一種變步長最小均方算法

王才能，裴承鳴，劉東來，王懷文

(西北工業(yè)大學(xué)動力與能源學(xué)院，西安710072)

1 引言

自適應(yīng)濾波在沒有先驗知識的情況下具有跟蹤輸入統(tǒng)計量隨時間變化的能力，是信號與信息處理的一個重要手段。在系統(tǒng)辨識、自適應(yīng)控制、通信、聲納和雷達(dá)等技術(shù)領(lǐng)域均已得到成功運用。1960年，Widrow和Hoff提出了計算簡單、穩(wěn)定性好、易于實現(xiàn)的最小均方算法(LMS)，隨即就成為應(yīng)用最為廣泛的自適應(yīng)濾波算法。LMS算法基于最速下降原理，將隨機梯度用瞬時梯度代替，沿著權(quán)值梯度的負(fù)方向達(dá)到最優(yōu)權(quán)值，實現(xiàn)均方誤差最小。自適應(yīng)濾波器的原理見圖1，計算公式為:

其中，d(n)是期望信號，X(n)是輸入信號矢量，W(n)是濾波器的權(quán)值矢量，e(n)是誤差，μ是收斂步長參數(shù)。

最小均方算法雖然有著顯著的優(yōu)點，但在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的兼顧方面卻存在難以調(diào)和的問題。收斂步長的增加可以改善收斂速度，但穩(wěn)態(tài)誤差也隨之增大。若為減小穩(wěn)態(tài)誤差而減小收斂步長，則收斂速度會降低。為解決這一矛盾，人們提出了很多改進(jìn)形式，變步長最小均方算法便是其中具有代表性的一類。文獻(xiàn)［1］提出了使變步長參數(shù)μ正比于誤差e(n)，但性能并不理想。文獻(xiàn)［2］給出了一種稱為S函數(shù)的變步長LMS算法(SVSLMS)，其步長調(diào)整原則是:在初始收斂階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，步長比較大，以便保持較快的收斂速度和對時變系統(tǒng)的跟蹤速度;在算法趨于收斂后，無論輸入噪聲如何變化，都應(yīng)采用較小的步長以獲得更小的穩(wěn)態(tài)誤差。但在誤差接近零時，這種算法的步長變化劇烈，可能導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差增大。為此，文獻(xiàn)［3］對SVSLMS做了進(jìn)一步的改進(jìn)。文獻(xiàn)［4－6］則分別基于箕舌線、雙曲正切函數(shù)和反正切函數(shù)提出了相應(yīng)的變步長LMS算法，在一定程度上緩解了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。

圖1 自適應(yīng)濾波器的原理

2 變步長最小均方算法

現(xiàn)有的一些變步長LMS算法(文獻(xiàn)［2－6］所提算法)在處理補償與誤差的關(guān)系方面采用了非線性函數(shù)，而這些函數(shù)的共同特點包括:偶函數(shù)、有界(自變量趨于無窮時，函數(shù)值為常數(shù);自變量為零時，函數(shù)值為零)、是增函數(shù)(自變量非負(fù)時)。

在對已有算法研究和分析的基礎(chǔ)上，下面提出一種新的變步長算法，具體原理如下:

其中，f(z)=a{1n(2)－1n(1+exp(－bz))}是一個有界非線性函數(shù)，其隨參數(shù)a和b的變化特性分別見圖 2、圖 3。當(dāng) Z→∞ 時，f(z)→a1n2≈0.6391a，這樣保證了步長在一定范圍內(nèi)變化，不會導(dǎo)致結(jié)果發(fā)散。當(dāng)a，b不變時，步長隨著誤差的增加而增加，符合文獻(xiàn)［2］提出的變步長原則。輸入信號反映了當(dāng)前的信息，把它引入到變步長中可提高算法的跟蹤性能。

為滿足最小均方算法的穩(wěn)定條件:1＜μ＜1/λmax，要求 1 ＜ μ(n)＜1/λmax，則有 1/1n2 ＜ a ＜λmax×1n2，。當(dāng) a增大，步長會增大，收斂速度加快，穩(wěn)態(tài)誤差減小。a的具體值需要在實驗中確定。參數(shù)b用來調(diào)整變步長函數(shù)的形狀以此來控制步長變化的速度。

(a=2，從下到上 b=0.01，b=0.1，b=0.5，b=1)

(b=0.3，從下到上 a=0.05，a=0.1，a=0.5，a=1)

3 計算機仿真實驗

考慮AR過程u(n)，其差分方程為:

其中，a1= －0.1，a2=0.8。v(n)是均值為零，方差為0.27的加性白噪聲。

采用二階線性自適應(yīng)預(yù)測器來估計AR參數(shù)a1，a2。采樣點數(shù)為500個，為了提高統(tǒng)計置信度共進(jìn)行100次獨立實驗。

圖4是分別采用上面的新算法(a=0.15，b=0.7)與固定步長(μ=0.025)LMS算法得到的 AR參數(shù)變化曲線。可以看出，新算法的收斂速度快，穩(wěn)態(tài)誤差小。

圖5是分別采用上面的新算法(a=0.15，b=0.7)與文獻(xiàn)［3］提出的變步長LMS算法(α=1，β=0.05)得到的AR參數(shù)變化曲線?？梢钥闯?，新算法在收斂速和穩(wěn)態(tài)誤差等性能方面均優(yōu)于文獻(xiàn)［3］算法。

4 結(jié)束語

在研究多種變步長LMS算法的基礎(chǔ)上，通過引入非線性函數(shù)提出了一種新的變步長LMS算法。分析了參數(shù)的選取方法，并借助計算機仿真和對比試驗驗證了新算法的主要性能。為對于收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差均要求較高的自適應(yīng)建模和跟蹤控制提供了一種新的計算方法。

［1］Yasukawa H，Shimada S，F(xiàn)urukrawa I，et al.Acoustic echo canceller with high speech quality［C］//IEEE ICASSP，1987:2125－2128.

［2］覃景繁，歐陽景正.一種新的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法［J］.據(jù)采集與處理，1997，12(3):171 －174.

［3］高鷹，謝勝利.一種變步長LMS自適應(yīng)濾波算法及分析［J］.電子學(xué)報，2001，29(8):1094 －1097.

［4］鄧江波，侯新國，吳正國.箕舌線的變步長LMS自適應(yīng)算法［J］.采集與處理，2004，19(3):282 －285.

［5］鄭莎莎.智能天線變步長最小均方算法的研究與仿真［D］.長春:吉林大學(xué)，2007.

［6］朱斌，馬艷.一種新的變步長LMS算法分析［J］.計算機仿真，2008，25(9):93 －95，154.