陳智鵬, 李 淵, 胡之惠, 楊 宇, 俞俊瑋

(上海電機(jī)學(xué)院電子信息學(xué)院,上海200240)

利用GHZ態(tài)和EPR態(tài)隱形傳送四粒子團(tuán)簇態(tài)

陳智鵬, 李 淵, 胡之惠, 楊 宇, 俞俊瑋

(上海電機(jī)學(xué)院電子信息學(xué)院,上海200240)

提出了1個(gè)四粒子團(tuán)簇態(tài)隱形傳送的理論方案。該方案利用1個(gè)三粒子 Greenberger Horne Zeilinger(GHZ)態(tài)和2個(gè) Einstein Podolsky Rosen(EPR)態(tài)作為量子信道,對(duì)Alice擁有的粒子進(jìn)行3次Bell基測(cè)量和1次投影測(cè)量,使得Bob端的4個(gè)粒子建立起糾纏關(guān)系,根據(jù)測(cè)量結(jié)果再對(duì)這4個(gè)粒子做相應(yīng)的局域酉變換,完全在Bob端恢復(fù)出Alice端的團(tuán)簇態(tài),最終實(shí)現(xiàn)任意四粒子團(tuán)簇態(tài)的隱形傳送。

GHZ態(tài);EPR態(tài);隱形傳態(tài);團(tuán)簇態(tài);酉變換

Abstract：We propose a theoretical scheme for teleportation of four-particle cluster state using a three-particle Greenberger Horne Zeilinger(GHZ)states and two Einstein Podolsky Rosen(EPR)states as a quantum channel.Alice processes the particles using 3 Bell-basis measurements and a projection measurement.The entangled relation of the 4 particles is established on the Bob side.According to the measurements resalts,Bob processes these 4 particles using corresponding local unitary transformation,and the cluster state on the Alice side is completely recovered on the Bob side.Finally,teleportation of arbitrary four-particle cluster state is achieved.

Key words:Greenberger Horn Zeilinger(GHZ)state;Einstein Podolsky Rosen(EPR)state;teleportation;cluster state;unitary transformation

1993年,Bennett等人[1]首次提出了利用經(jīng)典信道和Einstein Podolsky Roson(EPR)信道傳送未知單粒子量子態(tài),由此誕生了量子隱形傳態(tài)的概念,從而開創(chuàng)了量子信息領(lǐng)域的一個(gè)全新方向。

在此基礎(chǔ)上,Yan[2]提出了任意二粒子糾纏態(tài)隱形傳態(tài)的方法;對(duì)于任意三粒子糾纏態(tài)的隱形傳送,Dur[3]指出,利用隨機(jī)性局域操作和經(jīng)典通信(Stochastic Local Operation and Classical Communication,SLOCC)的方法,可以將任意三粒子糾纏態(tài)的隱形傳送轉(zhuǎn)化為三粒子Greenber-ger Horne Zeiling(GHZ)態(tài)|ψGHZ〉和三粒子 W態(tài)|ψW〉的隱形傳送,而這兩種量子態(tài)的隱形傳送已有許多現(xiàn)成的方法可以完成[4-8]。

式中,αi為系數(shù),可取任意復(fù)數(shù)值。

這樣二粒子和三粒子糾纏態(tài)的隱形傳送在原則上已得以解決。之后自然就引出了四粒子糾纏態(tài)的隱形傳送的問(wèn)題,四粒子糾纏態(tài)也有 GHZ態(tài)和W態(tài)的形式:

這兩種狀態(tài)的隱形傳送可以仿照三粒子糾纏態(tài)的傳送得以解決,但無(wú)論是四粒子糾纏態(tài)還是三粒子糾纏態(tài)都不具備一種狀態(tài)——團(tuán)簇態(tài)[9](Cluster States),這是 Raussendorf和 Briegel于2001年提出一種新的糾纏態(tài):只有在粒子數(shù) N>3時(shí),才能顯示出團(tuán)簇態(tài)的性質(zhì)。所以4個(gè)粒子是N粒子糾纏態(tài)要顯示團(tuán)簇態(tài)所需的最小數(shù)目,其一般形式為

本文利用1個(gè)三粒子 GHZ態(tài)和2個(gè) EPR態(tài)作為量子信道,實(shí)現(xiàn)了四粒子團(tuán)簇態(tài)的隱形傳態(tài)。

1 Alice和Bob端的初始粒子狀態(tài)

設(shè) Alice端擁有粒子 1、2、3、4、5、8、10,Bob端擁有粒子 6、7、9、11,其中粒子 1、2、3、4 處于某一未知團(tuán)簇態(tài),則

式中,β,γ,χ均為系數(shù),可取任意復(fù)數(shù)值。

Alice和Bob共享3個(gè)量子通道,其中一個(gè)是處于最大 GHZ態(tài)的粒子5、6、7,則

另2個(gè)都處于 EPR態(tài),分別是粒子8、9和粒子10、11,

圖1所示為Alice和Bob正常的粒子初始狀態(tài)。

圖1 Alice和Bob處的粒子初始狀態(tài)Fig.1 Initial particle states on Alice side and Bob side

筆者的目的是將位于Alice端糾纏于粒子1、2、3、4上的未知團(tuán)簇態(tài),通過(guò)上述3個(gè)量子通道和經(jīng)典信道傳送到Bob端的粒子6、7、9、11上,從而完成隱形傳態(tài)。該過(guò)程主要分為 2個(gè)步驟:①Alice端進(jìn)行的Bell基測(cè)量和投影測(cè)量;②Bob端根據(jù)Alice告知測(cè)量結(jié)果,對(duì)粒子所做的相應(yīng)局域酉變換。

2 Alice端的測(cè)量

根據(jù)量子力學(xué)的原理,可知粒子1～11構(gòu)成的11粒子所處的量子態(tài)為

式中,?為張量積運(yùn)算。

為了解除Alice端與Bob端間粒子的糾纏,建立Bob端粒子6、7、9、11的糾纏,從而實(shí)現(xiàn)四粒子團(tuán)簇態(tài)的隱形傳態(tài),Alice端需要做如下測(cè)量:

(1)Bell基測(cè)量BM15。Alice對(duì)其擁有的粒子1、5做Bell基測(cè)量。該Bell基為

測(cè)量后,破壞了粒子 1、2、3、4的團(tuán)簇態(tài)以及粒子5、6、7的 GHZ態(tài),而建立起了 1、5之間的EPR態(tài)。測(cè)后狀態(tài)如圖2所示。

圖2 Alice端進(jìn)行 BM15后的粒子狀態(tài)Fig.2 Particles states after BM15on Alice side

(2)BM28。Alice再對(duì)粒子2、8做Bell基測(cè)量。測(cè)后狀態(tài)如圖3所示。

(3)BM10,11。Alice再對(duì)粒子 10、11做Bell基測(cè)量。測(cè)后狀態(tài)如圖4所示。

(4)投影測(cè)量。Alice對(duì)粒子4做以|+〉、|-〉為基的投影測(cè)量,該基為

從而解除粒子4與粒子6、7、9、11的糾纏,使粒子6、7、9、11成為準(zhǔn)團(tuán)簇態(tài)(只要再做相應(yīng)的局域酉變換則可稱為團(tuán)簇態(tài))。測(cè)后狀態(tài)如圖5所示。

圖5 Alice端進(jìn)行投影測(cè)量后的粒子狀態(tài)Fig.5 Particle states after projection measurement on Alice side

對(duì)應(yīng)于Alice端測(cè)量的不同結(jié)果,Bob端的粒子 6、7、9、11 可能處于的狀態(tài)為式中,±ij是根據(jù)粒子i,j所測(cè)得的狀態(tài)來(lái)決定正負(fù)。如式中的±34的正負(fù)是由粒子3、4的測(cè)得狀態(tài)|φ±〉3,10,|±〉4所決定。

根據(jù)粒子1、2、3、4測(cè)得狀態(tài)的不同符號(hào),可將所有結(jié)果列于表1中。

表1 Alice端測(cè)得狀態(tài)與Bob端可能結(jié)果之間的符號(hào)關(guān)系Tab.1 Sign relationship between measured states on Alice side and possible results on Bob side

由表 1可見,雖然粒子 1、2、3、4測(cè)得狀態(tài)的符號(hào)組合共有16種,但由于?1234的符號(hào)完全由±34和±12決定 ,故最終結(jié)果中β,γ,χ的符號(hào)組合只有 4種:(+,+,-)、(+,-,+)、(-,+,-)和(-,-,+),Bob端的粒子 6、7、9、11 可能處于的狀態(tài)共計(jì)8×4=32種。

3 Bob端的局域酉變換

Alice通過(guò)經(jīng)典信道將BM15,BM28,BM10,11和投影測(cè)量得到的結(jié)果告知Bob端,Bob端根據(jù)不同的結(jié)果選擇相應(yīng)的局域酉變換算子,將粒子6、7、9、11 恢復(fù)為團(tuán)簇態(tài)。

通過(guò)對(duì)Bob端粒子 6、7、9、11的可能結(jié)果進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn),要恢復(fù)為Alice端的團(tuán)簇態(tài),必須對(duì)其中某些粒子進(jìn)行比特翻轉(zhuǎn),另外還需調(diào)整正負(fù)號(hào)。故采用的酉矩陣為

式中 ,σz為泡利矩陣

若Alice端得到的測(cè)量結(jié)果為〈φ|15,〈φ|28,〈φ|3,10,〈+|4,則粒子6、7、9、11的狀態(tài)為

令酉矩陣 U比特翻轉(zhuǎn)= (aij)16×16,其中

則 U比特翻轉(zhuǎn)〈ψ|6,7,9,11=(α|0000〉+β|0011〉+

即為團(tuán)簇態(tài)。由于結(jié)果中的正負(fù)號(hào)無(wú)需調(diào)整,則U(σz)=I,其中 I為單位矩陣。

根據(jù)Alice端測(cè)得的不同結(jié)果,Bob端所要進(jìn)行的酉變換如表2和表3所示。變換后,Bob端可在粒子 6、7、9、11上完全恢復(fù)出 Alice端粒子1、2、3、4所具有的未知團(tuán)簇態(tài),從而實(shí)現(xiàn)團(tuán)簇態(tài)的隱形傳送。

表2 Bob根據(jù)表1調(diào)整正負(fù)號(hào)Tab.2 U(σz)used by Bob according to the Table1

表3 Bob根據(jù)Alice測(cè)得結(jié)果進(jìn)行比特翻轉(zhuǎn)Tab.3 Bit flip used by Bob according to the result on Alice side

4 結(jié) 語(yǔ)

自Bennett等人提出隱形傳態(tài)的概念后,該領(lǐng)域涌現(xiàn)出了大量的研究成果,對(duì)二粒子和三粒子的隱形傳態(tài)研究得比較透徹,而四粒子的隱形傳態(tài)尚未完全解決?；诖?本文提出了一種任意未知四粒子團(tuán)簇態(tài)的隱形傳送方案,為任意四粒子的隱形傳態(tài)提供了一些便利。

該方案利用1個(gè)三粒子 GHZ態(tài)和 2個(gè)EPR態(tài)作為量子信道,對(duì) Alice擁有的粒子進(jìn)行3次Bell基測(cè)量和一次投影測(cè)量,解除三粒子 GHZ糾纏和2個(gè)二粒子EPR糾纏,而在Bob端的4個(gè)粒子間建立起準(zhǔn)團(tuán)簇態(tài)糾纏關(guān)系,Bob根據(jù)Alice的測(cè)量結(jié)果再對(duì)這4個(gè)粒子做相應(yīng)的局域酉變換,完全恢復(fù)出Alice端的未知團(tuán)簇態(tài),最終實(shí)現(xiàn)任意四粒子團(tuán)簇態(tài)的隱形傳送。該方案的全過(guò)程都有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo),從理論上論證了其正確性。

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Teleportation of Four Particle Cluster State Using GHZ State and EPR State

C H EN Zhipeng, L I Yuan, HU Zhihui, YAN GYu, YU J unwei
(School of Electronics and Information,Shanghai Dianji University,Shanghai 200240,China)

TN 911.2

A

1671-2730(2010)03-0135-05

2010-04-11

上海市高校選拔培養(yǎng)優(yōu)秀青年教師科研專項(xiàng)基金項(xiàng)目(sdj08005)

陳智鵬(1982-),男,助教,專業(yè)方向?yàn)榱孔油ㄐ?E-mail:chenzp@sdju.edu.cn