喬元波,樸大雄

(中國海洋大學數(shù)學科學學院,山東青島266100)

有效Hamilton函數(shù)存在唯一性的一個幾何證明

喬元波,樸大雄

(中國海洋大學數(shù)學科學學院,山東青島266100)

本文參考Fathi和Siconolfi的思想,對擬凸的Hamilton-Jacobi方程的有效Hamilton函數(shù)的存在唯一性給出一個幾何化證明,并給出有效Hamilton函數(shù)H(P)的5個不同表達式。

擬凸Hamilton函數(shù);有效Hamilton函數(shù);Hamilton-Jacobi方程;黏性解

0 引言

考慮Hamilton-Jacobi方程H(x,P+Du)=a,a∈R為參數(shù)。Lions,Papanicolaou和Varadhan曾證明了如下結(jié)果[1]:

當H∈C(TN×RN)且|lpi|m→∞H(x,p)=+∞對x∈TN一致成立時,存在唯一的a∈R使得方程H(x,P+ Du)=a存在全局黏性解,記此唯一的a∈R為H(P),稱為有效Hamilton函數(shù),其中TN表示平坦環(huán)面, p∈RN為變量,P∈RN為常量。

他們通過考慮逼近方程H(y,P+Dyvα)+αvα=0的解來證明了H(P)的存在性,通過采用比較原理和反證法證明了H(P)的唯一性。

Fathi和Siconolfi[2]考慮了擬凸的Hamilton-Jacobi方程H(x,Du)=a,并對此方程證明了上述結(jié)果。他們的證明是一種幾何化的證明方法,簡單自足,并且給出了H(0)的一個表達式:

H(0)=inf{a:方程H(x,Du)=a存在黏性下解}。

另外,Fathi[3]使用Lax-Oleinik半群也證明了類似的結(jié)果。另見Evans[4]。

本文根據(jù)一個基本的事實,即凸集平移之后仍為凸集,參考Fathi和Siconolfi思想,對擬凸的Hamilton-Jacobi方程的有效Hamilton函數(shù)的存在唯一性給出一個幾何化證明,并給出H(P)的5個不同表達式。

1 基本假設與預備知識

關于Hamilton函數(shù)H的一些假設。TN表示平坦環(huán)面,其上賦予由RN上的歐氏度量誘導的平坦的黎曼度量。Hamilton函數(shù)H定義在TN的余切叢T TN= TN×RN上,且滿足:H(x,p)=+∞對x∈TN一致成立。

B(x,r)表示中心為x,半徑為r的開球。對于RN中的任一集合C,d(·,C)表示到集合C的距離,通過公式d#(·,C)=2d(·,C)-d(·,?C)定義到集合C的有向距離。當集合C為凸集時,有向距離d#(·,C)為一凸函數(shù)。若C為一凸閉集,則對任意v∈RN,定義σC(v)=sup{pv:p∈C},定義點p∈C關于C的法錐為NC(p)={v:pv=σC(v)}。

下面給出黏性解的定義。

定義1 (黏性解)稱連續(xù)函數(shù)u:TN→R為方程H(x, P+Du)=a的一個黏性下解,若對任一C1函數(shù)φ:TN→R,φ≥u,在每一使得φ(x0)=u(x0)的點x0滿足H(x,P+Dφ)≤a;稱連續(xù)函數(shù)u:TN→R為方程H(x,P+Du)=a的一個黏性上解,若對任一C1函數(shù)φ:TN→R,φ≤u,在每一使得φ(x0)=u(x0)的點x0滿足H(x,P+Dφ)≥a;若函數(shù)u既為黏性下解,又為黏性上解,則稱u:TN→R為方程H(x,P+Du)=a的一個黏性解。

稱上述定義中的檢驗函數(shù)φ為一條上切線,φ為一條下切線。

定義2 (嚴格黏性下解)稱一個黏性下解u:TN→R為方程H(x,P+Du)=a在點x0的一個嚴格黏性下解,若存在點x0的一個開鄰域Vx0和某一ax0

對任意x∈TN,a∈R,

(H2){(y,p):H(y,p)≤a}為緊集;

(H3){p:H(x,p)≤a}為凸集;

(H4)?{p:H(x,p)≤a}={p:H(x,p)=a},其中?A表示集合A的邊界。

注1 條件(H2)等價于Hamilton函數(shù)H強制,即u|Vx0為方程H(x,P+Du)=ax0的一個黏性下解。稱一個黏性下解u:TN→R為方程H(x,P+Du)=a在開集B上的一個嚴格黏性下解,若對幾乎所有的x∈B,H(x,P+Du)≤a 對某一a

對任意給定的a,x,p,v,P,定義Za(x)={p: H(x,p)≤a},ZPa(x)=Za(x)-P,σa(x,v)=σZa(x)(v), σPa(x,v)=σZPa(x)(v)。

對于給定的a∈R,P∈RN,對任一x∈TN,ZPa(x)≠?。一個連續(xù)函數(shù)u為方程H(x,P+Du)=a的一個黏性下解當且僅當d#(Dφ(x),ZPa(x))≤0,對任意x∈TN,任意C1上切線φ成立,連續(xù)函數(shù)u為方程H(x,P+Du)=a的一個黏性上解當且僅當

d#(Dφ(x),ZPa(x))≥0,對任意x∈TN,任意C1下切線φ成立。

黏性下解的2個基本性質(zhì):

(1)一族黏性下解的上確界仍為黏性下解;

(2)若方程H(x,P+Du)=an,an→a的一列黏性下解un一致收斂于某個函數(shù)u,則u為方程H(x,P+Du) =a的一個黏性下解。

關于黏性解的基本知識可見Crandall,Evans,Lions[5],Bardi,Capuzzo-Dolcetta[6]。

2 定理及其證明

定理1 假設Hamilton函數(shù)H滿足條件(H1)-(H4),則存在唯一的a∈R使得方程

存在全局黏性解,記此唯一的a∈R為H(P),且

H(P)=inf{a:方程H(x,P+Du)=a存在黏性下解}。為證明此定理,先證明幾個引理。

引理1 Hamilton-Jacobi方程(1)的任一黏性下解uL-ipschitz連續(xù)。

證明 固定x∈TN,考慮函數(shù)φ(y)=u(y)-C|y-x|,其中C>0為一待定常數(shù)。由函數(shù)φ的連續(xù)性及TN的緊性,存在y∈TN使得函數(shù)φ(y)取得最大值,即φ(y)=。斷言當C>0充分大時,y =x。假若y≠x,則由于u為方程(1)的黏性下解,而函數(shù)y→C|y-x|在y=y≠x處可微,由黏性下解的定義,有

當C>0充分大(不依賴于點x的選擇)時,上式與Hamilton函數(shù)H的強制性矛盾。因此,當C充分大時,y=x。于是,u(y)-C|y-x|≤u(y)-C(y)-x=u(x),?y∈TN。

交換x與y的位置,即得|u(x)-u(y)|≤C|y-x|。證畢。

注2 由上述證明過程可知,Hamilton-Jacobi方程(1)的一族黏性下解是等度Lipschitz連續(xù)的。上述證明思想來自Bardi和Capuzzo-Dolcetta[6]。

引理2 若當a=a1時,Hamilton-Jacobi方程(1)存在黏性下解u,當a=a2時,Hamilton-Jacobi方程(1)存在黏性上解v,則a1≥a2。

證明 用uδ表示函數(shù)u的光滑化,ζδ表示標準的C∞光滑化子。由有向距離d#(·,ZPa1(x))的凸性,利用Jensen不等式,有

因此,對于任意給定的ε>0可以選取δ>0,使得C∞函數(shù)uδ滿足

若x0為v-uδ的一個最小值點,則uδ為v在點x0的1條下切線。由v為方程(1)的1個上解,可知下式成立:

由(2)(3)可得,a2≤a1+ε。再由ε>0的任意性,可知a1≥a2。證畢。

由上述引理可知,唯一可能使得Hamilton-Jacobi方程H(x,P+Du)=a存在黏性解的a∈R為H(P)= inf{a:方程H(x,P+Du)=a存在黏性下解}。下面將證明對于此唯一的H(P)∈R,方程

確實存在黏性解。

引理3 給定y∈TN,定義

wy(x)=sup{u(x):u(x)為方程(4)的下解且u(y)= 0},則wy(x)在TN上為方程(4)的黏性下解,在TN {y}上為方程(4)的黏性解。

證明 首先說明wy(x)的定義的合理性。只需說明方程(4)的下解的集合非空即可。

利用黏性下解的基本性質(zhì)(1)可知wy為方程H(x,P+Du)=H(P)的1個黏性下解,故只需再證明wy(x)在TN{y}上為方程(4)的黏性上解即可。

類似于引理3中Ψy(x)的構(gòu)造,用φy代替φ,選取適當?shù)摩?0和r>0,可以找到方程(4)的1個黏性下解uy,使得uy在某個球B(y,r)內(nèi)為C1的,且

利用TN的緊性,選取TN的1個有限覆蓋Byi,i=1,2,…,n。

這表明u為方程H(x,P+Du)=H(P)的一個嚴格黏性下解,與H(P)的定義矛盾。證畢。

注3 上述定理的證明表明,方程H(x,P+Du)= H(P)必定有形如

wy(x)=sup{u(x):u(x)為方程(4)的下解且u(y)=0}的黏性解。確定哪些y使得wy(x)為方程的黏性解是一件很有意義的事。Fathi和Siconolfi[2]證明了當且僅當y∈A,A為投影Aubry集時,wy(x)為方程的黏性解。

定理1的證明 由定理2可知存在性成立,由H(P)的表示式

H(P)=inf{a:方程H(x,P+Du)=a存在黏性下解}知唯一性成立。證畢。

推論 H(P)關于P連續(xù)。

證明 由H(P)=inf{a:方程H(x,P+Du)=a存在黏性下解}及H(x,p)的連續(xù)性即可得到。證畢。

Lions,Papanicolaou和Varadhan還證明了如下結(jié)果:若對a∈R,方程H(x,P+Du)=a存在黏性下解,則a≥H(P);若方程H(x,P+Du)=a存在黏性上解,則a≤H (P)。事實上,上述命題的逆命題也是成立的,并且有如下更強的結(jié)果。

由此命題,可以得到如下的H(P)的表示式:

定理3 H(P)=inf{a:方程H(x,P+Du)=a存在黏

性下解}=

sup{a:方程H(x,P+Du)=a存在黏性上解}=

inf{a:方程H(x,P+Du)=a存在嚴格黏性下解}=

sup{a:方程H(x,P+Du)=a存在嚴格黏性上解}=

inf{a:方程H(x,P+Du)=a存在光滑下解}。

由引理2的證明過程可知,若u為方程H(x,P+Du)=a的黏性下解,則uδ為方程H(x,P+Du)=a+ ε的黏性下解,因此若u為方程H(x,P+Du)=a的嚴格黏性下解,則uδ為方程H(x,P+Du)=a的黏性下解。由H(P)的第三個表達式可知最后一個表達式成立。證畢。

注4 由于黏性上解不一定Lipschitz連續(xù),從而不能保證幾乎處處可微,因此引理2的證明對于黏性上解不適用。

注5 關于在更強的條件下,H(P)的更多的性質(zhì)及更多的表達式可見Evans和Gomes[7],Evans[8-9]。

[1] Evans L C.Weak KAM Theory and Partial Differential Equations.//Dacorogna B,Marcellini P Eds.Calculus of Variations and Nonlinear Partial Differential Equations[C].Berlin:Springer-Verlag,2008:123-154.

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[5] Crandall M G,Evans L C,Lions P L.Some Properties of Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi equations[J].Trans Amer Math Soc,1984,282(2):487-502.

[6] Bardi M,Capuzzo-Dolcetta I.Optimal control and viscosity solutionsof Hamilton-Jacobi-Bellman equations[M].Boston:Birkh?user, 1997.

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[9] Evans L C.A survey of partial differential equations methods in weak KAM theory[J].Comm Pure Appl Math,2004,57(4): 445-480.

Abstract: Following the approach of Fathi and Siconolfi we present a geometric proof of existence and uniqueness of effective Hamiltonians of quasiconvex Hamilton-Jacobi equations.Five expressions of the effective Hamiltonian function were also given.

Key words: quasiconvex Hamiltonians;effective Hamiltonian;Hamilton-Jacobi equations;viscosity solutions

AMS Subject Classifications: 35B27,35B40

責任編輯 朱寶象

A Geometric Proof of Existence and Uniqueness of Effective Hamiltonians of Quasiconvex Hamilton-Jacobi Equations

QIAO Yuan-Bo,PIAO Da-Xiong
(School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

O179.29

A

1672-5174(2010)09Ⅱ-226-04

2009-09-15;

2010-05-25

喬元波(1985-),男,碩士生。E-mail:qiao_yuanbo@126.com