黃鶴松

(江蘇省啟東中學(xué),江蘇啟東 226222)

在教與學(xué)的關(guān)系中,人們經(jīng)常提到“一杯水”與“一桶水”的問(wèn)題.單擺是振動(dòng)教學(xué)中一個(gè)重要內(nèi)容.下面筆者以單擺教學(xué)為例談?wù)劷處煈?yīng)有怎樣的“一桶水”.

1 教師的“一桶水”應(yīng)廣而多

我們從知識(shí)的廣度上暢想一下與單擺有關(guān)的內(nèi)容.

一根不可伸長(zhǎng)的不計(jì)質(zhì)量的繩一端固定,另一端系一質(zhì)點(diǎn)便形成一個(gè)理想的單擺(也叫數(shù)學(xué)擺).

單擺在擺角小于5°(新教材放寬到 10°)情況下所做的無(wú)阻尼振動(dòng)可以看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),擺球可看作為諧振子.

單擺長(zhǎng)時(shí)間的擺動(dòng),其擺動(dòng)平面將會(huì)緩慢轉(zhuǎn)動(dòng),這是因?yàn)閿[的運(yùn)動(dòng)可以超然于地球的自轉(zhuǎn),但懸掛擺的支架一般要帶動(dòng)它參與地球的自轉(zhuǎn).150多年前的傅科擺實(shí)驗(yàn)已經(jīng)讓人們體會(huì)到了地球的自轉(zhuǎn).由于我們討論的單擺擺動(dòng)時(shí)間較短,故不考慮單擺擺動(dòng)平面的緩慢轉(zhuǎn)動(dòng).

單擺的等時(shí)性由科學(xué)家伽利略首先發(fā)現(xiàn).

單擺的周期公式由荷蘭科學(xué)家惠更斯推導(dǎo)出來(lái),他還設(shè)計(jì)了世界上第一個(gè)擺鐘,并申請(qǐng)了專利.因此從某種意義上講,我們大量工廠所生產(chǎn)的擺鐘產(chǎn)品應(yīng)向惠更斯這位科學(xué)家支付專利費(fèi).

從單擺的等時(shí)性聯(lián)想到時(shí)間及單位本征時(shí)間的定義.古人以脈搏跳動(dòng)來(lái)定義單位時(shí)間,也有以滴水間隔為時(shí)間單位,更有利用漏沙進(jìn)行計(jì)時(shí).各種記時(shí)方法有一個(gè)共同點(diǎn):找一個(gè)恒定的時(shí)間間隔來(lái)定義單位時(shí)間.但上述這些計(jì)時(shí)方法中的時(shí)間間隔都不夠恒定.隨著科學(xué)的發(fā)展,近代人們以地球自轉(zhuǎn)時(shí)間作為一個(gè)恒定的時(shí)間間隔,這一記時(shí)方法比“脈搏”、“滴水”及“漏沙”精確多了.但后來(lái)人們又發(fā)現(xiàn),由于空氣等一些因素的存在,地球自轉(zhuǎn)的周期在逐漸減小,地球自轉(zhuǎn)的不均勻性使得天文方法所得到的時(shí)間(世界時(shí))精度只能達(dá)到10-9s,無(wú)法滿足20世紀(jì)中葉社會(huì)經(jīng)濟(jì)各方面的需求.隨著人們對(duì)記時(shí)精度要求的不斷提高,一種更為精確和穩(wěn)定的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)運(yùn)而生,“原子鐘”以一定數(shù)量的原子精細(xì)躍遷(到目前為止所能找到的最恒定時(shí)間間隔)為恒定時(shí)間間隔而確定單位本征時(shí)間“秒”.

……

新課程要求教師的知識(shí)面是寬廣的,才能在教學(xué)中做到信手拈來(lái),同時(shí)也能對(duì)學(xué)生起到引領(lǐng)示范的作用,引導(dǎo)學(xué)生走向知識(shí)的海洋.

2 教師的“一桶水”應(yīng)精而深

我們從知識(shí)的深度上拓展一下與單擺有關(guān)的內(nèi)容.高中階段在單擺的教學(xué)中有一類擺鐘走時(shí)問(wèn)題,有難度.筆者認(rèn)為解決該類問(wèn)題應(yīng)找準(zhǔn)切入點(diǎn),注意其特性.這個(gè)切入點(diǎn)便是擺鐘的顯示時(shí)間.

當(dāng)一個(gè)擺鐘做好以后,機(jī)械裝置中的傳動(dòng)部分已不可能發(fā)生變化.換句話說(shuō)同一擺鐘的機(jī)械傳動(dòng)特性不會(huì)改變.

擺鐘所顯示的時(shí)間與擺鐘振動(dòng)的次數(shù)成正比,令鐘擺一次全振動(dòng)的顯示時(shí)間為t0秒,則鐘擺振動(dòng)n次顯示時(shí)間為

同樣的道理擺鐘走過(guò)的真實(shí)時(shí)間也與鐘擺振動(dòng)的次數(shù)成正比,令鐘擺一次全振動(dòng)的真實(shí)時(shí)間為 T0秒,則擺鐘振動(dòng)n次真實(shí)時(shí)間為

這兩個(gè)式子便是解決擺鐘走時(shí)快慢問(wèn)題關(guān)鍵.下面通過(guò)例子具體討論 .

若已知北京的重力加速度 g北=9.801 m/s2,南京的重力加速度 g南=9.795 m/s2,把在北京每小時(shí)慢10 s的擺鐘拿到南京,問(wèn)該鐘在南京一晝夜的走時(shí)誤差是多少?

先討論“北京”,設(shè)該鐘擺在北京做一次全振動(dòng)的時(shí)間為 T北,該擺鐘做一次全振動(dòng)的顯示時(shí)間為 t0.

根據(jù)題中所述,“北京鐘”真實(shí)過(guò)了 3 600 s,該鐘顯示(3 600-10)s,則有

再討論“南京”,設(shè)該鐘擺在南京做一次全振動(dòng)的時(shí)間為 T南,該擺鐘做一次全振動(dòng)的顯示時(shí)間為 t0(此值永遠(yuǎn)不變).并設(shè)該擺鐘在南京每 3 600 s走時(shí)誤差為Δt.則有

又如一鐘擺擺長(zhǎng)為 L1時(shí)在 t時(shí)間內(nèi)走時(shí)快了 Δt,擺長(zhǎng)為L(zhǎng)2時(shí)在t時(shí)間內(nèi)走時(shí)慢了Δt,問(wèn)擺長(zhǎng)多長(zhǎng)時(shí)該擺鐘走時(shí)正確?

也可用上面所述的公式解題.

先討論“快鐘”,并設(shè)該擺鐘做一次全振動(dòng)的時(shí)間為T1,該擺鐘做一次全振動(dòng)的顯示時(shí)間為 t0.則有該“快鐘”在t時(shí)間內(nèi)的顯示時(shí)間為

再討論“慢鐘”,并設(shè)該擺鐘做一次全振動(dòng)的時(shí)間為T2,該擺鐘做一次全振動(dòng)的顯示時(shí)間為 t0(此值永遠(yuǎn)不變).則有該“慢鐘”在 t時(shí)間內(nèi)的顯示時(shí)間為

最后討論“走時(shí)正確鐘”,顯然有顯示時(shí)間等于正確時(shí)間,即

上述兩個(gè)例子有一定深度,但未超出教學(xué)大綱.對(duì)于重點(diǎn)高中理科班的學(xué)生而言屬于需要掌握的內(nèi)容,但如在新課階段立即引入,不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,筆者建議放在高三復(fù)習(xí)階段加以拓展.

下面關(guān)于單擺的內(nèi)容超出了物理教學(xué)大綱.

惠更斯所設(shè)計(jì)的擺鐘鐘擺的每個(gè)部分都有質(zhì)量,不是一個(gè)理想的單擺,而是一個(gè)復(fù)擺.我們可以簡(jiǎn)化為如圖1所示的情形,即由一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的剛性輕桿,在桿的外端點(diǎn)和桿的中點(diǎn)放兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球,組合成的復(fù)擺做振幅很小的自由振動(dòng).下面試著推導(dǎo)一下該復(fù)擺的振動(dòng)周期.

圖1

復(fù)擺這一物理模型屬于大學(xué)普通物理學(xué)的內(nèi)容,由于中學(xué)階段知識(shí)的局限性,不能直接求解.但我們可以利用“等效法”,將其轉(zhuǎn)化成中學(xué)生熟悉的單擺模型,求出該復(fù)擺的等效擺長(zhǎng),便可求解周期.

設(shè)想有一擺長(zhǎng)為 L0的輔助單擺,其擺球的質(zhì)量為 M,與復(fù)擺周期相等,兩擺分別從擺角α處從靜止開(kāi)始擺動(dòng),擺動(dòng)到與豎直方向夾角為β時(shí),具有相同的角速度ω,對(duì)兩擺分別應(yīng)用機(jī)械能守恒定律列出方程.

對(duì)復(fù)擺列出機(jī)械能守恒方程有

對(duì)輔助單擺,也列出機(jī)械能守恒方程

(1)式除以(2)式,得等效擺長(zhǎng)

故復(fù)擺的周期為

由以上分析可知,鐘擺的擺雖然是復(fù)擺,但周期規(guī)律仍可用等效擺長(zhǎng)的單擺周期公式處理.

新課程要求教師對(duì)專業(yè)知識(shí)的掌握是精深的.我們教師只有具備了精深的專業(yè)知識(shí),才能使教學(xué)過(guò)程充滿睿智,才能引領(lǐng)我們的學(xué)生進(jìn)入學(xué)科高端,為國(guó)家培養(yǎng)基礎(chǔ)研究人才.