利用分解和微元法求復(fù)場中曲線運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離

劉月榮

(邗江中學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225009)

運(yùn)動(dòng)的合成與分解是研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的重要方法.在研究比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí),常常采用分解的方法,將運(yùn)動(dòng)看作是兩個(gè)或幾個(gè)比較簡單的運(yùn)動(dòng)組成的,使問題容易解決.在應(yīng)用分解的方法時(shí)要注意“運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理”.這是物體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要特性,即一個(gè)物體同時(shí)參與幾種運(yùn)動(dòng),各分運(yùn)動(dòng)都可看作是獨(dú)立進(jìn)行的,它們互不影響.

“微元法”是分析連續(xù)過程積累的一種分析方法,其精髓就是把確定的研究對(duì)象分割為無限多個(gè)無限小的部分,然后抽取其中一部分加以研究,從而認(rèn)識(shí)整體或全過程的性質(zhì)和規(guī)律.這實(shí)質(zhì)上是“從復(fù)合到單一,從單一到復(fù)合”的分析與綜合思維方法.

在高三專題復(fù)習(xí)中常遇到復(fù)合場中的最遠(yuǎn)距離的求解,即可利用分解的方法和微元法來加以分析.

【例1】如圖1所示,在空間有相互垂直的勻強(qiáng)電場E和勻強(qiáng)磁場B,一電子從原點(diǎn)釋放,求電子在y軸方向前進(jìn)的最大距離.(不計(jì)電子重力,已知電子電荷為e,質(zhì)量為m)

圖1

分析:對(duì)電子在任一位置的受力進(jìn)行分析,電子受到豎直向上的電場力eE及與速度垂直的洛倫茲力Bev.將電子的速度分解為水平方向的速度vx和豎直方向的速度vy,同時(shí)將洛倫茲力也分解為水平方向的作用力和豎直方向的作用力.而水平方向的洛倫茲力是由于豎直方向的速度產(chǎn)生的,豎直方向的洛倫茲力是由于水平方向的速度產(chǎn)生的,因此水平方向的洛倫茲力為Bevy,而豎直方向的洛倫茲力為Bevx(圖2).

圖2

由牛頓第二定律得

設(shè)電子到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v,即

全過程中只有電場力做功,根據(jù)動(dòng)能定理得

【例2】在地面上方某處的真空室里存在著水平方向的勻強(qiáng)電場,以水平向右和豎直向上為x軸和y軸建立直角平面坐標(biāo)系.一質(zhì)量為m、帶電荷為+q的微粒從點(diǎn)由靜止釋放后沿直線 PQ運(yùn)動(dòng)(圖3).當(dāng)微粒到達(dá)Q(0,-l)的瞬間,撤去電場,同時(shí)加上一個(gè)垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(圖3中未畫),磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,該磁場有理想的下邊界,其他方向范圍無限大.已知重力加速度為g.求:

(1)勻強(qiáng)電場的大小;

(2)撤去電場加上磁場的瞬間,粒子所受合外力的大小和方向;

(3)欲使微粒不從磁場下邊界穿出,該磁場下邊界的y軸坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件.

圖3

分析:(1)微粒沿PQ直線運(yùn)動(dòng)時(shí)受水平向左的電場力和豎直向下的重力作用,合力沿PQ方向.因此

(2)撤去電場,加上磁場的瞬間,粒子在豎直方向的速度為

當(dāng)微粒運(yùn)動(dòng)到任一點(diǎn)時(shí),將微粒的速度分解為水平方向的vx和豎直方向的vy,同時(shí)將洛倫茲力也分解為水平方向的作用力和豎直方向的作用力.而水平方向的洛倫茲力是由于豎直方向的速度產(chǎn)生的,故為Bqvy;豎直方向的洛倫茲力是由于水平方向的速度產(chǎn)生的,故為 Bqvx(圖4).于是有

圖4

(3)撤去電場,加上磁場后,微粒做曲線運(yùn)動(dòng).由牛頓第二定律得

其中v為微粒運(yùn)動(dòng)到磁場最遠(yuǎn)點(diǎn)的速度,vx為Q點(diǎn)的水平速度

以上是帶電粒子在復(fù)合場中做曲線運(yùn)動(dòng)的典型例題.對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng),一般采用分解的方法處理問題;而利用運(yùn)動(dòng)的分解和微元法求曲線運(yùn)動(dòng)中的最遠(yuǎn)距離,正是這種題型中的亮點(diǎn),也能考查學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)能力.