李 濤,謝景力,孫長軍

(1.懷化職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖南懷化 418000;2.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖南吉首 416000; 3.連云港職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,江蘇連云港 222000)

一類四階非線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性

李 濤1,謝景力2,孫長軍3

(1.懷化職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖南懷化 418000;2.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖南吉首 416000; 3.連云港職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,江蘇連云港 222000)

在研究非線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性中,類比法是一個(gè)常用的方法.運(yùn)用類比法構(gòu)造了一類四階非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù),從而推出了該類系統(tǒng)的零解的全局穩(wěn)定性的充分條件.

非線性系統(tǒng);李雅普諾夫函數(shù);全局穩(wěn)定性

0 引 言

平衡位置的穩(wěn)定性是動態(tài)系統(tǒng)運(yùn)動過程中備受關(guān)注的一個(gè)問題.研究非線性系統(tǒng)零解全局穩(wěn)定性的一個(gè)有效工具就是Liapunov函數(shù)法.文獻(xiàn)[1]導(dǎo)出了二階和三階常系數(shù)線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)公式,并應(yīng)用相應(yīng)的公式研究了二階和三階常系數(shù)非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造與應(yīng)用,以及解決了一類三階非線性系統(tǒng)的平凡解的全局穩(wěn)定性問題.文獻(xiàn)[2]、[3]利用類似的方法導(dǎo)出了四階常系數(shù)線性系統(tǒng)的Liapunov函數(shù)公式,并研究了相應(yīng)的四階非線性系統(tǒng)的Liapunov函數(shù)的構(gòu)造與應(yīng)用.文獻(xiàn)[4]、[5]給出了一類四階非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性.

文獻(xiàn)[6]通過做變換,

且運(yùn)用類比法構(gòu)造了一類三階非線性系統(tǒng),的李雅普諾夫函數(shù),從而推出了該類系統(tǒng)的零解全局漸近穩(wěn)定的充分條件(即引理1).這里,c是常量,函數(shù)f(x,y)是連續(xù)的且有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).

引理1 如果c＞0,并且存在b＞0,使得函數(shù)f(X,Y)滿足條件：

[bfXX+cfYX]Y≤0,

則系統(tǒng)(1)的零解是全局漸近穩(wěn)定的.

1 主要結(jié)論

在本文中,我們主要研究如下一類四階非線性系統(tǒng),

的全局穩(wěn)定性,這里,d是常量,函數(shù)f(x,y,z)是連續(xù)的且有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).

做變換,

將系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)換成如下等價(jià)系統(tǒng),

所對應(yīng)的線性系統(tǒng),的李雅普諾夫函數(shù)[2,7].

其中,a,b,c,d均大于0,ab-c＞0,abc-c2-a2d＞0.

用 fX(X,Y,Z),fY(X,Y,Z),fZ(X,Y,Z)分別代替上式的 c,b,a,則得系統(tǒng)(3)的李雅普諾夫函數(shù),

對(6)式按(3)式求導(dǎo)得：

由此可得如下：

定理1 如果系統(tǒng)(3)在區(qū)域{(Y,Z,U)|YU≥0,ZU≥0,YZ≥0}中成立,d＞0,且存在a＞0, b＞0,c＞0,并滿足如下條件：

則系統(tǒng)(3)的零解為全局穩(wěn)定.

證明 由條件顯然可見,

當(dāng) Y≠0時(shí),V(X,Y,Z,U)≥d(abc-c2-a2d)Y2/c＞0;

當(dāng) Z≠0時(shí),V(X,Y,Z,U)≥(abc-c2-a2d)Z2/a＞0;

當(dāng) Y=0,Z=0,但X≠0時(shí),V(X,Y,Z,U)≥ad2X2＞0;

當(dāng)X=Y=Z=0,但X≠0時(shí),V(X,Y,Z,U)≥cU2＞0.

因此,只要(X,Y,Z,U)≠(0,0,0,0),必有V(X,Y,Z,U)＞0,即V是正定的.

其次,證明正定函數(shù)具有無窮大性質(zhì).

當(dāng) Y→∞時(shí),V(X,Y,Z,U)≥d(abc-c2-a2d)Y2/c→∞,

如果 Y有界,且 X→∞時(shí),V(X,Y,Z,U)≥(abc-c2-a2d)Z2/a→∞;

如果Y,Z有界,且Z→∞時(shí),V(X,Y,Z,U)≥a(dX+cY+→∞;

如果Y,Z有界,且U→∞時(shí),V(X,Y,Z,U)≥c(U+aZ+c→∞.

因此,V(X,Y,Z,U)→∞,當(dāng) X2+Y2+Z2+ U2→∞時(shí).

綜上討論,并由文獻(xiàn)[1]知系統(tǒng)(2)的零解是全局漸近穩(wěn)定的.

[1]王 聯(lián),王慕秋.非線性常微分方程穩(wěn)定性分析[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1987：381-422.

[2]梁在中.關(guān)于一類四階非線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造的研究[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1995,16(2)：181-188.

[3]沈家騏,盧亭鶴,金 均.一類四階方程 Л Я П у Н О В函數(shù)的作法[J].上海師范學(xué)學(xué)報(bào),1983,25(3)：1-5.

[4]徐 靜,李玉潔.一類四階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2001,15(1)：47-49.

[5]徐 靜.一類四階非線性李雅普諾夫函數(shù)的穩(wěn)定性[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào),1993,11(3)：38-41.

[6]吳 檀,鄒長安,車克鍵.一類三階非線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1997,22(3)：438-441.

[7]黃明謙.一類四階非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1989,12(4)：295-300.

Global Stability of 4-Order Nonlinear System

LI Tao1,XIE Jingli2,SUN Changjun3

(1.Huaihua Vocational and Technical College,Huaihua 418000,China; 2.School of Mathematics and Computer Science,Jishou University,Jishou 416000,China; 3.Section of Mathematics Teaching and Research,Lianyungang Technical College,Linyungang 222006,China)

Analogism is a normal method of studying the global stability of nonlinear systems.Using this method,Liapunov’s function of a nonlinear system isformulated to derive sufficient conditionsfor its global stability when it has null solution.

nonlinear system;Liapunov’s function;global stability

O175.13

：A

1004-5422(2010)02-0115-03

2010-02-03.

湖南省教育廳教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃立項(xiàng)課題基金資助項(xiàng)目(XJK06CZC061).

李 濤(1963—),男,碩士,副教授,從事非線性系統(tǒng)研究.