǒng)以測量力變形誤差，并對可以精確檢定的力變形誤差進行補償．所研究的力變形誤差分析方法對一般的坐標測量機也同樣適用．

1 測量機的非剛體數(shù)學(xué)模型

所研究的測量機的結(jié)構(gòu)如圖1所示，共有4個做相對運動的部件．該測量機為θFXZ型[1]坐標測量機，由轉(zhuǎn)臺帶動工件轉(zhuǎn)動，立柱2做X方向移動，滑座3沿立柱2做Z方向移動．3個相對做直線運動的部件依靠滾動直線導(dǎo)軌副聯(lián)結(jié)．

圖1 θFXZ型坐標測量機Fig.1 Coordinate measuring machine with θFXZ structure

如圖2所示，設(shè)滑座在立柱的高度為hz，由該機結(jié)構(gòu)可以看出，由于立柱本身及立柱與底座間聯(lián)結(jié)導(dǎo)軌副的非剛性變形，測頭會在X方向產(chǎn)生位移誤差．這表明測量機在X方向的測量誤差是包括該變形的二元變量函數(shù)，需要建立非準剛體測量機數(shù)學(xué)模型．

圖2 立柱非剛性變形情況Fig.2 Deformation of the non-rigid column

如圖1所示，在底座、立柱與滑座上分別建立直角坐標系OXYZ、O1X1Y1Z1和O2X2Y2Z2．設(shè)在運動初始位置，3個坐標系的原點及X、Y、Z的方向重合[6]．測量時，設(shè)測端在OXYZ坐標系中由點P(xp，yp，zp)分別沿X、Z方向移過x、z至點Q(xq，yq，zq)，則測量誤差Δx= xq-(x+xp)，Δy= yq-yp，Δz= zq-(z+zp)．

為了獲得測量誤差，需要求出點Q在OXYZ中的坐標(xq，yq，zq)[2]，根據(jù)空間矢量轉(zhuǎn)換關(guān)系，有

式中：1OO、12OO為坐標原點平移矢量；1-R為坐標旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣；Δδ為力變形的附加位移；δx(x)為定位誤差；δy(x)和δz(x)為Y、Z方向的直線度誤差；εy(x，z)為引起立柱變形的附加轉(zhuǎn)角；αxz為立柱和底座的垂直度誤差；δx(x，z)和δz(x，z)均為引起立柱變形的X、Z方向附加位移．

將式(2)～式(5)代入式(1)，且將式(1)右端展開，根據(jù)誤差公式

可以得到

以上3式包含了測量機13項準剛體幾何誤差和由于力變形帶來的附加誤差．本文重點討論力變形引起的誤差Δδ．

2 測量機靜力及動力狀態(tài)分析

測量機力變形引起的誤差較為復(fù)雜，需要分別分析靜力和動力情況．為了方便分析計算，建立簡化的力學(xué)模型．將測頭及支架部分看作一個質(zhì)量塊D，其質(zhì)量為mD、質(zhì)心為oD，如圖3所示．

2.1靜力分析

將圖3所示測頭及支架部分進行簡化，求出其綜合質(zhì)量及質(zhì)心．

圖3 測頭及支架部分側(cè)視圖Fig.3 Side view of the probe and bracket

圖4 測頭及支架部分簡化后立柱受力情況Fig.4 Force condition of the column after the simplification of probe and bracket

質(zhì)量塊D由Ai（i=1，2，3，4，5）5部分組成，其質(zhì)心oD的求解方法為

式中：lx為綜合質(zhì)心oD關(guān)于O點在X坐標方向的長度；Vi為各部分體積；ρi為各部分密度；xi為各自質(zhì)心在X方向的坐標．

求得簡化部分D后，首先將D從立柱分離出來單獨分析受力，如圖4(a)所示，以m為參考點，F(xiàn)t為立柱對D施加的拉力，F(xiàn)m?和Fn?是立柱對D施加的水平作用力．有

故

然后對立柱進行靜力變形分析．D的重力G作用到m和n兩點．根據(jù)力學(xué)平衡公式，D在X方向?qū)α⒅淖饔昧τ?個：Fm和Fn. Fm、Fn和mF′、nF′是一對反作用力，如圖4(b)所示．分別求解上述2個力對立柱n點在x方向變形的作用．Fn在點n作用，引起n點的撓度為

Fm在m點作用，在n點引起的撓度由撓曲線方程求解，即

式中：E為材料彈性模量；I為立柱截面慣性矩．Fn和Fm對立柱的作用方向相反．由此求出靜力狀態(tài)下立柱變形引起的n點X方向偏移為

將測量機實際參數(shù)代入式(9)～式(11)，求出mD為16.7,kg，lx為238,mm，l為72,mm．由式(12)求出Fn′和Fm′為±58N．最后由式(13)得到在靜力狀態(tài)下，由于D部分重力的作用，其在立柱不同高度hz處，立柱在X方向產(chǎn)生非剛性變形為0.3～4.5,μm；位置越高，其變形越大．

2.2 動力分析

機器運行時，驅(qū)動力作用于立柱下方，產(chǎn)生X方向的加速度a．立柱上端是沒有任何約束的自由體，由于慣性力的作用，立柱上端會產(chǎn)生X方向的偏擺．D部分和立柱本身分別產(chǎn)生集中慣性力Fp和分布質(zhì)量帶來的均布慣性力q[7]，如圖5所示．

圖5 立柱動態(tài)條件下受力分析Fig.5 Analysis of the column in dynamic situation

求解集中慣性力對立柱變形的作用．顯然pF= -mDa ，設(shè)Fp在n、m兩點的分力為P1和P2，P1=P2=．P1在n點作用，在n點引起的撓度為

P2在m點作用，在n點引起的撓度由撓曲線方程求解，即

綜合P1和P2共同作用，集中慣性力在n點引起的撓度為

均布慣性力q在n點引起的撓度用均布載荷撓曲線方程求解，代入測量機參數(shù)，有

式中：s為立柱截面積；ρ為立柱材料密度；a為立柱水平運動加速度．

綜合式(14)和式(15)，求出立柱做水平運動時，慣性力使立柱產(chǎn)生的力變形誤差，即在X方向上引起的撓度為

設(shè)儀器X軸方向速度為100,mm/s，加速度為100,mm/s2．通過式(16)可以求出D在Z軸hz處，產(chǎn)生的集中慣性力帶來的立柱變形為0.16～2.3,μm，立柱的均布慣性力在不同的高度處引起的變形為0.2～2.9,μm．綜合兩力作用，D在立柱不同高度處，由于慣性力作用產(chǎn)生的X方向的變形為0.36～5.2,μm．

3 力學(xué)仿真及結(jié)果分析

運用有限元分析軟件Ansys，建立測量機有限元模型進行數(shù)值仿真．模擬測量機立柱在靜力條件下由于測頭及支架部分重力以及立柱水平運動時動力作用產(chǎn)生的X方向變形．

圖6(a)描述的是D部分在Z方向hz不同時，立柱在X方向產(chǎn)生的變形．結(jié)果顯示，立柱在X方向的變形為0.5～4.7,μm．

圖6 立柱變形有限元仿真結(jié)果Fig.6 Finite element analysis of the column deformation

動力狀態(tài)仿真如圖6(b)所示，給定立柱水平加速度為100,mm/s2，綜合集中慣性力和均布慣性力的作用，當(dāng)測頭及支架部分hz變化時，立柱在X方向產(chǎn)生的變形為0.5～5.7,μm．

可以看出，仿真結(jié)果與計算結(jié)果很接近．

4 誤差檢定實驗

采用HP雙頻激光干涉儀搭建實驗系統(tǒng)，對上文分析和仿真的關(guān)于測量機在靜力和動力狀態(tài)下立柱變形進行測量，實驗系統(tǒng)如圖7所示．

圖7 激光干涉儀測試實驗系統(tǒng)Fig.7 Detection experiment system with laser interferometer

4.1靜力條件下立柱變形

靜力狀態(tài)下，為了能夠系統(tǒng)、準確地測量立柱在不同hz處相對安裝在底座上光柵尺的水平方向偏移，將測量滑座X方向偏移的距離轉(zhuǎn)化為測量立柱變形產(chǎn)生的繞Y軸的微小角度變化．角度反射鏡隨著滑座上下移動，位于立柱下端的角度干涉鏡保持位置不變，保證不同高度處測量基準的一致．最后，將測量所得角度變化通過計算轉(zhuǎn)化為滑座處X方向水平位移量即可．

基于所設(shè)計的實驗系統(tǒng)，進行了15組相同條件下的實驗，取實驗數(shù)據(jù)的平均值進行處理，如圖8所示．靜力條件下，立柱非剛性變形帶來的最大誤差為10.2,μm，這個值比理論計算和仿真的數(shù)值大．原因在于，此誤差不僅包含了引起立柱彎曲變形的附加位移δx(x，z)，同時還包含了導(dǎo)軌聯(lián)結(jié)處非剛性變形引起的附加轉(zhuǎn)角εy(x，z)．

圖8 立柱及導(dǎo)軌滑塊非剛性變形誤差及補償Fig.8 Error caused by deformation of the column and the joints and error compensation

需要注意的是，附加位移δx(x，z)和附加轉(zhuǎn)角εy(x，z)在引起立柱結(jié)構(gòu)的變形方面是存在差異的．附加位移δx(x，z)是一個關(guān)于測頭及滑座部分在立柱上高度值的3次函數(shù)，其變形曲線可以根據(jù)實驗測得的數(shù)據(jù)進行擬合．對于附加轉(zhuǎn)角εy(x，z)，這個角度變化體現(xiàn)在立柱底部的導(dǎo)軌聯(lián)結(jié)處．本文研究的測量機由于測頭及滑座部分重心偏離支撐中心軸，存在偏轉(zhuǎn)力矩，所以會繞y軸產(chǎn)生角度偏轉(zhuǎn)，也就是附加轉(zhuǎn)角εy(x，z)．在靜力狀態(tài)下，因為立柱的變形和偏擺幅度很小，當(dāng)測頭及滑座部分在立柱的上下位置不同時，對導(dǎo)軌聯(lián)結(jié)處的作用力臂的變化可以忽略．因此附加轉(zhuǎn)角εy(x，z)的值在靜力狀態(tài)下，測頭滑座部分不同高度時，也是基本保持不變的．它對于立柱形變的作用就是要利用式(6)中zεy(x，z)來計算，在不同的高度z處，誤差值不同；且隨著滑座的升高和z值的增大，附加轉(zhuǎn)角εy(x，z)引起的立柱在X方向的偏移值呈線性增大趨勢．

為了將導(dǎo)軌聯(lián)結(jié)處的非剛性變形帶來的誤差從立柱整體變形量中分離出來，設(shè)計實驗，對滾動直線導(dǎo)軌副非剛性引起的立柱偏擺進行測量，實驗原理如圖9所示，在立柱底端加載質(zhì)量塊，其重力引起的扭矩大小與測頭及支架部分引起的立柱扭轉(zhuǎn)扭矩相等．

在hz高度，測量立柱的水平位移，可以得到由于滾動直線導(dǎo)軌副的非剛性引起的立柱偏擺．hz不同，偏擺誤差值范圍為0.2～4.7,μm．這個結(jié)果證明了導(dǎo)軌聯(lián)結(jié)處的非剛性會帶來力變形誤差．

在實際情況中，立柱本身的彎曲變形和導(dǎo)軌聯(lián)結(jié)處的非剛體變形是同時存在的，其綜合作用如圖8所示．根據(jù)實驗結(jié)果，針對附加位移和轉(zhuǎn)角綜合引起的誤差進行補償，在靜力條件下，可以將立柱復(fù)雜變形引起的測量誤差減小到±1,μm以內(nèi)．

圖9 滾動直線導(dǎo)軌副非剛性帶來的立柱偏擺Fig.9 Error caused by deformation of the joints

4.2動力狀態(tài)下立柱變形

動力狀態(tài)下的立柱形變是一個隨時間實時變化的動態(tài)量，相比靜力變形，不易精確測量[8]．針對動力加速度引起的力變形誤差測量，設(shè)計了2組實驗來觀察其動力變形狀態(tài)[9-10]．第1組是D部分在立柱不同hz處，給立柱施加不同的水平加速度使其運動，觀察D部分產(chǎn)生的集中慣性力在不同條件下對立柱變形的作用．第2組是D部分在立柱的hz位置固定，立柱水平運動時，用激光干涉儀測量D部分在X方向?qū)崟r偏擺的位移值．

第1組實驗的測量手段與靜力測量實驗相同，也是通過偏轉(zhuǎn)角度的測量來實現(xiàn)位移測量．給定測量機立柱在X方向不同的加速度值，同時改變D的hz值，觀察集中慣性力由于力臂的變化對立柱變形的影響．通過設(shè)計程序，讓測量機立柱在X方向的兩點之間做往復(fù)直線運動．在立柱運行的同時，激光干涉儀動態(tài)采集數(shù)據(jù)，每0.1,s采集1次．當(dāng)立柱沿直線運動到換向時，立柱的偏擺角度最大，運用激光干涉儀軟件的數(shù)據(jù)分析功能可以得到其不同條件下的最大角度值[11]，通過計算將角度值轉(zhuǎn)化為不同hz處立柱的偏擺位移．

實驗結(jié)果如圖10所示，圖形顯示了由于加速度和集中慣性力力臂的不同而引起的立柱動力變形誤差變化趨勢．

圖10 加速度和hz不同的條件下立柱變形情況Fig.10 Deformation of the column with different motion parameters

第2組實驗是將激光器升高至與D部分同樣的高度，運用激光干涉儀測距原理測量D在X方向的實時力變形誤差．設(shè)定運行速度為200,mm/s，加速度為150,mm/s2，立柱水平加速運行一段距離后停止，觀察立柱在動力加速度作用下的力變形的動態(tài)特性．由圖11可以看出，由于立柱本身慣性力和聯(lián)結(jié)部分的非剛性，當(dāng)立柱加速啟動時，會產(chǎn)生延遲于運動方向的振動；當(dāng)立柱運行停止時，立柱會在目標位置兩側(cè)來回振動，經(jīng)過3,s左右時間，立柱才能相對靜止．為了減小動力加速度引起的力變形對測量誤差的影響，可以在立柱水平運行時盡量使D保持較低的位置，同時優(yōu)化控制參數(shù)，減小啟動和停止時的動力加速度．

圖11 立柱動力狀態(tài)特性Fig.11 Dynamic characteristics of the column

5 結(jié) 語

本文在建立特定結(jié)構(gòu)測量機非剛體誤差補償模型的基礎(chǔ)上，提出了系統(tǒng)分析靜力及動力變形誤差的方法．仿真和實驗結(jié)果證明，該方法分離了靜力和動力加速度帶來的誤差．將實驗檢測得到的靜力變形誤差，代入誤差補償模型，利用測量機軟件進行補償后，測頭及支架部分在Z軸450,mm(200～650,mm)運行范圍內(nèi)，立柱在X方向的靜力變形誤差的最大值由補償前的10.2,μm下降到1.0,μm．實驗得到由動力加速度引起的立柱變形誤差，相對靜力變形誤差更加復(fù)雜和難以精確檢定．其主要來源是各個運動部件及其聯(lián)結(jié)處的弱剛性引起構(gòu)件本身的彈性彎曲和偏擺，以及測量機運動過程中由于各個構(gòu)件慣性力引起的微小振動．可以通過改進測頭運動路徑、調(diào)整控制參數(shù)等手段減小測量機動力變形誤差．該力變形誤差分析、檢定及補償方法對一般的坐標測量機也同樣適用．

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Analysis of Force-Induced Errors of Measuring Machine with θFXZ Structure

CHEN Cheng，QIU Zu-rong，LI Xing-fei，ZHU Jia，XIANG Hong-biao，TAN Wen-bin，ZHAO Cheng-shun
(State Key Laboratory of Precision Measuring Technology and Instrument，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

According to the structural characteristics of the coordinate measuring machine with θFXZ structure，a systematic analysis method of its errors induced by static and dynamic forces has been proposed. Based on the non-rigid body model of the measuring machine，its force-induced measuring errors were theoretically calculated and then measured with a laser interferometer under static deformation and dynamic deformation. Furthermore，with compensation of the measured error induced by static force using the mathematical model，the maximum error of the column deformation in X direction was reduced from 10.2 μm to 1.0 μm. Results of the dynamic deformation obtained from the experiment can be applied to further studiesof force-induced errors of the measuring machine.

coordinate measuring machine；force-induced error；non rigid body model；error compensation

TB92；TB93

A

0493-2137(2010)01-0064-07

2009-04-10；

2009-06-22.

國防預(yù)研基金資助項目(9140A0902210TJW1401)．

陳 誠（1980— ），男，博士研究生，ccchina@163.com.

李醒飛，lixf@tju.edu.cn．