張清河

(三峽大學(xué)理學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

1.引 言

逆散射研究廣泛應(yīng)用于地震學(xué)、目標(biāo)識(shí)別、探地雷達(dá)(GPR)、醫(yī)學(xué)成像、地球物理觀測(cè)和一些無損檢測(cè)。然而,由于問題本身固有的非線性特征和不適定性,使得逆散射研究顯得十分困難,特別是當(dāng)目標(biāo)的電尺寸可與入射波長相比擬或目標(biāo)是介質(zhì)體時(shí)。過去十年,逆散射研究得到了極大的關(guān)注,特別是在微波成像和目標(biāo)重構(gòu)等領(lǐng)域。有兩類問題經(jīng)常引起人們的興趣,第一類是確定目標(biāo)的位置和外部邊界,第二類是定性或定量地重構(gòu)目標(biāo)的電磁參數(shù)(如相對(duì)介電常數(shù)、電導(dǎo)率等)。許多算法及技術(shù)被應(yīng)用于該領(lǐng)域,傳統(tǒng)的優(yōu)化迭代方法,如Born迭代、變形Born迭代、New ton-antorovitch算法、模擬退火、遺傳算法等[1-5]被提出并成功地應(yīng)用于電磁逆散射問題,但由于在每次迭代中都要計(jì)算一次正散射問題,耗費(fèi)了大量的計(jì)算資源和計(jì)算時(shí)間,不利于對(duì)目標(biāo)的實(shí)時(shí)逆散射研究。

近年來,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到了極大的關(guān)注并被成功地應(yīng)用到逆散射問題,這些應(yīng)用主要集中在靜電場(chǎng)問題[6]、不同類型土壤和植物的識(shí)別[7]、雨及雪花參數(shù)的分析[8-9]及目標(biāo)的分類[10]等方面。由于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)有力的學(xué)習(xí)能力和非線性映射能力,它不需要任何先驗(yàn)公式就可以通過學(xué)習(xí)或訓(xùn)練自動(dòng)總結(jié)出數(shù)據(jù)間的函數(shù)關(guān)系,許多用傳統(tǒng)信息處理方法無法解決的問題采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)取得了良好的效果。本文將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這一人工智能技術(shù)應(yīng)用于介質(zhì)圓柱體逆散射問題,經(jīng)過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練,建立了介質(zhì)圓柱體逆散射模型,并以此模型重構(gòu)了已知探測(cè)范圍內(nèi)的介質(zhì)圓柱體的半徑、相對(duì)介電常數(shù)及電導(dǎo)率。

2.電磁逆散射問題描述

圖1描述了一個(gè)典型的電磁逆散射物理系統(tǒng)。自由空間有一未知幾何(如半徑)和電磁(如相對(duì)介電常數(shù)、電導(dǎo)率)參數(shù)的目標(biāo),分布于有限區(qū)域V。一給定時(shí)諧電磁波Einc(r)(時(shí)諧因子ejωt)入射該散射體目標(biāo),由于電磁感應(yīng)和極化作用,將在全空間激發(fā)二次場(chǎng),即散射場(chǎng)Escatt(r)?？杀硎緸?/p>

式中:r表示場(chǎng)點(diǎn);r′∈V表示源點(diǎn);k、k0分別表示介質(zhì)和自由空間的波數(shù);O(r)=k20[ε～r(r)-1]稱為目標(biāo)函數(shù)或?qū)Ρ榷群瘮?shù);E(r′)為介質(zhì)體內(nèi)的總場(chǎng);

圖1 電磁逆散射物理模型

如果考慮二維散射體目標(biāo),在TM極化平面波的照射下,式(1)可簡(jiǎn)化為

從方程(1)、(3)可以發(fā)現(xiàn),目標(biāo)函數(shù)到散射場(chǎng)的映射關(guān)系是非線性的,這是由于二次散射源(散射體本身)各部分的相互作用造成的,因此,電磁逆散射問題呈現(xiàn)強(qiáng)烈的非線性特征。

逆散射問題的目標(biāo)就是根據(jù)已有的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)Escatt(r)獲取散射體的位置、形狀、電磁參數(shù)等信息。這種關(guān)系在數(shù)學(xué)上可表述為

式中:χ=[χi;i=1,…,P]=[r,εr,σ],P 是描述散射體的參數(shù)的個(gè)數(shù)。Escatt=[Esrcatt;r=1,…,R],R是觀測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。電磁逆散射問題可以重新被描述成一個(gè)回歸問題,未知函數(shù) Φ可以通過N個(gè)輸入/輸出(I/O)數(shù)據(jù)對(duì)來近似得到,(I/O)即為:{(χ)n,};n=1,…,N 。

3.用于回歸估計(jì)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)有力的學(xué)習(xí)能力,它不需要任何先驗(yàn)公式就可以通過學(xué)習(xí)或訓(xùn)練自動(dòng)總結(jié)出數(shù)據(jù)間的函數(shù)關(guān)系,獲得這些數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律,具有很強(qiáng)的非線性映射能力,適用于非線性問題的研究。因此,應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這一人工智能技術(shù)來研究電磁逆散射問題。

圖2給出了文本所用的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型。它是一個(gè)三層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)的輸出在數(shù)學(xué)上可表示為

式中:x j是第j個(gè)神經(jīng)元的輸出;f是神經(jīng)元的激活函數(shù);N是隱含層神經(jīng)元的個(gè)數(shù);wij是隱含層中連結(jié)神經(jīng)元j和神經(jīng)元i的權(quán)重;bj是神經(jīng)元j的閾值。

圖2 電磁逆散射問題中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

輸入層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)由電磁逆散射問題中所設(shè)置的散射場(chǎng)的接收點(diǎn)個(gè)數(shù)決定。比如,設(shè)置散射場(chǎng)的接收點(diǎn)是16個(gè),如果以散射場(chǎng)的幅值作為訓(xùn)練樣本信息,則輸入層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)為16個(gè);如果以散射場(chǎng)的幅值和相位作為訓(xùn)練樣本信息,則輸入層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)為32個(gè)。輸出層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)由要反演的目標(biāo)幾何、電磁參數(shù)的個(gè)數(shù)決定。隱含層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)與網(wǎng)絡(luò)性能的優(yōu)劣密切相關(guān),不同的隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù),對(duì)于同一個(gè)電磁逆散射問題,訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間不同,最后反演的精度也會(huì)不同,本文在后面將要用實(shí)例進(jìn)行說明。

在本文的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電磁逆散射模型中,隱含層神經(jīng)元的激活函數(shù)采用sigmoid函數(shù),考慮到訓(xùn)練樣本多為非負(fù)數(shù)(散射場(chǎng)的幅值),所以最后采用對(duì)數(shù)形sigmoid函數(shù)作為隱含層神經(jīng)元的激活函數(shù)。而輸出層神經(jīng)元的激活函數(shù)采用線性函數(shù)以展寬輸出范圍。

4.數(shù)值算例

4.1 介質(zhì)圓柱體電磁參數(shù)重構(gòu)

下面用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來反演目標(biāo)的相對(duì)介電常數(shù)和電導(dǎo)率。逆散射模型如圖3所示,入射波頻率1 GHz,在一邊長為λ的正方形探測(cè)區(qū)域內(nèi)有一半徑R=λ/3=10 cm的二維介質(zhì)圓柱體,假定其位于正方形的中心,其電磁參數(shù)未知。散射場(chǎng)的觀

圖3 二維介質(zhì)圓柱體逆散射模型

測(cè)點(diǎn)數(shù)為12個(gè),均勻地分布在以介質(zhì)體中心為圓心、λ為半徑的4πλ/3圓周上。訓(xùn)練樣本數(shù)為315個(gè),分別對(duì)應(yīng)于15個(gè)不同的相對(duì)介電常數(shù)值(εr=1.5+0.25n,n=0,1,…14)和21個(gè)不同的電導(dǎo)率值(σ=10-3+0.05n(S/m),n=0,1,…,20),訓(xùn)練樣本信息為觀測(cè)點(diǎn)散射場(chǎng)的幅值,可用解析的方法得到[11]。顯然,在這里,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層神經(jīng)元數(shù)為12,輸出層神經(jīng)元數(shù)為2。輸出層神經(jīng)元激活函數(shù)為線性函數(shù),隱含層神經(jīng)元激活函數(shù)為對(duì)數(shù)sigmoid函數(shù)。為了選取合理的中間隱含層神經(jīng)元數(shù),我們考慮以下三種BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu):12-12-2、12-24-2、12-36-2。在相同的誤差指標(biāo)下,用 L-M 訓(xùn)練算法[12]對(duì)三種不同結(jié)構(gòu)的BP網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練,再用訓(xùn)練樣本作為測(cè)試樣本進(jìn)行回歸估計(jì),通過計(jì)算它們的平均絕對(duì)誤差(MAE),來比較三種不同結(jié)構(gòu)的BP網(wǎng)絡(luò)逆散射模型性能的優(yōu)劣。結(jié)果見表1。三種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的訓(xùn)練時(shí)間分別為24 s、27 s和35 s。

表1 三種不同結(jié)構(gòu)BP網(wǎng)絡(luò)逆散射模型誤差比較

從表1可以看出,隱含層神經(jīng)元數(shù)為24時(shí)對(duì)該實(shí)際問題是較為合適的。所以,我們采用結(jié)構(gòu)為12-24-2的BP網(wǎng)絡(luò)來重構(gòu)相對(duì)介電常數(shù)和電導(dǎo)率。改變目標(biāo)的電磁參數(shù)(不同于訓(xùn)練樣本),用觀測(cè)點(diǎn)上的相應(yīng)散射場(chǎng)作為建立好的BP網(wǎng)絡(luò)逆散射模型的輸入,來重構(gòu)介質(zhì)圓柱體的相對(duì)介電常數(shù)和電導(dǎo)率。圖4(a)、(b)分別給出了當(dāng) εr=1.55,1.80,2.05,2.30,2.55,2.76,3.05,3.30,3.80,4.30,4.55,4.9;σ=10-t(S/m),t=2.0,2.1,2.21,2.41,2.51,2.61,2.71,2.81,2.89,2.92,時(shí)的重構(gòu)結(jié)果。

為了定量地說明重構(gòu)的精度,分別計(jì)算重構(gòu)結(jié)果的最大相對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差

4.2 介質(zhì)圓柱體幾何、電磁參數(shù)重構(gòu)

逆散射模型與算例1的圖3相同,本算例中的反演參數(shù)分別為介質(zhì)圓柱體的半徑、相對(duì)介電常數(shù)及電導(dǎo)率。訓(xùn)練樣本數(shù)為316個(gè),分別對(duì)應(yīng)于εr=1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,σ=0.001,0.003,0.005,0.007,0.009,0.011(S/m),R=5.0,6.0,7.0,8.0,9.0,10.0(cm)。訓(xùn)練樣本信息為觀測(cè)點(diǎn)散射場(chǎng)的幅值,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為12-24-3,采用L-M算法對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行訓(xùn)練并建立目標(biāo)參數(shù)回歸模型。訓(xùn)練時(shí)間為 38 s。圖 5(a)、(b)、(c)分別給出了測(cè)試樣本數(shù)為125個(gè)(εr=2.0,3.0,4.0,5.0,6.0,σ=0.002,0.004,0.006,0.008,0.010(S/m),R=5.5,6.5,7.5,8.5,9.5(cm))時(shí)相對(duì)介電常數(shù)εr、電導(dǎo)率 σ及半徑R的重構(gòu)結(jié)果。

5.結(jié) 論

利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)有耗介質(zhì)圓柱體的半徑、相對(duì)介電常數(shù)和電導(dǎo)率進(jìn)行了重構(gòu)。將原電磁逆散射問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)回歸估計(jì)問題,通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)訓(xùn)練樣本的學(xué)習(xí),找出散射場(chǎng)與目標(biāo)參數(shù)間的內(nèi)在規(guī)律,建立相應(yīng)的電磁逆散射模型,通過輸入新的散射場(chǎng)信息,可實(shí)時(shí)反演出對(duì)應(yīng)目標(biāo)的半徑、相對(duì)介電常數(shù)和電導(dǎo)率。這種基于機(jī)器學(xué)習(xí)的電磁逆散射方法克服了以往傳統(tǒng)方法計(jì)算量大、耗時(shí)嚴(yán)重的缺點(diǎn),且精度較高,為解決電磁逆散射問題提供了一條有效的途徑。

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