○陳溟

（內(nèi)蒙古科技大學(xué)數(shù)理與生物學(xué)院 內(nèi)蒙古 包頭 014010）

證券市場(chǎng)套利模型及應(yīng)用研究

○陳溟

（內(nèi)蒙古科技大學(xué)數(shù)理與生物學(xué)院 內(nèi)蒙古 包頭 014010）

本文研究了在證券市場(chǎng)中單因素影響下的套利模型和雙因素影響下的套利模型，并在證券市場(chǎng)中就套利模型的應(yīng)用進(jìn)行了分析，為投資者進(jìn)行決策提供了有效的分析方法。

套利模型 單因素模型 雙因素模型

與投機(jī)相比，套利具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，因此有必要對(duì)套利模型進(jìn)行深入探討。從長(zhǎng)期來看，證券收益率存在較多的影響因素，這些影響因素和證券收益率之間又存在紛繁復(fù)雜的關(guān)系；從中短期來看，證券收益率的影響因素相對(duì)較少，并且比較容易辨別其影響程度的強(qiáng)弱。因此，為了便于對(duì)套利模型進(jìn)行研究，及時(shí)捕捉套利機(jī)會(huì)，本文僅研究周期為兩周的短期套利模型。

一、單因素的套利模型

假設(shè)證券i的期望收益率與某一因素存在一定的相關(guān)關(guān)系。設(shè)該影響因素為F，則得到模型：

其中，ri為預(yù)期收益率，βi為影響因素F的敏感系數(shù)。設(shè)其他的影響因素極其微弱，即εi=0，則有方程：

公式（2）中，當(dāng)F=0時(shí)，則得ri=αi=rf，也就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，它是一個(gè)固定的常數(shù)。只要能夠準(zhǔn)確地估計(jì)出每支股票對(duì)影響因素F的敏感程度βi，若F的值是可以量化的，就可以根據(jù)公式（2）算出預(yù)期收益率ri；若因素F是定性的，則可以根據(jù)敏感程度，由主觀判斷來估計(jì)預(yù)期收益率ri。

如果存在這樣一種股票組合，投資者無(wú)需追加資金，組合風(fēng)險(xiǎn)為0，收益率大于0，則形成可套利的股票組合，這時(shí)就為套利行為打開了方便之門。設(shè)Δxi為持有第i種股票的改變量，若投資者只持有三支股票，則套利股票組合必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件（假設(shè)不考慮套利的交易費(fèi)）：

根據(jù)公式（3）中的前兩個(gè)條件，可以得出無(wú)窮多組解。因此可以任取Δx1=m，則由公式（3）前兩個(gè)條件有：

由公式（4）可得：

將Δx1，Δx2，Δx3的值代入公式（3）中的第3個(gè)方程得：

若（5）式成立，則反映出三種股票的組合沒能達(dá)到均衡，也就意味著存在套利機(jī)會(huì)。

投資者只要對(duì)變動(dòng)量為負(fù)的股票做空頭，而對(duì)變動(dòng)量為正的股票做多頭，這樣可以再無(wú)需追加資金又不冒任何風(fēng)險(xiǎn)（若非因素風(fēng)險(xiǎn)很小）的情況下獲利。

表1 三支股票的相關(guān)資料

假設(shè)三種股票的預(yù)期收益率和影響因素F的敏感系數(shù)如表1所示，那么投資者三支股票的組合是否存在套利機(jī)會(huì)呢？三支股票的預(yù)期收益率與因素敏感度構(gòu)成的散點(diǎn)圖中，出現(xiàn)的三點(diǎn)明顯不在同一條直線上，也就是說，根據(jù)散點(diǎn)圖，可以大致估計(jì)出股票組合沒有達(dá)到均衡狀態(tài)，因此可以判定存在套利機(jī)會(huì)。若不考慮套利行為產(chǎn)生的交易費(fèi)用，則可以根據(jù)表1資料得出：

我們就這樣在鄉(xiāng)里唯一的，也是最繁華的“長(zhǎng)安”大街上走著，在目光織成的網(wǎng)中穿過，似乎還聽見了竊笑聲。我想溜，又沒借口，想跑又跑不起來，只好低下頭，感到芒刺在背，苦不堪言。我斜眼見她挺著豐滿、高聳的胸脯瀟灑自若地走著，想和我說什么；我佯裝看腳下的路，只看見她一閃一閃，穿著白皮涼鞋的腳尖。

再設(shè)Δx1=6，由方程組

解得：Δx2=-11；Δx3=5。

將Δx1=6，Δx2=-11，Δx3=5代入公式（6）中的第3個(gè)式子得：

（8）式是成立的，見表2：

表2 投資者的套利結(jié)果

由表2可知，投資者通過減持股票B而獲取的11萬(wàn)元資金用于購(gòu)買6萬(wàn)元的股票A和5萬(wàn)元的股票C，股票變動(dòng)量的凈額為0，而投資者的股票總市值仍然保持60萬(wàn)元，既不增加投資，又不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，只要預(yù)期收益率能夠?qū)崿F(xiàn)，就可以套取1.06萬(wàn)元的現(xiàn)金收益。這也反映了股票A與股票C被市場(chǎng)低估，而股票B被高估，股票組合未能達(dá)到均衡狀態(tài)。隨著套利行為的不斷繼續(xù)，股票B因供過于求而遭到大量的拋售，從而導(dǎo)致股價(jià)下降，預(yù)期收益率逐漸上升；股票A和股票C因供不應(yīng)求，致使大量資金涌入，股價(jià)紛紛抬升，預(yù)期收益率逐漸下降，此時(shí)宣布套利行為結(jié)束。

上面的三支股票的改變量是任意設(shè)定的?，F(xiàn)在來分析一般情況：設(shè)Δx1=m，代入公式（6）的前兩個(gè)式中得：

解得：Δx2=-1.83m，Δx3=0.83m?，F(xiàn)將Δx1=m，Δx2=-1.83m，Δx3=0.83m代入公式（6）的第3式中得：

在現(xiàn)實(shí)中，套利行為也存在交易費(fèi)，在證券市場(chǎng)上買賣股票，都必須要交納交易手續(xù)費(fèi)（交易金額的0.3%）和印花稅（交易金額的0.2%）。因此（3）式就變成：

（11）式中，0.5%為交易手續(xù)費(fèi)和印花稅系數(shù)，它是按交易金額來計(jì)算的。同理，設(shè)Δx1=m，代入公式（11）中的前兩個(gè)方程求得：

將Δx1，Δx2，Δx3的值代入公式（11）中的第3個(gè)方程中得：

只要（12）式成立，就有套利機(jī)會(huì)。設(shè)交易手續(xù)費(fèi)和印花稅為0.5%，（6）式就變成：

設(shè)Δx1=m，由（13）式可以解得Δx2=-1.83m，Δx3=0.83m，將3個(gè)改變量代入（13）式中第3個(gè)方程可得：

由（14）式可以得到與不考慮交易費(fèi)時(shí)相同的結(jié)論，即只要改變量m為正數(shù)，就存在套利機(jī)會(huì)，并且隨著改變量m的增大，套利收益也逐漸增大。在理論中，改變量m不受限制，使套利收益可以趨于無(wú)窮大，但在現(xiàn)實(shí)的證券市場(chǎng)中，改變量m是受限制的，同樣為1.83m≤20，解得m≤10.91萬(wàn)元。也就是說，股票A的最大改變量只能達(dá)到10.91萬(wàn)元，在考慮交易費(fèi)時(shí)，最大的套利收益為1.75萬(wàn)元。

因此，投資者為了獲取最大的套利收益，可以通過賣空預(yù)期收益率低的股票，而購(gòu)進(jìn)預(yù)期收益率高的股票，一旦實(shí)現(xiàn)預(yù)期的收益率，便可以獲得套利收益。

二、雙因素模型

假設(shè)在短期內(nèi)存在兩個(gè)影響較大的因素，分別設(shè)為F1，F(xiàn)2，其他的因素影響極其微弱，則得到模型：

其中，β1i，β2i分別為影響因素F1，F(xiàn)2的敏感系數(shù)。αi是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。若影響因素F1，F(xiàn)2的值是可以量化的，就可以根據(jù)公式（15）算出預(yù)期收益率ri；若因素F1，F(xiàn)2是定性的，則根據(jù)敏感程度，由主觀判斷來估計(jì)預(yù)期收益率ri。

在證券市場(chǎng)中，套利通常需要考慮交易費(fèi)。因此，在有交易費(fèi)時(shí)，雙因素影響下的套利條件為：

令Δx1=m，代入（16）式的前兩個(gè)等式中得：

由（17）式解得：

將Δx1，Δx2，Δx3的值代入（16）式中的第3式中，得出：

只要上面的不等式成立，就存在套利機(jī)會(huì)。

由于在短期內(nèi)對(duì)股票的影響因素相對(duì)較少，因此在進(jìn)行套利分析時(shí)，通常采用單因素模型和雙因素模型。而對(duì)于影響因素可能多于兩種的情況，則可以采取篩選的方法，選擇影響最大的兩個(gè)因素，利用雙因素模型來進(jìn)行研究。投資者持有的股票組合可能多于三支，投資者只需將所有股票分成若干種三支股票的組合，利用單因素模型和雙因素模型進(jìn)行分析后，尋找最佳的套利組合來進(jìn)行套利。

三、結(jié)論

總之，套利相對(duì)于投機(jī)者來說是一種相對(duì)新型的謀利方式，這種方式不僅風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較小（有時(shí)甚至無(wú)風(fēng)險(xiǎn)），而且還可以謀取利潤(rùn)。相對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)較大的市場(chǎng)，套利技術(shù)的應(yīng)用無(wú)疑是投資者最有利的選擇。但要真正掌握好套利技術(shù)，不僅對(duì)影響因素要有準(zhǔn)確的估計(jì)，還要敏銳地把握住時(shí)機(jī)，這一切尤其需要大量的實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)作為堅(jiān)實(shí)的后盾。

應(yīng)該說，套利定價(jià)模型僅僅是一個(gè)模型而已，它對(duì)實(shí)踐的擬合程度再高，模型設(shè)定得再合理，也只是一個(gè)近似的概念，不可能做到百分百的復(fù)制。實(shí)踐中，我們不能期望應(yīng)用某個(gè)神奇的模型而獲利豐厚。“套利”為“投機(jī)”設(shè)置了極限，國(guó)外專業(yè)投資基金幾十年、上百年的業(yè)績(jī)分析報(bào)告也證明了這一點(diǎn)。理論要為實(shí)踐服務(wù)，理論是實(shí)踐的指導(dǎo)，理論本身就是寶貴的精神財(cái)富，理解、認(rèn)識(shí)套利定價(jià)模型不僅可以填補(bǔ)在認(rèn)識(shí)領(lǐng)域中的空白，也讓我們?cè)趯?shí)踐中更主動(dòng)、更沉穩(wěn)。

[1]哈姆·勒威、馬歇爾·薩納特著，陳云賢、朱敢林譯：證券投資組合與選擇[M].中山大學(xué)出版社，1995.

[2]黃良文：投資估價(jià)原理[M].北京科學(xué)出版社，2002.

[3]葉永剛：金融工程概論[M].武漢大學(xué)出版社，2000.

[4]王濤明：證券投資風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量、預(yù)測(cè)與控制[M].上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2003.

（責(zé)任編輯：李文斐）

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