皮道銳 黃元申 張大偉 倪爭技 莊松林

(上海理工大學光電信息與計算機工程學院,上海 200093)

寬光譜平像場全息凹面光柵的優(yōu)化研究＊

皮道銳 黃元申?張大偉 倪爭技 莊松林

(上海理工大學光電信息與計算機工程學院,上海 200093)

(2009年2月27日收到;2009年5月14日收到修改稿)

基于凹面光柵的幾何理論,推導了子午、弧矢聚焦曲線的數學表達式和全息平像場凹面光柵制作參數的計算關系式.提出了一種新的在整個使用波長范圍內同時消除子午和弧矢像差的最佳優(yōu)化設計方法.這種方法不同于以光線追跡技術為基礎的標準光學設計軟件如CODE V或ZEMAX的優(yōu)化設計方法,而是從數學表達式出發(fā),采用光柵優(yōu)化因子,對凹面光柵的子午聚焦曲線和弧矢聚焦曲線進行擬合,從理論上找到最佳的能夠使子午和弧矢像差同時趨于零的像平面,然后再根據擬合參數設計制作光柵.用Matlab軟件解決了子午聚焦曲線超越方程無法解的困難;討論了不同光柵常數和入射角度時對兩聚焦曲線擬合程度的影響.提出了在寬光譜使用條件下,可以通過減小入射角度和光柵刻線數來提高光譜像質.

凹面光柵,寬光譜,像差,聚焦曲線

PACC:4240E,0765E

1.引言

全息凹面光柵同時具有分光和聚焦光學元件的特性,廣泛應用于各種光譜分析儀器中,而其中應用最廣泛的是平像場全息凹面光柵.這種光柵的光譜連續(xù)分布在一個平面上,非常適合與面陣探測器結合使用,達到高速分析的目的,并實現儀器的小型化和輕型化.自Rowland提出凹面光柵以來,凹面光柵理論得到了不斷的發(fā)展[1—5].1945年, Beutler[6]總結并建立了使用條件在Rowland圓上的凹面光柵理論,消除了子午像差,但其缺點是像點在遠離凹面球心時具有較大的弧矢像差.20世紀70年代,Namioka等[7]建立了比較完善的凹面光柵幾何理論,適用于各種全息和機刻凹面光柵[8,9].文獻[10—12]對一些特殊的非球面凹面光柵進行了理論研究.在過去的幾十年里,以這些理論為基礎,采用各種優(yōu)化設計方法,制作了大量全息凹面光柵,如文獻[13]用幾何光學方法計算優(yōu)化球面光柵以及非球面光柵,文獻[14]用最小二乘法計算優(yōu)化全息凹面光柵,文獻[15]用全息補償法優(yōu)化像差.近年來為滿足面陣光譜探測器使用和遙感圖像等二維圖像信息分析的需要[16],對優(yōu)化設計具有寬光譜平像場的全息凹面光柵提出了要求[17].目前全息凹面光柵的設計方法主要有兩種,一種是采用標準的光學設計軟件CODE V或ZEMAX進行優(yōu)化設計,它們是根據光線追跡的點列圖評價像差然后逐步優(yōu)化逼近的思路進行設計的,不能達到在全部使用的波長范圍內同時消除子午和弧矢像差的目的.另一種方法是將入射狹縫放置在球心位置,入射角為0°,臆斷這種條件下子午聚焦曲線最接近像平面.

本文以凹面光柵的幾何理論為基礎,提出了一種新的能夠在全部使用波長范圍內同時消除子午和弧矢像差,適合寬光譜平像場全息凹面光柵的優(yōu)化設計方法.這個方法是采用光柵優(yōu)化因子,先在Matlab軟件平臺上對全息凹面光柵子午聚焦曲線和弧矢聚焦曲線進行擬合,即在擬合的像平面上子午和弧矢像差同時趨于零,然后再根據擬合參數設計制作光柵,并且討論了不同光柵常數和入射角度對擬合的影響程度.提出了在寬光譜使用條件下,可以通過減小入射角度和光柵刻線數來提高光譜像質.

2.全息凹面光柵的像差理論

如圖1所示,凹面光柵垂直水平面放置,O為凹面光柵中心,x軸為光柵表面法線,xy平面平行于水平面.光柵面曲率半徑為R.考慮到大多數光柵裝置的入縫都是垂直并對稱于xy平面的,為了簡化問題,選擇入縫中點來建立光程函數.假定波長為λ的光線從入縫中點A(rAcosα,rBcosα,0)經光柵表面上任意點P(x,y,z)衍射到像點B(rBcosβ,rBsinβ, 0),則光線APB的光程函數為

其中k為光柵衍射級次,m為P點到O點的刻線數.對上式進行冪級數展開

其中,

光柵函數m(y,z)是一個表示凹面光柵表面刻線分布的函數,其m(0,0)=0,并可以展開成以下冪級數形式:

其中e0是光柵中心處刻線間隔,uij為常數,定義為優(yōu)化因子.m(y,z)的整數值就是P點到O點的刻

由(2)和(4)式并應用費馬原理得

圖1 全息平場凹面光柵光路

其中

顯然凹面光柵理想成像時,光程函數F≡0,即要求所有Fij≡0,但是無論怎樣選擇uij值都不可能滿足這個要求.每一項Fij≠0代表一種像差.所謂消除凹面光柵像差只是在一定程度上消除某些項的像差.令

那么在一定的使用波長范圍(λ1—λ2)內,消除Fij項的像差就是對Iij求最小值.將(6)式代入(7)式并將Iij對uij求導可以得到

其中β1=arcsin(kλ1/e0-sinα),β2=arcsin(kλ2/e0-sinα).

優(yōu)化因子uij確定以后,凹面光柵的刻線分布m(y,z)也就確定了,即設計了滿足使用條件的,同時消除了某些項像差的凹面光柵.

3.全息凹面光柵的點光源制作設計

如圖1所示,C,D是兩個在xy平面上制作點光源,光線CO,DO的長度分別為r1和r2,與x軸的夾角為θ1和θ2,λ0為制作激光的波長.那么

將其展開成冪級數得

其中,

顯然全息凹面光柵的刻線分布由記錄點光源的四個位置參數(r1,r2,θ1,θ2)和激光波長λ0決定.比較(4)和(10)式,雖然形式相同,但前者中的uij值可以任意選擇,通過某一種選擇獲得最佳刻線分布;后者是由兩個點光源形成的刻線函數,Hij由四個記錄參數確定.為了使點光源制作后的光柵具有最佳刻線分布,必須滿足

由(12)式可知通過調整Hij中包含的四個制作參數,最多可以滿足四個uij的取值要求.聯立四個方程,解出四個制作參數,用這組參數制作出的光柵就能夠滿足四個uij值.

4.全息凹面光柵的優(yōu)化設計

因為低級像差比高級像差對像質的影響大,所以消像差主要是消除y2和z2項的像差,即要找到能夠使F20和F02都趨于零的像平面.y2項代表子午像差;z2項代表弧矢像差.方程F20=0和F02=0中包含參數rA,rB,α,β和u20或u02,其中rA,α是入縫位置參數,rB,β是像面位置參數,u20和u02為優(yōu)化因子.在入縫位置和優(yōu)化因子確定以后,它們是關于像面位置參數的兩條曲線,F20rB,β=M20-u20M10=0稱為子午聚焦曲線,曲線上子午像差為零;稱為弧矢聚焦曲線,曲線上弧矢像差為零.因此可以用優(yōu)化因子和入縫位置參數來優(yōu)化設計凹面光柵,找到子午和弧矢聚焦曲線擬合的像平面.

對凹面光柵的分類,本文采用大多數文章的提法,即法國Jobin-Yvon公司的分類方法,將光柵分為Ⅰ—Ⅳ型凹面光柵.本文討論的平像場光柵即為Ⅲ型凹面光柵,其規(guī)定為

根據點光源制作條件,選取四個uij分別為u10,u02,u30=0,u20≠0,那么這種平像場凹面光柵的弧矢聚焦曲線為

子午聚焦曲線為

擬合的方法就是通過u20值來使子午聚焦曲線最大限度地接近像平面.

由(8)式得

u20和方程(14)都與rA,α和rB,β以及波長范圍(λ1—λ2)和刻線數1/e0有關,但是滿足u20的像面參數rB, β不一定滿足方程(14).因此我們可以通過改變入縫位置參數rA,α或在滿足使用條件的情況下改變刻線數1/e0來擬合子午和弧矢聚焦曲線.方程(14)是一個超越方程,采用一般的方法無法求解.這部分工作我們用計算機仿真模擬,在確定使用條件以后,對α在[-90,0]內賦值,不同的α值對應的兩條聚焦曲線的擬合度不一樣,直到找到最佳擬合時的u20值,再根據這個u20值計算出制作參數.用這樣的制作參數制作的全息凹面光柵,可以達到在寬光譜使用的平像場平面內同時消除子午和弧矢像差.

5.計算機仿真模擬及結果分析

圖2 光柵刻線數為1200 g/mm,波長范圍為190—400 nm時,不同入射角度對像差的影響 (a)入射角為0°,(b)入射角為10°,(c)入射角為20°

如圖2—4所示,實線為使用條件下入射光線,帶正方形標記和帶三角標記的實線之間為-1級衍射光的使用波長范圍,點虛線為子午聚焦曲線及其漸近線,圓點線為弧矢聚焦曲線,同時將像平面放在這個平面上,(0,0)為凹面光柵中心.這些圖給出了在不同的入射角度、刻線數時,使用波長范圍內子午和弧矢聚焦曲線的擬合情況.

5.1.不同入射角度對像差的影響

圖2的凹面光柵光柵刻線數為1200 g/mm,使用波長范圍為190—400 nm.入射角度分別為0°, 10°,20°.0°時,子午聚焦曲線斜率與弧矢聚焦像平面相差較大;10°時,很好地擬合在一起,而20°時,只有一個交點,其余均有很大的像差.可見0°入射并非是最佳設計,臆斷這種條件下子午聚焦曲線最接近像平面是不嚴謹的.假如采用根據點列圖的評價不斷優(yōu)化的設計方法,很難找到在全部使用波長范圍內同時消除子午弧矢像差的最佳設計.

5.2.光柵刻線數恒定時寬光譜范圍的像差修正

圖3的凹面光柵光柵刻線數為1200 g/mm,使用波長范圍為190—600 nm.由于光譜范圍擴大,子午聚焦曲線的對應的優(yōu)化因子u20也隨之增大,增大了子午聚焦曲線在使用波長范圍內的斜率,像差也隨之增大.圖3(a)與圖2(a)相比具有更為嚴重的像差;如圖3(c)入射角度在20°時,548—600 nm波長范圍的光波成為倏逝波,而且在整個190—548 nm的波長范圍內比圖2(c)有更大的像差.如圖3 (b)入射角度在10°時,靠近長波長區(qū)域比短波長區(qū)域有更大的像差,而且曲線與圖2(c)相仿,說明使用波長范圍越寬,入射角度應該越小,具有更好的像質,因為入射角度越大,子午聚焦曲線對應的優(yōu)化常數u20越大,使用波長范圍越小.如圖3(d),入射角度為5°時修正了圖3(b)中長波長區(qū)域的像差,但由于光譜像面太長,無法找到一個合適的入射角度達到理想擬合的目的,圖3(d)的像差仍比較嚴重.

圖3 光柵刻線數為1200 g/mm,在寬光譜范圍內(190—600 nm),不同入射角度下對像差的修正 (a)入射角為0°,(b)入射角為10°,(c)入射角為20°,(d)入射角為5°

5.3.光柵刻線數的改變對像差的影響

圖4(a),(b)的凹面光柵光柵刻線數為900 g/mm,圖4(c),(d)的凹面光柵光柵刻線數為1400 g/mm,它們的使用波長范圍均為190—600 nm.

根據(8)式可知,當光柵刻線數減小時,衍射角度也隨之減小,光譜像面長度變短,有利于修正像差,但這會降低凹面光柵的分辨率.在對分辨率要求不高的光譜器件中,我們可以適當地減小光柵的光柵刻線數來修正像差.如圖4(a),(b)與圖2 (a),(b)相比擴大了使用波長范圍,同時減小了光柵的刻線數,結果子午聚焦曲線的變化趨勢一致,在入射角度為10°時像差較小.說明在寬光譜使用時,可以通過減小刻線數來提高像質,如圖4(c), (d)與圖2(a),(b)相比增加了刻線數,像差更加嚴重.

6.點列圖評價

文獻[18]對凹面光柵的光線追跡進行了詳細闡述和推導,據此編制了凹面光柵的評價程序,對以上各種設計情況進行點列圖評價,如圖5—7所示,發(fā)現兩條聚焦曲線擬合程度好的點列圖是最佳的.

7.結論

本文以凹面光柵的幾何理論為基礎,提出了一種新的在整個使用波長范圍內同時消除子午和弧矢像差的最佳優(yōu)化設計方法.從光程函數的冪級數展開出發(fā),采用光柵優(yōu)化因子,對凹面光柵的子午聚焦曲線和弧矢聚焦曲線進行擬合,從理論上找到最佳的能夠使子午和弧矢像差同時趨于零的像平面,然后再根據擬合參數設計制作光柵.討論了不同光柵常數和入射角度時對兩聚焦曲線擬合程度的影響.提出了在寬光譜使用條件下,可以通過減小入射角度和光柵刻線數來提高光譜像質.

圖4 寬光譜范圍內(190—600 nm),光柵刻線數改變對像差的影響 (a)入射角為0°,刻線數為900 g/mm;(b)入射角為10°,刻線數為900 g/mm;(c)入射角為0°,刻線數為1400 g/mm;(d)入射角為10°,刻線數為1400 g/mm

圖5 對應圖2的點列圖 (a),(b),(c)分別對應圖2(a),(b),(c)

圖6 對應圖3的點列圖 (a),(b),(c),(d)分別對應圖3(a),(b),(c),(d)

圖7 對應圖4的點列圖 (a),(b),(c)(d)分別對應圖4(a),(b),(c),(d)

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PACC:4240E,0765E

Opt im ization of the flat-field holographic concave grating in wide spectral range＊

Pi Dao-Rui Huang Yuan-Shen?ZhangDa-Wei Ni Zheng-Ji Zhuang Song-Lin

(School of Optical-Electrical and Computer Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

27 February 2009;revised manuscript

14 May 2009)

Based on the geometric theory of concave grating,we deduce the mathematical expressions of the meridional curve, Sagittal curve and the relational expression for the holographic flat-field image concave grating.We also propose a new optimal method in all used range for correcting the meridional and sagittal aberrations.Different from the design method using CODE V or ZEMAX,we use mathematical expression and adopt grating optimal factor instead.By fitting the meridional focusing curve and Sagittal focusing curve of concave grating,we find an image surface in theory to ensure that the meridional and also the Sagittal aberrations tend to zero,and then design and fabricate the grating based on the fitting parameters.We solve the problem that the meridional curve transcendental equation cannot solve byMatlab,and discuss the influence of two curves for different grating constants and different incidence angles.We find that the aberrations in a wide spectral range can be corrected by diminishing the incidence angle and increasing the grating scribed lines.

concave grating,wide spectral range,aberration,focusing curve

＊國家科技支撐計劃(批準號:2006BAK03A03)、上海市科委創(chuàng)新行動計劃(批準號:07DZ22026,08DZ2272800)和上海市自然科學基金(批準號:08ZR1415400)資助的課題.

?通訊聯系人.E-mail:hyshyq@sina.com

＊Project supported by the National Key Technology Research and Development Program of theMinistry of Science and Technology of China(Grant No.2006BAK03A03),the Shanghai Science&Technology Innovation Program,China(Grant Nos.07DZ22026,08DZ2272800),and the Natural Science Foundation of Shanghai,China(GrantNo.08ZR1415400).

?Corresponding author.E-mail:hyshyq@sina.com