毛北行, 慕小武, 卜春霞

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系 河南鄭州450015;2.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系 河南鄭州450001)

不確定時滯脈沖切換系統(tǒng)的保性能控制

毛北行1, 慕小武2, 卜春霞2

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系 河南鄭州450015;2.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系 河南鄭州450001)

研究了一類參數(shù)不確定性和定常時滯的連續(xù)的脈沖切換系統(tǒng)在任意切換下的保性能控制問題.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論與線性矩陣不等式方法,給出了連續(xù)的脈沖切換系統(tǒng)的保性能控制器存在的充分條件,并把這個條件轉(zhuǎn)化為一個線性矩陣不等式,便于實現(xiàn).

脈沖切換系統(tǒng);保性能控制;時滯

0 引言

切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng),它是由一系列子系統(tǒng)和一定的切換規(guī)則構(gòu)成,其中的子系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的,也可能是不穩(wěn)定的,切換系統(tǒng)具有這樣的性質(zhì):既使每一個子系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的,通過構(gòu)造切換規(guī)則,也可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,反之,既使每一個子系統(tǒng)穩(wěn)定,切換規(guī)則選得不合適,系統(tǒng)也可能不穩(wěn)定.切換系統(tǒng)已經(jīng)引起了控制界的廣泛關(guān)注并且已取得了很多成果[1-4].另一方面,脈沖現(xiàn)象普遍存在于工業(yè)生產(chǎn)中,近年來,脈沖動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題已經(jīng)存在較多成果.文獻(xiàn)[5]應(yīng)用Lyapunov函數(shù)直接研究了一類脈沖切換系統(tǒng)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性問題.文獻(xiàn)[6]利用Lyapunov函數(shù)研究了一類擾動的脈沖切換系統(tǒng)的魯棒H∞問題,但兩者均沒有考慮時滯和不確定性.文獻(xiàn)[7]針對具有不確定性和狀態(tài)滯后的連續(xù)系統(tǒng),提出了無記憶狀態(tài)反饋和靜態(tài)輸出反饋保性能控制,給出了保性能控制律存在的充分條件.

不確定性和時滯是引起系統(tǒng)不穩(wěn)定和性質(zhì)變壞的主要因素,因此不確定性和時滯對系統(tǒng)的控制性能產(chǎn)生巨大影響.文獻(xiàn)[8]研究了具有時滯的不確定離散脈沖切換系統(tǒng)的保性能控制問題,但討論的是離散系統(tǒng),本文將對具有時滯和不確定性的連續(xù)脈沖切換系統(tǒng)的保性能控制問題進(jìn)行研究,給出了系統(tǒng)存在保性能控制器的充分條件.

1 問題描述

考慮以下具有定常時滯和不確定性的連續(xù)脈沖切換系統(tǒng)

其中,x(t)∈Rn是狀態(tài)向量;u(t)∈Rm是控制輸入向量;Δx(t)是切換脈沖;Ek是脈沖矩陣,只與切換前后2個子系統(tǒng)有關(guān),與切換時刻無關(guān),當(dāng)切換規(guī)則一定,它是一系列實常矩陣,

其中,Ai,Bi,Ci是常數(shù)矩陣,ΔAi,ΔBi是未知矩陣,且假設(shè)其具有形式

其中,Mi,Fi,Hi是已知適當(dāng)維數(shù)的實矩陣,不確定參數(shù)矩陣Γi是滿足ΓTiΓi

系統(tǒng)(1)的性能指標(biāo)定義為

其中,Qi,Ri是給定的對稱正定矩陣.

反饋控制律為

其中,Ki是待定的反饋增益矩陣,閉環(huán)系統(tǒng)為

問題表述如下:對系統(tǒng)(1),在性能指標(biāo)(3)的要求下,設(shè)計一個無記憶狀態(tài)反饋控制律(4),對所有允許的不確定性,閉環(huán)(5)是漸近穩(wěn)定的,且存在J＊>0使得性能指標(biāo)J≤J＊.

引理1 給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y,D和E,F,則Y+D FE+ETFTDT<0對所有滿足FFT≤I的矩陣F成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個常數(shù)λ>0,使得Y+λDDT+λ-1ETE<0.

引理2(Schur補(bǔ)引理) 設(shè)A,B,C為適當(dāng)維數(shù)的矩陣,則下面3個式子等價:

2 主要結(jié)果

定理1若存在正定矩陣Pi,滿足矩陣不等式

其中,

則對應(yīng)閉環(huán)性能指標(biāo),J≤J＊=xT0Pi0x0,且形如(4)的控制律是(1)的一個狀態(tài)反饋保性能控制律.證明 定義指標(biāo)函數(shù):ξ(t)=[ξ1,…,ξN]T,

其中,

由不等式(6)得

當(dāng)t=tk時,不妨設(shè)系統(tǒng)從子系統(tǒng)i切換到j(luò),

由不等式(7),得

從而對所有允許的不確定性,閉環(huán)(5)是漸近穩(wěn)定的.下面求(1)的性能上界.由(8)兩邊求積分,得

其中,

則對應(yīng)的閉環(huán)性能指標(biāo)J≤J＊=xT0Pi0x0,且u(t)=WiX-1ix(t)是系統(tǒng)的一個狀態(tài)反饋保性能控制律.

證明利用Schur補(bǔ)引理2,矩陣不等式(6)可以改寫為

將不等式兩邊分別左乘、右乘以矩陣diag{P-1i,I,I,I,I},并記

即可得矩陣不等式(9).

3 結(jié)束語

本文研究了連續(xù)的不確定時滯脈沖切換系統(tǒng)的保性能控制問題,得到系統(tǒng)存在保性能控制器存在的一個充分條件,求出了保性能控制律和性能上界,并最終得到一個線性的矩陣不等式.本文同時考慮了不確定和時滯因素帶來的影響,結(jié)果更具一般性.

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Guaranteed Cost Control Problems for a Class of Impulsive Switched System with Time Delay and Uncertain Parameters

MAO Bei-xing1, MU Xiao-w u2, BU Chun-xia2
(1.Department of M ath and Physics,Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry M anagement, Zhengzhou 450015,China; 2.Department of M athematics,Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China)

Guaranteed cost control p roblem sare investigated for a discrete impulsive sw itched system w ith norm-bounded uncertain parametersand invariant time delays.Based on Lyapunov theory and linear matrix inequality(LM I)techniques,a sufficient condition fo r the existence of guaranteed cost state feedback controller of impulsive sw itched system is derived.So it is convenient to be realized.

impulsive sw itched system;guaranteed cost control;time delay

O 231.1

A

1671-6841(2010)03-0007-04

2009-09-07

航空科學(xué)基金資助項目,編號2008ZE55004;鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年基金資助項目,編號Q08SL003.

毛北行(1976-),男,副教授,碩士,主要從事非線性系統(tǒng)研究,E-mail:maobeixing329@zzia.edu.cn.