李 明 鮑雷華 陳紅敏

地震易損性分析就是估計(jì)建筑結(jié)構(gòu)在某強(qiáng)度地震作用下,發(fā)生給定破壞等級(jí)的概率。根據(jù)我國三級(jí)抗震設(shè)防原則“小震不壞、中震可修、大震不倒”,將結(jié)構(gòu)的破壞等級(jí)分為安全、中介、失效三級(jí)。其中安全狀態(tài)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)完好和輕微破壞,中介狀態(tài)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的中等破壞,失效狀態(tài)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)嚴(yán)重破壞和倒塌。這里的易損性分析就是計(jì)算不同烈度地震作用下,結(jié)構(gòu)處于安全、中介、失效的概率,通過計(jì)算不同烈度下結(jié)構(gòu)的可靠性向量,得到可靠性矩陣,即為單體結(jié)構(gòu)易損性矩陣。在單體結(jié)構(gòu)易損性矩陣基礎(chǔ)之上,通過概率方法,計(jì)算得到群體建筑易損性矩陣,矩陣中的數(shù)據(jù)表示某強(qiáng)度地震作用下,發(fā)生給定破壞等級(jí)建筑所占抽樣建筑的比例。

1 單體建筑易損性分析

根據(jù)震害的嚴(yán)重程度,將結(jié)構(gòu)在地震作用下可能發(fā)生的破壞等級(jí)劃分為三級(jí),每級(jí)破壞分別對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)、中介狀態(tài)和失效狀態(tài)。文獻(xiàn)[1]將建筑的破壞程度劃分為五級(jí),基本完好(B1)、輕微破壞(B2)、中等破壞(B3)、嚴(yán)重破壞(B4)、倒塌(B5)。用Dj表示第j級(jí)破壞等級(jí),則:

三級(jí)破壞等級(jí)D1,D2和D3分別對(duì)應(yīng)安全、中介、失效三級(jí)工作狀態(tài),這樣地震易損性分析就是計(jì)算結(jié)構(gòu)在某強(qiáng)度地震作用(烈度 i)下,處于安全、中介和失效狀態(tài)的概率:

其中,Pij為強(qiáng)度為I的地震作用下,設(shè)防烈度為Id結(jié)構(gòu)發(fā)生第j級(jí)破壞的條件概率。

通過式(2),可以計(jì)算某一烈度作用下,結(jié)構(gòu)處于安全、中介和失效的概率PR,PM,PF得到結(jié)構(gòu)的可靠性向量[PR,PM,PF]。不同地震烈度可以計(jì)算得到不同的可靠性向量,以可靠性向量為行,可以得到可靠性矩陣 Pi×j:

矩陣Pi×j中的各元素表示在某烈度i地震作用下,結(jié)構(gòu)發(fā)生第j級(jí)破壞的概率,即此矩陣就是三級(jí)破壞等級(jí)對(duì)應(yīng)的易損性矩陣。矩陣的行代表某烈度i地震作用下結(jié)構(gòu)的可靠性向量,顯然Pi1+Pi2+Pi3=1。

2 建筑群體易損性分析

建筑結(jié)構(gòu)群體易損性分析就是確定一個(gè)城鎮(zhèn)、地區(qū)或者企業(yè)范圍內(nèi),按照某種分類標(biāo)準(zhǔn)的同類建筑在某強(qiáng)度地震作用下發(fā)生某種破壞程度的概率。通過群體易損性分析可以反映不同城鎮(zhèn)、地區(qū)建筑物的抗震性能和不同種類建筑的抗震性能。文獻(xiàn)[2]提出了一種根據(jù)計(jì)算平均震害指數(shù)來快速評(píng)估城鎮(zhèn)地區(qū)群體震害方法;高小旺等分別對(duì)城市和企業(yè),以及內(nèi)框架和底框建筑進(jìn)行震害預(yù)測(cè)研究,并提出了基于概率的預(yù)測(cè)方法[3-5]。尹之潛以概率理論為基礎(chǔ),提出了地震災(zāi)害預(yù)測(cè)的動(dòng)態(tài)分析模型,得到了計(jì)算動(dòng)態(tài)震害矩陣和動(dòng)態(tài)損失矩陣的方法,為震害的動(dòng)態(tài)分析打下了理論基礎(chǔ)[6,7]。陳健云等將模糊數(shù)學(xué)中的熵權(quán)法和相似理論引入到建筑群體易損性評(píng)估中,提出了一種適用于震后快速評(píng)估的分析方法,并用于分析砌體結(jié)構(gòu)[8]。

通過分析預(yù)測(cè)單元中抽樣得到的單體結(jié)構(gòu),我們可以得到各個(gè)單體結(jié)構(gòu)的可靠性向量。在計(jì)算群體易損性矩陣的時(shí)候,把每棟建筑的破壞看成是一個(gè)隨機(jī)過程Ai,在某地震烈度作用下,建筑破壞這個(gè)隨機(jī)過程具有三個(gè)基本事件Ai1,Ai2,Ai3,其中Ai1發(fā)生的概率為結(jié)構(gòu)處于安全的概率、Ai2發(fā)生的概率為中介概率、Ai3發(fā)生的概率為失效概率。對(duì)于抽樣得到的N棟建筑在地震作用下的破壞,就相當(dāng)于進(jìn)行N次獨(dú)立試驗(yàn),每次試驗(yàn)的基本事件為Ai1,Ai2,Ai3,根據(jù)各個(gè)事件發(fā)生的概率,就可以求得 N次事件中發(fā)生n次Ai1(或者 Ai2,Ai3)事件的概率,即得到 N棟建筑中有n個(gè)建筑處于安全(或中介、失效)的概率 PR(n/N)(或PM(n/N),PF(n/N)),即為有 n棟建筑發(fā)生D1(D2和D3)級(jí)破壞的概率,這樣我們就可以得到 N棟建筑中發(fā)生D1(D2和D3)級(jí)破壞的概率期望ER(n/N),EM(n/N)和EF(n/N)。根據(jù)離散分布函數(shù)期望的定義:

為了簡化計(jì)算,將可靠性向量蛻化為二維模型[安全,非安全]和[非失效,失效],然后計(jì)算得到 PR(n/N)和 PF(n/N),進(jìn)而根據(jù)式(4),式(5)算出對(duì)應(yīng) D1,D3級(jí)破壞建筑數(shù)的期望,然后通過式(6)得到 EM(n/N)。然后根據(jù)式(7)計(jì)算 i級(jí)地震烈度下,發(fā)生第 j級(jí)破壞的概率。

其中,Rij為所有抽樣建筑在發(fā)生i級(jí)地震烈度作用時(shí),發(fā)生j級(jí)破壞建筑占抽樣建筑總數(shù)的百分比;Eij(n/N)為某烈度 i地震作用下,發(fā)生 j級(jí)破壞建筑數(shù)的期望值,按式(4),式(5)和式(6)計(jì)算。根據(jù)式(7),可以得到群體建筑的易損性矩陣:

矩陣中的每個(gè)元素為在某烈度地震作用下,發(fā)生某級(jí)破壞建筑的數(shù)量與抽樣建筑總數(shù)的比值。

3 計(jì)算實(shí)例

考慮地震烈度為7度,抽樣建筑數(shù)量為5棟,其中每棟建筑在烈度7度條件下的可靠性向量分別為[0.85,0.11,0.04],[0.63,0.29,0.08],[0.83,0.10,0.07],[0.79,0.15,0.06],[0.75,0.20,0.05]。將可靠性向量蛻化為二維模型[安全,非安全],相應(yīng)的概率為[0.85,0.15],[0.63,0.37],[0.83,0.17],[0.79,0.21],[0.75,0.25];[非失效,失效]相應(yīng)的概率為[0.96,0.04],[0.92,0.08],[0.93,0.07],[0.94,0.06],[0.95,0.05]。根據(jù)MATLAB編程計(jì)算可以得到 PR(n/N)(n=1～5)和PF(n/N)(n=1～5),求得 ER(n/N)和 EF(n/N),然后根據(jù)式(6),可以得到 EM(n/N)(n=1～5)。具體計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 有 n棟建筑發(fā)生1級(jí),3級(jí)破壞的概率

根據(jù)表1可以得到,ER(n/N)=3.85,EF(n/N)=0.3,根據(jù)式(6),有:

同理,根據(jù)其他烈度條件下的可靠性向量,可以計(jì)算出相應(yīng)其他烈度條件下的條件概率Rij,進(jìn)而可以得到某種類建筑群體易損性矩陣 Mi×j。

4 結(jié)語

在可靠性向量理論基礎(chǔ)之上,提出了可靠性矩陣,通過計(jì)算某城市或者區(qū)域抽樣單體結(jié)構(gòu)在不同烈度地震作用下的可靠性向量,得到結(jié)構(gòu)的可靠性矩陣,即易損性矩陣。在單體結(jié)構(gòu)易損性評(píng)估的基礎(chǔ)之上,結(jié)合概率理論,形成了同類型建筑群體易損性評(píng)估方法,通過這個(gè)方法可以得到群體建筑易損性矩陣。這個(gè)方法是建立在可靠性向量理論和概率理論基礎(chǔ)之上,計(jì)算簡單方便,適用于各類結(jié)構(gòu)抗震性能的快速評(píng)估,為單體建筑的抗震性能評(píng)價(jià)、抗震加固以及城市、地區(qū)的綜合抗震能力評(píng)估等提供決策數(shù)據(jù)。

[1] 建設(shè)部抗震辦公室.GB J11-89建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范統(tǒng)一培訓(xùn)教材[M].北京:地震出版社,1992.

[2] 陳有庫.城鎮(zhèn)地區(qū)群體震害預(yù)測(cè):快速法[D].哈爾濱:中國地震局工程力學(xué)研究所碩士學(xué)位論文,1990.

[3] 李 荷,高小旺.城市和企業(yè)地震影響災(zāi)害預(yù)測(cè)及減災(zāi)對(duì)策[M].北京:中國鐵道出版社,1997.

[4] 陳德彬,高小旺.內(nèi)框架建筑震害預(yù)測(cè)方法[A].第三屆全國地震工程會(huì)議論文集[C].1990:1821-1826.

[5] 高小旺,鐘益村.底層全框架磚房抗震能力評(píng)定和震害預(yù)測(cè)方法[A].第三屆全國地震工程會(huì)議論文集[C].1990:1815-1820.

[6] 尹之潛.地震災(zāi)害及損失預(yù)測(cè)方法[M].北京:地震出版社,1996.

[7] 尹之潛.地震災(zāi)害損失預(yù)測(cè)的動(dòng)態(tài)分析模型[J].自然災(zāi)害學(xué)報(bào),1994,3(2):72-79.

[8] 陳健云,畢可為.一種適于震后快速評(píng)估的群體易損性分析方法[J].震災(zāi)防御技術(shù),2009,4(2):174-181.