茆 芹

(滁州學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽滁州239000)

談數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的積極作用

茆 芹

(滁州學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽滁州239000)

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中,經(jīng)常由于純粹的理論分析、枯燥的課堂學(xué)習(xí)以及“數(shù)學(xué)無用論”的影響,造成學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性降低、教學(xué)效果不理想的狀況。通過在教學(xué)過程中引入數(shù)學(xué)史料,對改變這種狀況可以起到很好的積極作用。

數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)分析教學(xué);滲透式

0 引言

《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)系新生在第一學(xué)期所開設(shè)的課程,它與高等代數(shù)都是數(shù)學(xué)系的基礎(chǔ)課。對數(shù)學(xué)分析掌握程度的高低,將直接影響到數(shù)學(xué)系很多諸如實變函數(shù),復(fù)變函數(shù)等課程的學(xué)習(xí)。由于它在第二章就用抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摩耪Z言描述極限,而學(xué)生對這種方式很難直觀理解,再加上眾多的理論及證明,滋長了學(xué)生的畏難情緒,這些都增加了數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)難度,使得很多學(xué)生只是消極地學(xué)習(xí)以應(yīng)付考試,對其中各種概念的本質(zhì)及其關(guān)聯(lián)以及數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵很難真正體會。如何改變這種狀況,將數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)分析教學(xué)中不失為一個積極有效的方法,它對數(shù)學(xué)教學(xué)的積極作用主要體現(xiàn)在以下四個方面。

1 有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)分析是一門經(jīng)過千錘百煉的課程,它的言語精煉、概念抽象、推理嚴(yán)密的特點就已經(jīng)讓學(xué)生望而生畏了,再加上眾多的理論證明和繁雜的計算更增加了學(xué)習(xí)的枯燥單調(diào)性,因此在教學(xué)中適時地穿插一些數(shù)學(xué)史料,可以活躍課堂氣氛,吸引學(xué)生的注意力,提高他們的學(xué)習(xí)興趣。例如,在講到N-L公式的時候,有的學(xué)生就會問:為什么一個公式會用兩個人的名字命名?這時就可以給他們講數(shù)學(xué)史上著名的微積分創(chuàng)立優(yōu)先權(quán)問題,它涉及到2個數(shù)學(xué)巨人:牛頓和萊不尼茲。實際上,他們是各自獨立地完成了微積分的創(chuàng)立,只不過牛頓先于萊不尼茲創(chuàng)立,而萊不尼茲先于牛頓發(fā)表。牛頓從物理學(xué)出發(fā),運用了集合方法研究微積分,應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學(xué);萊不尼茲則從幾何問題出發(fā),運用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念,得出了運算法則,其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。同時萊不尼茲還為微積分精心選擇了符號,如引入了dx表示x的微分,∫表示積分,∫是“sum”的首字母s的拉長,d與∫體現(xiàn)了微分與積分的“差”與“和”的本質(zhì),這些符號被普遍接受并沿用至今,進(jìn)一步促進(jìn)了微積分的發(fā)展。通過講解,不僅可以使學(xué)生了解N-L公式的由來和微積分符號的意義,在記住這些公式符號的同時,也記住了這些大數(shù)學(xué)家們的成果,對所學(xué)知識有了更深的理解,還能刺激學(xué)生的頭腦,改變沉悶的課堂氣氛,讓他們積極地吸收教師所教授的知識。

2 有助于學(xué)生深刻認(rèn)識到數(shù)學(xué)分析的重要性

對學(xué)生做一些簡單的數(shù)學(xué)史介紹,可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)分析對于人類文明的進(jìn)步和數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展是至關(guān)重要的。一方面,數(shù)學(xué)的萌芽與發(fā)展都離不開人類的生活和生產(chǎn)實踐,人類歷史上先后發(fā)生的三次巨大的產(chǎn)業(yè)革命都與數(shù)學(xué)分析有著直接或者間接的關(guān)系,尤其到了本世紀(jì),數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到人們生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域中去了。另一方面,從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來看,正是由于Weierstrass對分析學(xué)理論進(jìn)行了嚴(yán)格化,才逐漸發(fā)展了集合論、復(fù)變函數(shù)論,微分方程、解析數(shù)論等新的數(shù)學(xué)分支,從而使數(shù)學(xué)分析成為眾多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ),成為高校數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課;同時,由于微積分的廣泛應(yīng)用,使高等數(shù)學(xué)成為理工經(jīng)濟(jì)類專業(yè)的必修基礎(chǔ)課,并成為考研的必考課之一。通過這兩方面的了解,可以使學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)分析的重要性,讓大部分學(xué)生產(chǎn)生主動學(xué)習(xí)的動力。

3 有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在所有高校的數(shù)學(xué)分析教材中,知識安排的順序都是極限、連續(xù)、微分、積分,這是因為這些知識之間的邏輯關(guān)系,但這也讓學(xué)生理所當(dāng)然地認(rèn)為它們創(chuàng)立的先后順序也是一樣的,并且在創(chuàng)立之初就是這么的嚴(yán)格。實際上,這些理論的創(chuàng)立和嚴(yán)格化是經(jīng)過多少代數(shù)學(xué)家不懈的努力才形成的,其中蘊涵著一種理性和探索精神,它體現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們對已有數(shù)學(xué)理論的繼承、推廣、批判、質(zhì)疑、創(chuàng)新等思維方式上。如果在教學(xué)中能讓學(xué)生了解發(fā)現(xiàn)問題、認(rèn)識問題、解決問題的這一過程,那么學(xué)生就能體會到一種真正的理性思維過程,學(xué)習(xí)其中的思維方式。這種學(xué)習(xí)不僅可以使他們對所學(xué)知識能更進(jìn)一步的理解和掌握,還可以提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對今后的學(xué)習(xí)和研究工作都是非常重要的。

4 有助于激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和愛國熱情

數(shù)學(xué)分析課本中所提到的數(shù)學(xué)家如萊不尼茲、牛頓、柯西等都是外國人,幾乎沒有出現(xiàn)中國人的名字,看起來好像中國人在數(shù)學(xué)發(fā)展史上沒什么建樹。實際上,中國古代數(shù)學(xué)有著光輝的傳統(tǒng),很多重要的結(jié)論的發(fā)現(xiàn)比西方要早很多年。例如公元5世紀(jì)祖暅成功的運用“祖氏原理”推導(dǎo)出了球體積的計算公式,而這一原理在西方被稱為“卡瓦列利原理”,于1635年由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利提出,它對微積分的建立有重要影響,諸如此類的例子當(dāng)然還有很多比如劉徽的割圓術(shù),莊子的極限思想等。雖然從明代中國數(shù)學(xué)的發(fā)展開始落后于西方,但是自20世紀(jì)初,中國數(shù)學(xué)家們就開始了振興中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的艱難歷程,并陸續(xù)出現(xiàn)了一批在國際上都有影響力的數(shù)學(xué)家們,如蘇步青、熊慶來、華羅庚、陳省身、吳文俊等。經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家們的不懈努力,中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)從無到有的發(fā)展起來,中國數(shù)學(xué)發(fā)展水平與國際地位也在不斷提高。

通過這樣的介紹,不僅可以使學(xué)生了解中國數(shù)學(xué)的地位,還會激發(fā)學(xué)生們的愛國熱情和民族自豪感,立下為中國數(shù)學(xué)趕超世界先進(jìn)水平而努力學(xué)習(xí)的志向。

如何將數(shù)學(xué)史料與數(shù)學(xué)分析教學(xué)較好的結(jié)合在一起呢?一般采用滲透的方式,即根據(jù)教學(xué)內(nèi)容,適時恰當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生介紹一些相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識,在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時,可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握所學(xué)的知識。下面以無窮級數(shù)為例談?wù)剶?shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中應(yīng)用。

第一、在介紹概念時適時融入概念的思想起源、發(fā)展簡介,能加深學(xué)生對概念的理解和掌握。比如在講解數(shù)項級數(shù)及其收斂發(fā)散的概念時,可以借由芝諾悖論向?qū)W生闡述級數(shù)蘊涵的無窮思想;此外,還可以穿插些數(shù)學(xué)史上的小故事幫助學(xué)生加深印象,比如早期數(shù)學(xué)家們都是憑直覺判斷級數(shù)是收斂的,并沒有嚴(yán)格的定義和判斷條件,是柯西對無窮級數(shù)做了嚴(yán)格化處理,給出了級數(shù)收斂的定義和收斂條件,當(dāng)柯西的研究結(jié)果一公布,當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家拉普拉斯急忙趕回家檢查他的五大卷《天體力學(xué)》里的級數(shù),結(jié)果發(fā)現(xiàn)他所用的級數(shù)幸好都是收斂的。

第二、在講解定理公式時適時融入相關(guān)的數(shù)學(xué)史料,可以讓學(xué)生了解該定理公式的發(fā)現(xiàn)過程、思想及其應(yīng)用,同時也知道它們的發(fā)現(xiàn)并不是一帆風(fēng)順的,從不嚴(yán)格到嚴(yán)格化是經(jīng)歷的很多數(shù)學(xué)家的努力才實現(xiàn)的。以泰勒公式為例,布魯克·泰勒于1715年在其著作《正的和反的增量方法》中陳述了他在1712年就已經(jīng)得到的泰勒定理,其中的公式就相當(dāng)于現(xiàn)代形式的泰勒公式,這一公式使得任意單變量函數(shù)展為冪級數(shù)成為可能,促進(jìn)了微積分的進(jìn)一步發(fā)展。不過泰勒的證明并不嚴(yán)謹(jǐn),也沒有考慮級數(shù)的收斂性,影響不大。后來由于歐拉、拉格朗日和柯西等數(shù)學(xué)家的努力才彌補了這些缺陷,泰勒公式的重要性日益顯現(xiàn),被稱為微分學(xué)基本定理。泰勒公式在X=0處的特殊形式是由麥克勞林重新得到的,因此亦稱為麥克勞林級數(shù)。

第三、在展示所學(xué)知識的應(yīng)用時適時融入數(shù)學(xué)史,可以幫助學(xué)生理解其應(yīng)用方向,提高對所學(xué)知識的應(yīng)用能力,讓他們了解所學(xué)的每一知識都有其存在價值。以級數(shù)的應(yīng)用為例,1)在微積分的早期研究中,數(shù)學(xué)家們利用有些函數(shù)如指數(shù)函數(shù)的級數(shù)可以非常有效地求出他們的積分和微分,而從它們本身來處理原本很困難的;2)可以利用泰勒級數(shù)來計算一些特殊的數(shù),如:π、e、歐拉常數(shù)r等;3)利用泰勒級數(shù)來求復(fù)雜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),等等。

第四、在做章節(jié)小結(jié)時,通過給學(xué)生布置一些與所學(xué)知識相關(guān)的數(shù)學(xué)史料查閱工作,除了可以提供學(xué)生收集資料、獨立思考和學(xué)習(xí)的機會以外,還能幫助他們更好地理解和掌握所學(xué)知識,了解它們在數(shù)學(xué)分析這門課程中的地位與用途。

[1] 李文林.數(shù)學(xué)史教程[M].北京:高等教育出版社,2000.

[2] 曾友良.論數(shù)學(xué)史教育功能與措施[J].湖南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)報,2003(4):66-68.

[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析第三版[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4] 發(fā)掘數(shù)學(xué)史教育功能,促進(jìn)數(shù)學(xué)教育發(fā)展——第一屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議綜述[J].自然辨證法雜志,2005(4): 108-109.

A Positive Role History of Mathematics Plays in Mathematical Analysis Teaching

M ao Qin
(Department of Mathematics,Chuzhou College,Chuzhou 239000,China)

M athematical analysis teaching often results in poor teaching effect and less learning enthusiasm because of teaching by simp ly making theoretical analysis,w here learning can be very boring,and the effect of the w rong idea"No use fo r math"on the learning.Such unsatisfacto ry teaching effect can be changed greatly by introducing some historicalmaterials of mathematics in the course of teaching.

history of mathematics;mathematical analysis teaching;osmosis

book=1994,ebook=49

O13

A

1673-1794(2010)02-0100-02

茆芹(1977-),女,滁州學(xué)院數(shù)學(xué)系講師。

滁州學(xué)院校級教研項目(2008jy044)

2009-12-11