萬(wàn)曉霞， 梁金星， 劉強(qiáng)

(武漢大學(xué) 印刷與包裝系， 湖北，武漢 430079)

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寬帶光譜成像系統(tǒng)最優(yōu)訓(xùn)練樣本選擇方法研究

萬(wàn)曉霞， 梁金星， 劉強(qiáng)

(武漢大學(xué) 印刷與包裝系， 湖北，武漢 430079)

為解決現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)色卡或顏色樣本集因數(shù)量大、存在嚴(yán)重顏色冗余而導(dǎo)致的光譜成像工作繁重的問(wèn)題，提出一種基于寬帶光譜成像系統(tǒng)光譜重建誤差最小化的最優(yōu)訓(xùn)練樣本選擇方法. 通過(guò)現(xiàn)有顏色樣本集中最有效樣本的選擇，實(shí)現(xiàn)寬帶光譜成像系統(tǒng)訓(xùn)練樣本的優(yōu)化. 研究通過(guò)偽逆方法進(jìn)行光譜重建，以光譜均方根誤差作為評(píng)價(jià)依據(jù)，從顏色樣本集中逐步挑選訓(xùn)練樣本，實(shí)現(xiàn)每次迭代所確定訓(xùn)練樣本對(duì)樣本集重建光譜誤差的最小化. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在選擇相同數(shù)量訓(xùn)練樣本條件下，本研究方法所構(gòu)建訓(xùn)練樣本的光譜和色度精度明顯優(yōu)于現(xiàn)有方法.

光譜成像；訓(xùn)練樣本；光譜重建；誤差分析

光譜成像技術(shù)在光譜與色度方面具有較高成像質(zhì)量，近些年在數(shù)字成像領(lǐng)域發(fā)展迅速，同時(shí)在文物藝術(shù)品的高保真數(shù)字化典藏、保護(hù)及再現(xiàn)復(fù)制方面發(fā)揮越來(lái)越突出的優(yōu)勢(shì)，當(dāng)前光譜成像系統(tǒng)主要分為窄帶與寬帶光譜成像系統(tǒng)兩類[1-2]. 寬帶光譜成像系統(tǒng)中，物體表面光譜反射率重建工作大多基于訓(xùn)練樣本完成，即先獲得典型代表性訓(xùn)練樣本，通過(guò)訓(xùn)練樣本計(jì)算由多通道數(shù)字響應(yīng)信號(hào)到光譜反射率值的轉(zhuǎn)換矩陣，完成光譜反射率重建[2]，因而訓(xùn)練樣本的選擇直接影響著光譜反射率的重建精度. 目前常用一些標(biāo)準(zhǔn)色卡作為訓(xùn)練樣本，如Color Checker DC (CCDC)、 Color Checker Rendition Chart (CC)、Esser Test Chart TE221 (Esser)、ANSI IT8 Charts以及Munsell Surface Colors等進(jìn)行光譜重建工作[3-8]，但大部分的標(biāo)準(zhǔn)色卡具有較多數(shù)量的顏色色塊，這給光譜成像過(guò)程中的數(shù)據(jù)處理帶來(lái)了巨大的工作量.

研究發(fā)現(xiàn)，上述一些標(biāo)準(zhǔn)色卡包含大量的冗余色塊，選用其中少數(shù)部分色塊便能表征標(biāo)準(zhǔn)色卡幾乎全部光譜和色度特征信息[3]. 基于此，為保證光譜重建精度的同時(shí)提高光譜成像技術(shù)的工作效率，Hardeberg等[4]提出一種最小條件數(shù)(CN_based)訓(xùn)練樣本選擇方法，用于光譜成像系統(tǒng)的響應(yīng)特性表征. Mohammadi等[5]提出了一種光譜聚類分析的訓(xùn)練樣本選擇方法，首先根據(jù)距離分析對(duì)樣本集進(jìn)行聚類分析，然后從每個(gè)聚類中挑選出與本聚類中其余樣本向量夾角總和最小的樣本作為代表樣本，組成訓(xùn)練樣本集. Cheung等[6]提出了4種基于空間距離分析挑選訓(xùn)練樣本的方法，使選擇的訓(xùn)練樣本與已選訓(xùn)練樣本集中的每個(gè)樣本的光譜或色度特性盡可能不同，通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明最小最大色度(MAXMINC)方法選擇的訓(xùn)練樣本具有最高的重建精度. 以上提出的訓(xùn)練樣本選擇方法都是基于一個(gè)相同的原則，即要求選擇出的訓(xùn)練樣本中的代表色塊在光譜或色度屬性上相互之間差別最大. Shen等[7]提出了一種基于特征向量分析(EV_based)的訓(xùn)練樣本選擇方法，使每次迭代確定的新的訓(xùn)練樣本集光譜主成分對(duì)全部樣本的光譜主成分覆蓋率最大，實(shí)現(xiàn)訓(xùn)練樣本對(duì)全部樣本的光譜重構(gòu)誤差最小化. 但上述所有訓(xùn)練樣本選擇方法均是完全基于對(duì)樣本集自身的特征分析，并未聯(lián)系到實(shí)際及光譜成像系統(tǒng)特性，所選擇的訓(xùn)練樣本雖然能夠高效的重建全部樣本的光譜反射率，但不是最優(yōu)的訓(xùn)練樣本選擇方法. 劉振等[8]針對(duì)寬帶光譜成像系統(tǒng)的藝術(shù)品復(fù)制應(yīng)用，提出了一種面向復(fù)制的子空間追蹤訓(xùn)練樣本選擇方法，通過(guò)對(duì)樣本集光譜空間進(jìn)行分解，將重建樣本的色度子空間光譜反射率與訓(xùn)練樣本色度子空間光譜反射率之間的相似性作為樣本選擇依據(jù)，雖然實(shí)現(xiàn)了色度精確的前提下最大限度的提高光譜重建精度，但實(shí)際的光譜重建效率和精度仍受到方法本身限制.

針對(duì)上述方法的不足，本文提出了一種基于真實(shí)光譜成像系統(tǒng)的光譜重建誤差最小化訓(xùn)練樣本選擇方法. 首先搭建真實(shí)寬帶光譜成像系統(tǒng)，利用搭建的真實(shí)寬帶光譜成像系統(tǒng)拍攝獲得樣本集的多通道數(shù)字信號(hào)；然后通過(guò)偽逆方法進(jìn)行光譜重建，使每次迭代確定的訓(xùn)練樣本集重建顏色樣本集的光譜誤差最小化，逐步挑選典型訓(xùn)練樣本，直到光譜重建誤差開(kāi)始收斂時(shí)確定最終的訓(xùn)練樣本集，其中包括重復(fù)樣本；最后利用主成分分析光譜重建將方法的性能與現(xiàn)有方法進(jìn)行了全面的比較.

1 光譜成像系統(tǒng)模型及光譜重建算法

1.1 線性化系統(tǒng)模型

假設(shè)光譜成像系統(tǒng)的光電轉(zhuǎn)換函數(shù)為線性模型[4]，則系統(tǒng)的第i個(gè)通道圖像像素的響應(yīng)值可以用式(1)來(lái)表示為

(1)

式中：λ為波長(zhǎng)變量；di為第i個(gè)通道圖像像素響應(yīng)值；l(λ)為光源的相對(duì)光譜功率分布；r(λ)為物體表面任一像素點(diǎn)的光譜反射率；fi(λ)為鏡頭與濾光片的總透射率；s(λ)為光譜成像系統(tǒng)CCD傳感器的光譜敏感度函數(shù)；bi和ni分別為CCD暗電流噪聲和固定模式噪聲，可通過(guò)暗電流去除和光照不均勻性校正來(lái)消除.

本研究采用實(shí)驗(yàn)選定的兩個(gè)濾光片分別與CCD配合獲得3通道數(shù)據(jù)，因此共有6個(gè)通道，i取值為1～6. 為了更簡(jiǎn)明地表達(dá)線性化的系統(tǒng)模型，令mi(λ)=l(λ)fi(λ)s(λ)，寫成矩陣表達(dá)形式如下

(2)

式中：M為光譜響應(yīng)矩陣；R為光譜圖像矩陣；D為數(shù)字響應(yīng)響應(yīng)矩陣；B和N分別為暗電流噪聲和固定模式噪聲向量. 經(jīng)暗電流和光照不均勻性校正后的光譜成像系統(tǒng)，可認(rèn)為B和N均為0，因此可將式(2)簡(jiǎn)化為式(3)的形式

(3)

式(3)即為基本的系統(tǒng)響應(yīng)模型.

1.2 偽逆(pesudoiverse， PSE)光譜重建方法

基于式(3)所表達(dá)的光譜成像系統(tǒng)模型，針對(duì)獲得的每個(gè)重建樣本的6通道系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)，可以通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣T重建得到其對(duì)應(yīng)的光譜反射率，其中轉(zhuǎn)換矩陣T是通過(guò)訓(xùn)練樣本的光譜反射率矩陣乘以對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)值的偽逆矩陣得到，如式(4)所示

(4)

式中：R訓(xùn)練為訓(xùn)練樣本的光譜反射率矩陣；PINV為計(jì)算偽逆的函數(shù)；D訓(xùn)練為訓(xùn)練樣本的系統(tǒng)響應(yīng)矩陣. 則重建樣本的光譜反射率信息就可以通過(guò)式(5)得到

(5)

1.3 主成分分析(principalcomponentanalysis，PCA)光譜重建方法

基于式(3)表達(dá)的光譜成像系統(tǒng)模型，首先對(duì)訓(xùn)練樣本的光譜反射率進(jìn)行奇異值分解

(6)

(7)

2 訓(xùn)練樣本選擇方法

綜合現(xiàn)有的訓(xùn)練樣本選擇方法方法可知，Hardeberg方法、Mohammadi方法以及Cheung方法均是挑選在光譜反射率空間或色度空間差別最大樣本，雖然這些方法能夠得到有效的訓(xùn)練樣本集，但并不是最優(yōu)的訓(xùn)練樣本組合.Shen的方法雖然分析了訓(xùn)練樣本集與總樣本集的等效性，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行訓(xùn)練樣本的選擇，但只是單純的從樣本集之間的等效性進(jìn)行分析，未聯(lián)系到實(shí)際的光譜成像系統(tǒng)特性，致使選擇的訓(xùn)練樣本集在實(shí)際光譜成像過(guò)程中并非最優(yōu)的訓(xùn)練樣本集. 劉振等并非以最大程度的精確重建物體表面光譜反射率為主要目的，而且方法應(yīng)用范圍有限. 針對(duì)上述方法的不足之處，研究提出了一種基于真實(shí)光譜成像系統(tǒng)的光譜重建誤差最小化訓(xùn)練樣本選擇方法，方法總體描述如圖1所示，具體如下.

首先利用專業(yè)設(shè)備測(cè)量獲取顏色樣本集Θ的光譜反射率矩陣R；然后搭建光譜成像系統(tǒng)，并對(duì)光譜成像系統(tǒng)的暗電流水平、固定模式噪聲、光照不均勻性、各通道線性化響應(yīng)程度進(jìn)行標(biāo)定；第3步利用標(biāo)定后的真實(shí)光譜成像系統(tǒng)對(duì)樣本集Θ進(jìn)行拍攝，并根據(jù)第2步對(duì)光譜成像系統(tǒng)的標(biāo)定結(jié)果對(duì)拍攝的樣本集進(jìn)行校正，獲得顏色樣本集校正后的數(shù)字響應(yīng)信號(hào)矩陣D. 第4步和第5步為本文方法的核心，以Ω代表選定的訓(xùn)練樣本集，利用第1部分介紹的偽逆方法作為訓(xùn)練樣本選擇時(shí)的光譜重建方法，從選擇第一個(gè)訓(xùn)練樣本開(kāi)始，針對(duì)樣本集Θ中的每一個(gè)樣本Ri，利用式(4)計(jì)算得到樣本對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣T為

(8)

然后利用式(5)對(duì)樣本集Θ進(jìn)行光譜重建

(9)

以光譜重建誤差(root mean square， RMS)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)

(10)

挑選出光譜重建誤差最小的一個(gè)樣本作為第一個(gè)訓(xùn)練樣本

(11)

此時(shí)，訓(xùn)練樣本集中的第一個(gè)樣本被選定，

(12)

以此類推，在挑選剩余的第2個(gè)到第k(k小于最大樣本數(shù))個(gè)訓(xùn)練樣本時(shí)有

(13)

直到滿足式(14)所表示的條件時(shí)完成訓(xùn)練樣本選擇，此時(shí)確定的訓(xùn)練樣本集Ωk對(duì)樣本集Θ光譜重建誤差開(kāi)始達(dá)到最小，當(dāng)繼續(xù)增加滿足式(13)的訓(xùn)練樣本sk+1，sk+2，…，sm時(shí)，訓(xùn)練樣本集Ωk+1，Ωk+2，…，Ωm對(duì)樣本集Θ的光譜重建誤差僅有極其微弱減小趨勢(shì)，基本收斂于最小值Jmin，

(14)

本文方法在每挑選一個(gè)新的樣本加入到Ω時(shí)，都要將樣本集Θ中所有的樣本遍歷一次，其中包括已經(jīng)存在于Ω中的樣本，如此設(shè)計(jì)算法可以充分利用有效訓(xùn)練樣本在真實(shí)光譜成像系統(tǒng)中的貢獻(xiàn)度，使最終確定的訓(xùn)練樣本集Ω在真實(shí)光譜成像系統(tǒng)前提條件下最大程度地表征樣本集Θ的光譜特征.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析討論

為了考察提出的訓(xùn)練樣本選擇方法的效果，采用仙娜(Sinar 75H)數(shù)碼相機(jī)配合通過(guò)前期研究得到的BG7和OG515帶通濾光片組成寬帶光譜成像系統(tǒng)，使用X-rite ColorEye 7000A分光光度計(jì)測(cè)量濾光片在360～750 nm范圍內(nèi)的相對(duì)光譜透射率曲線，如圖2(a)所示. 針對(duì)每個(gè)濾光片，在標(biāo)準(zhǔn)A光源scanlite1000照明下獲得其3通道圖像，首先對(duì)獲得的3通道圖像進(jìn)行暗電流校正、系統(tǒng)噪聲去除、線性化校正以及光照不均勻性校正等處理，然后通過(guò)光譜圖像配準(zhǔn)算法將在兩個(gè)濾光片下獲得的3通道圖像進(jìn)行配準(zhǔn)，組合獲得6通道圖像，提取每個(gè)樣本的6通道數(shù)字響應(yīng)值，通過(guò)偽逆光譜重建方法進(jìn)行訓(xùn)練樣本集的選擇工作. 實(shí)驗(yàn)顏色樣本集選用由154種礦物質(zhì)顏料在11種顆粒度粒徑下涂制而成的1 687個(gè)顏料樣本，這154種礦物質(zhì)顏料包含了幾乎古代壁畫所使用的所有礦物質(zhì)顏料，使用spectrolino在D50/2°條件下通過(guò)3次測(cè)量求平均的方法得到1 687個(gè)礦物顏料色塊在380～730 nm范圍內(nèi)的相對(duì)光譜反射率，如圖2(b)所示.

為全面評(píng)價(jià)訓(xùn)練樣本集對(duì)總樣本集光譜重建的精度，除采用式(11)所定義的光譜均方根誤差RMS之外，同時(shí)選取目前常用的CIE標(biāo)準(zhǔn)光源D50和1 931觀察者條件下的CIEDE2000色差公式對(duì)重建精度進(jìn)行評(píng)價(jià). 圖3為使用本文提出的方法挑選的訓(xùn)練樣本的數(shù)目與光譜重建誤差RMS以及CIEDE2000色差變化關(guān)系，圖3(a)、3(b)子圖中的水平虛線表示使用全部1 687個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本通過(guò)偽逆方法進(jìn)行光譜重建的光譜誤差RMS和色差CIEDE2000，分別為0.027 9和2.25.

由圖3結(jié)果可知，光譜成像系統(tǒng)的光譜重建誤差RMS和DE2000的分布隨著訓(xùn)練樣本數(shù)目增加而迅速降低. 其中，當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)量達(dá)到25個(gè)時(shí)，光譜成像系統(tǒng)的重建光譜誤差RMS和色差DE2000已經(jīng)十分接近使用1 687個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本的重建誤差水平，與Mohammadi以及Shen等[5，7]的研究結(jié)果相似. 當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)量達(dá)到38個(gè)時(shí)，光譜成像系統(tǒng)的重建光譜誤差RMS開(kāi)始收斂于0.027 7，超過(guò)使用1 687個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本的重建光譜誤差水平；此時(shí)光譜成像系統(tǒng)的光譜重建色差DE2000達(dá)到最小值2.29，38個(gè)樣本中有兩個(gè)重復(fù)一次的樣本. 當(dāng)繼續(xù)增加樣本數(shù)量超過(guò)38個(gè)時(shí)，光譜成像系統(tǒng)的重建光譜誤差RMS雖有微小降低，但仍然收斂于0.027 7；重建色差DE2000隨著訓(xùn)練樣本數(shù)量的增加逐漸接近于使用1 687個(gè)樣本重建的水平，但接近速度非常緩慢，此時(shí)訓(xùn)練樣本集中重復(fù)出現(xiàn)的色塊數(shù)量和色塊的重復(fù)次數(shù)都開(kāi)始增加. 因此，可以認(rèn)為當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)量達(dá)到38個(gè)時(shí)，可作為1 687個(gè)色塊組成的樣本集在本實(shí)驗(yàn)真實(shí)寬帶光譜成像系統(tǒng)下光譜重建的最優(yōu)訓(xùn)練樣本集. 此外，本文方法確定的最優(yōu)訓(xùn)練樣本在本實(shí)驗(yàn)寬帶光譜成像系統(tǒng)下，重建的光譜誤差小于使用所有樣本作為訓(xùn)練樣本重建的光譜誤差. 分析原因可能為使用1 687個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本時(shí)，計(jì)算得到的轉(zhuǎn)換矩陣的精度會(huì)受到數(shù)據(jù)冗余以及其中部分具有較大噪聲顏色樣本的影響，從而導(dǎo)致光譜重建的整體精度下降，這與Shen的方法相似[7].

將本文提出的方法與上述已有的幾種方法等在不同數(shù)量訓(xùn)練樣本條件下的光譜重建結(jié)果進(jìn)行比較，同時(shí)為了證明本文訓(xùn)練樣本選擇方法所確定的最優(yōu)訓(xùn)練樣本集適用于其它方法進(jìn)行光譜重建，采用前6主成分分析光譜重建方法將本文方法與現(xiàn)有其他方法比較，光譜重建結(jié)果如圖4所示.

由圖4可知，本文光譜成像訓(xùn)練樣本選擇方法在不同數(shù)量的訓(xùn)練樣本數(shù)目條件下，無(wú)論是光譜誤差RMS還是色差DE2000，均明顯小于Hardeberg、Mohammadi、Cheung以及Shen等的方法. 由圖4(a)可知，當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)量達(dá)到25個(gè)時(shí)，使用本文提出的方法重建的精度與使用1 687個(gè)樣本重建精度光譜誤差已經(jīng)十分接近，繼續(xù)增加訓(xùn)練樣本的數(shù)量時(shí)，本文方法訓(xùn)練樣本的光譜重建精度已經(jīng)達(dá)到

穩(wěn)定誤差水平，圖4(b)中光譜重建的色差誤差水平也表現(xiàn)出基本相同趨勢(shì). 由此可知，使用本文基于偽逆光譜重建誤差最小化訓(xùn)練樣本選擇方法挑選的最優(yōu)訓(xùn)練樣本集，同樣適用于其他光譜重建方法.

表1為不同訓(xùn)練樣本選擇方法選擇不同數(shù)量訓(xùn)練樣本所花費(fèi)的時(shí)間(單位：s)，計(jì)算條件為聯(lián)想ThinkPad E420 2.3 GHz內(nèi)存為2G筆記本電腦，采用Matlab 2009a軟件平臺(tái)實(shí)現(xiàn). 由表中時(shí)間數(shù)據(jù)可知，由于算法的設(shè)計(jì)，除Mohammadi方法隨選擇的訓(xùn)練樣本數(shù)量增加時(shí)間減小之外，其余方法的計(jì)算時(shí)間均隨著選擇的訓(xùn)練樣本數(shù)量增加. 縱向比較不同數(shù)量訓(xùn)練樣本下的計(jì)算時(shí)間可知，新方法計(jì)算效率整體介于Cheung和Shen方法之間，且隨著選擇樣本數(shù)量的增加逐漸與Hardeberg方法相當(dāng)，計(jì)算效率可以得到保證.

表1 不同訓(xùn)練樣本選擇方法計(jì)算效率

圖5為在本實(shí)驗(yàn)寬帶光譜成像系統(tǒng)下，使用36個(gè)訓(xùn)練樣本，通過(guò)已有訓(xùn)練樣本選擇方法以及本文方法對(duì)其中兩個(gè)樣本的重建結(jié)果. 從圖中可以看出，雖然本文提出的訓(xùn)練樣本選擇方法的重建光譜反射率與實(shí)際測(cè)量的光譜反射率之前仍存在一定程度偏差，但優(yōu)于上文中介紹的4種方法.

4 結(jié) 論

為解決標(biāo)準(zhǔn)色卡或顏色樣本集因數(shù)量大、存在嚴(yán)重顏色冗余而導(dǎo)致的光譜成像工作繁重的問(wèn)題，研究提出了一種基于真實(shí)光譜成像系統(tǒng)重建光譜誤差最小化的訓(xùn)練樣本選擇方法，彌補(bǔ)了現(xiàn)有方法的不足. 以154種礦物顏料在不同顆粒度粒徑下涂制成1 687個(gè)礦物質(zhì)顏料樣本集為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，針對(duì)搭建的寬帶光譜成像系統(tǒng)，對(duì)本文提出的算法進(jìn)行驗(yàn)證，并與現(xiàn)有的方法進(jìn)行了比較. 實(shí)驗(yàn)表明，使用本文提出的方法在任意數(shù)量訓(xùn)練樣本條件下的光譜重建精度優(yōu)于現(xiàn)有的訓(xùn)練樣本選擇方法，且計(jì)算效率可以得到保證.

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(責(zé)任編輯：李兵)

Optimal Training Sample Selection for Broadband Spectral Imaging System

WAN Xiao-xia， LIANG Jin-xing， LIU Qiang

(School of Printing and Packaging， Wuhan University， Wuhan， Hubei 430079， China)

The existing standard colorcharts or databases always have large sample size and suffer from color redundancy， which inevitability leads to a time-consuming process for practical spectral imaging. In order to resolve this problem， an optimal training sample selection method was proposed whose main idea was choosing the most effective samples from existing database based on error analysis of spectral reconstruction. A typical spectral imaging workflow was set up where the pseudoinverse (PSE) method was employed for spectral reconstruction and spectral root-mean-square error (RMS) was used as evaluation metric. Through minimizing the RMS error for each iteration， the method selected the optimal samples one by one from existing databases. The experimental results show that the proposed method has higher effectiveness both in spectral and colorimetric accuracy than the current existing methods when choosing the same number of training samples.

spectral imaging; training sample; spectral reconstruction; error analysis

2015-02-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61275172)；國(guó)家“九七三”計(jì)劃項(xiàng)目(2012CB725302)；中國(guó)博士后科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目(2014M560625)

萬(wàn)曉霞(1965—)，女，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:wan@whu.edu.cn.

梁金星(1989—)，男，博士生，E-mail:jxliang@whu.edu.cn.

TH 744

A

1001-0645(2016)06-0641-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.06.017