徐四六 劉會平 易 林?

1)(華中科技大學(xué)物理學(xué)院,武漢 430074)

2)(咸寧學(xué)院物理系,咸寧 437100)

強非局域非線性介質(zhì)中的二維庫墨-高斯孤子簇＊

徐四六1)2)劉會平1)易 林1)?

1)(華中科技大學(xué)物理學(xué)院,武漢 430074)

2)(咸寧學(xué)院物理系,咸寧 437100)

(2009年4月21日收到;2009年5月13日收到修改稿)

利用自相似技術(shù)求解一個在強非局域非線性條件下的(2+1)維非線性薛定諤方程,得到一個精確的庫墨-高斯解析解,數(shù)值模擬與解析解的一致性表明,這種庫墨-高斯孤子形成了一類空間孤子簇.發(fā)現(xiàn)這種非局域孤子具有較大的相移.

空間光孤子,自相似技術(shù),強非局域非線性

PACC:4265S,0200,4270D

1.引言

1997年Snyder和Mitchell[1]提出強非局域非線性均勻介質(zhì)中空間孤子傳輸?shù)木€性模型,并預(yù)言在此介質(zhì)中存在穩(wěn)定的孤子解,從而引發(fā)了新一輪空間光孤子的研究熱潮[2—14].隨后通過理論預(yù)測和實驗探索,Peccianti等[15,16]證明了向列液晶是強非局域介質(zhì).不久液晶中的孤子和呼吸子解被求出,在實驗中也觀察到它們的相關(guān)傳輸現(xiàn)象[17,18].特別是近年來,一系列由特殊函數(shù)組成的孤子群相繼被找到,將這一領(lǐng)域的研究推向新的高度:如郭旗等[3]在強非局域介質(zhì)中發(fā)現(xiàn)了孤子的大相移現(xiàn)象,找到了拉蓋爾-高斯孤子和呼吸子解[19];Zhong等[20,21]研究了二維和三維強非局域介質(zhì)中孤子的傳輸規(guī)律,得到了以自相似的方式傳輸?shù)睦w爾-高斯孤子簇和三維由惠特克(whittaker)函數(shù)和厄米特-高斯(Her mite-Gauss)函數(shù)組成的孤子群.

本文基于(1+2)非線性薛定諤方程(NNLSE)模型,首先將高斯響應(yīng)函數(shù)在強非局域程度條件下進行展開,得到了在強非局域條件下光束在非線性介質(zhì)中的傳輸方程.采用自相似技術(shù),獲得了一個精確的庫墨-高斯解析解.數(shù)值模擬與解析解的一致性表明,這種庫墨-高斯孤子形成了一類空間孤子簇.我們發(fā)現(xiàn)沿著孤子的傳輸方向,相對于局域孤子,庫墨-高斯孤子有較大的相位,其與傳輸距離具有線性遞增的關(guān)系.

2.非局域非線性薛定諤方程

在非局域非線性介質(zhì)中,沿z方向傳輸?shù)墓馐难莼?可以用推廣的(2+1)維非線性薛定諤方程模型來描述,其一般表達方式可以寫成[14—16]

3.自相似孤子解

根據(jù)文獻[19,20],定義復(fù)場為ψ(z,r,φ)=A(z,r, φ)eiB(z,r),這里A(z,r,φ)和B(z,r)是實函數(shù).在極坐標(biāo)系中,橫向拉普拉斯算符是將ψ(z,r,φ)代入(2)式,并要求實部與虛部分別為零,我們可以得到如下兩個耦合的方程:

為了尋求(4)和(5)式的自相似解,我們假設(shè)振幅

和相位

將(6)—(8)式代入(5)式,利用轉(zhuǎn)換ζ=λ θ2和F=我們得到

式中m=n=0,1,2,…,分別是描述光束角向分布和徑向分布而引入的兩個物理參量,λ是非零的參數(shù). (12)式是庫墨微分方程,它的解是連帶庫墨多項式

式中λ1因此脈沖寬度由γ,β和w0決定.由(8),(11)和(13)式,可以得到如下相位和波前曲率

因此精確的自相似孤立波解可以表示為

特別地,當(dāng)λ1=1時,得到w(z)=w0,波前曲率c(z) =0和相位

4.數(shù)值分析

為了驗證解析解(14)式的有效性,我們對(1)式采用分步傅里葉算法進行數(shù)值仿真.此時我們?nèi)№憫?yīng)函數(shù)初始的光強3,λ θ2),相應(yīng)的參數(shù)選擇wm=12,μ=λ=P0=w0= a0=c0=1,q=0.

4.1.庫墨-高斯呼吸子的傳輸特征

圖1—圖3分別是孤子KGmn(此時m=2,n= 1)光束在不同λ1參數(shù)條件下,解析解與數(shù)值模擬的比較.從這3個圖中可以看出,當(dāng)λ1>1時,光束在該種介質(zhì)中傳輸,隨著傳輸距離的增加4個斑點間的間距增加,光束展寬,光強減弱;相反,當(dāng)λ1<1時,光束被壓縮,光強增強,而斑點的個數(shù)(m×2= 4)保持不變.雖然這里我們僅僅展示了一個周期內(nèi)的演化規(guī)律,但是這種周期性光斑收縮擴展的演化規(guī)律將不斷重復(fù).正因為孤立波的這種奇異的傳輸特征,我們稱之為“庫墨-高斯呼吸子”.從圖中可以看出,解析解與數(shù)值模擬符合得很好,墨庫-高斯呼吸子的傳輸是穩(wěn)定的,對于其他的初始值,能夠得到相同的結(jié)論.

4.2.墨庫-高斯孤子的傳輸特征

圖1 解析解KG21((16)式)與數(shù)值模擬((1)式)的光強在x-y平面上的輪廓分布比較 參數(shù)wm=12,μ=λ=P0=w0=1,q=0,λ1= 2.8.(a),(b),(c),(d)為解析解;(e),(f),(g),(h)為相應(yīng)的數(shù)值解;(a)和(e),(b)和(f),(c)和(g),(d)和(h)的傳輸距離分別為

圖2 解析解KG21((16)式)與數(shù)值模擬((1)式)在x方向上的歸一化的光強分布比較 點線代表解析解,虛線代表數(shù)值解,其他參數(shù)同圖1.(a),(b),(c),(d)的傳輸距離分別為

圖3 解析解KG21((16)式)與數(shù)值模擬((1)式)的光強在x-y平面上的輪廓分布比較 參數(shù)λ1=0.2,其他參數(shù)同圖1.(a),(b),(c),(d)為解析解;(e),(f),(g),(h)為相應(yīng)的數(shù)值解;(a)和(e),(b)和(f),(c)和(g),(d)和(h)的傳輸距離分別為2β γz=0,π,π,π 632

圖4 孤子KGmn的強度在x-y平面上的輪廓分布 q=0,其他參數(shù)同圖1.(a)KG02,n=2;(b)KG12,n=2;(c)KG22,n=2; (d)KG32,n=2;(e)KG01,n=1;(f)KG11,n=1;(g)KG21,n=1;(h)KG31,n=1

當(dāng)λ1=1時,得到w(z)=w0,衍射剛好與非線性抵消[20].這種情況下,KGmn光束的脈寬保持不變.由(16)式描述的這種空間孤子由兩個參數(shù)n和 m決定.對于固定的n和不同的m(或固定的m和不同的n),KGmn空間孤子形成一族孤子群,它們有如下一些共同的性質(zhì)(見圖4):1)光強分布呈現(xiàn)多層的明暗相間破缺的環(huán)形光斑,隨著半徑的增加,光斑的強度逐漸下降;2)孤子群的層數(shù)決定于量子數(shù)n,形成n+1個層,每層光斑的個數(shù)取決于量子數(shù)為m,個數(shù)為2m; 3)當(dāng)m足夠大時,斑點形成項鏈[20],并且項鏈環(huán)中能清晰地看到明環(huán)的圈數(shù)較少;4)當(dāng)m=0時光強的最大值位于傳輸中心軸上,形成高斯孤子.在強非局域條件下,當(dāng)m=0時介質(zhì)在對稱性外場作用下,對介質(zhì)進行對稱性極化,使得介質(zhì)中的光場和強度分布顯然與角分布無關(guān)[24—26].

當(dāng)q=1時,形成環(huán)狀孤子.由圖5可以清晰地看到孤子由一系列的明暗相間的光環(huán)組成,它們有共同的中心.當(dāng)m≠0時,環(huán)心的光強為零;反之,當(dāng)m=0時,光強的最大值在圓心.光強的徑向分布規(guī)律如同圖4.這種現(xiàn)象的物理來源于非局域.非局域非線性意味著介質(zhì)的極化不僅與該區(qū)域的電場有關(guān),而且與介質(zhì)的周邊區(qū)域的電場也有關(guān)[22—24].由于周邊電場的影響,導(dǎo)致光場的衰減.

圖5 孤子KGmn的強度在x-y平面上的輪廓分布 q=1,其他參數(shù)同圖4.(a)KG02,n=2;(b)KG12,n=2;(c)KG22,n=2;(d)KG32,n=2; (e)KG01,n=1;(f)KG11,n=1;(g)KG21,n=1;(h)KG31,n=1

盡管調(diào)制深度q的不同影響孤子的性質(zhì),形成渦旋孤子或多極孤子;然而由(17)式知,孤子沿傳輸方向的相位性質(zhì)決定于脈沖的初始寬度w0,量子數(shù)m,n,以及與波數(shù)相關(guān)的參數(shù)β,與q無關(guān).相位隨傳輸距離z線性增加.

5.結(jié)論

我們在極坐標(biāo)求解了強非局域(2+1)維非線性薛定諤方程.分析發(fā)現(xiàn),存在一群以自相似的方式傳輸?shù)膸炷?高斯孤子簇.通過數(shù)值模擬驗證這些自相似波,結(jié)果表明它們是穩(wěn)定的空間孤子群.

[1]SnyderA W,MitchellD J 1997Science276 1538

[2]SnyderA W,Kivshar Y 1997J.Opt.Soc.Am.B 11 3025

[3]Guo Q,Luo B,Yi F,Chi S,Xie Y 2004Phys.Rev.E 69 016602

[4]Shen Y R 1997Science276 1520

[5]KrolikowskiW,BangO 2001Phys.Rev.E 63 016610

[6]Qin X J,Guo Q 2006Acta Phys.Sin.55 1237(in Chinese) [秦曉娟、郭 旗2006物理學(xué)報55 1237]

[7]Ouyang S G,Guo Q,HuW 2006Phys.Rev.E 74 036622

[8]Parola A,Salasnich L,Reatto L 1998Phys.Rev.A 57 (R)3180

[9]Li H M 2008Chin.Phys.B 17 759

[10]DongL W,Yang X Y,Chen H Y 2008Chin.Phys.B 17 988

[11]Yang H,Tang Y 2008Chin.Phys.B 17 1008

[12]Cao L G,Lu D Q,Hu W,Yang P B,Zhu Y Q,Guo Q 2008 Acta Phys.Sin.57 6365(in Chinese)[曹龍貴、陸大全、胡 巍、楊平保、朱葉青、郭 旗2008物理學(xué)報57 6365]

[13]Long XW,Hu W,Zhang T,Guo Q,Lan S,Gao X C 2007 Acta Phys.Sin.56 1397(in Chinese)[龍學(xué)文、胡 巍、張濤、郭 旗、蘭 勝、高喜存2007物理學(xué)報56 1397]

[14]Xu C B,Guo Q 2005Acta Phys.Sin.54 5194(in Chinese) [許超彬、郭 旗2005物理學(xué)報54 5194]

[15]PecciantiM,Brzdakiewicz K A,Assanto G 2002Opt.Lett.27 1460

[16]Conti C,Peccianti M,Assanto G 2004Phys.Rev.Lett.91 073901

[17]PecciantiM,RossiA D,Assanto G 2002Appl.Phys.Lett.77 7

[18]Conti C,Peccianti M,Assanto G 2004Phys.Rev.Lett.92 113902

[19]Deng D M,GuoQ 2008J.Opt.A:PureAppl.Opt.10 035101 [20]ZhongW P,YiL 2007Phys.Rev.A 75 061801(R)

[21]ZhongW P,YiL,Xie R H,Beli′e M,Chen G 2008J.Phys. B:At.M ol.Opt.Phys.41 025402

[22]Cohen O,Buljan H,Schwartz T,Fleischer J W,SegevM 2006 Phys.Rev.E 73 015601

[23]KrolikowskiW,Bang O,Ras mussen J J,Wyller J 2001Phys. Rev.E 64 016612

[24]MitchellD J,SnyderA W 1999J.Opt.Soc.Am.B 16 236

[25]BangO,KrolikowskiW,Wyller J,Ras mussen J J 2002Phys. Rev.E 66 046619

[26]Buccoliero D,Desyatnikov A S,Krolikowski W,Kivshar Y S 2007Phys.Rev.Lett.98 053901

PACC:4265S,0200,4270D

Two-d imens ional Kummer-Gaussian soliton clusters in strongly nonlocal nonlinearmedia＊

Xu Si-Liu1)2)Liu Hui-Ping1)Yi Lin1)?

1)(School of Physics,Huazhong University of Science and Technology,W uhan 430074,China)
2)(Department of Physics,Xianning College,Xianning 437100,China)

21 April 2009;revised manuscript

13 May 2009)

We solve the two-dimensional strongly nonlocal nonlinear Schr?dinger equation in polar coordinates.An exact analytical solution of self-similar waves,namely Kummer-Gaussian soliton clusters,is obtained.Numerical simulations confirm the validity of the analytical solutions.It is shown that the nonlocal optical spacial solitons have large phase shift.

optical spatial solitons,self-similar technology,strongly nonlocal nonlinearity

＊國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(批準(zhǔn)號:2006CB921605)資助的課題.

?通訊聯(lián)系人.E-mail:hust316@163.com

＊Project supported by the NationalBasic Research Program of China(GrantNo.2006CB921605).

?Corresponding author.E-mail:hust316@163.com